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2. 已知PA，PB分别切$\odot O$于点A，B. 如果$∠ P=60°$，$PA=2$，那么弦AB的长为(
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
B
).A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。由此可先得出PA=PB，判断△PAB为等腰三角形；再结合已知∠P=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△PAB是等边三角形，进而得到AB与PA的等量关系，代入PA的长度即可求出AB的长。
【解析】
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，根据切线长定理可得：
$PA=PB$，
又
∵$∠ P=60°$，
∴$△ PAB$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形为等边三角形），
∴$AB=PA$，
∵$PA=2$，
∴$AB=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，将切线长定理和等边三角形的判定结合考查，解题关键是通过切线长定理得到线段相等的关系，进而判断三角形的形状求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。由此可先得出PA=PB，判断△PAB为等腰三角形；再结合已知∠P=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△PAB是等边三角形，进而得到AB与PA的等量关系，代入PA的长度即可求出AB的长。
【解析】
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，根据切线长定理可得：
$PA=PB$，
又
∵$∠ P=60°$，
∴$△ PAB$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形为等边三角形），
∴$AB=PA$，
∵$PA=2$，
∴$AB=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，将切线长定理和等边三角形的判定结合考查，解题关键是通过切线长定理得到线段相等的关系，进而判断三角形的形状求解。
【难度系数】
0.8
3. 为了测量某种圆形零件的直径，把圆形零件、含$60°$角的三角板和直尺按如图摆放，测得$AB=2\ \mathrm{cm}$，由此可算得该圆形零件的直径为(
A.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$
第3题 第4题 第5题
B
).A.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$
第3题 第4题 第5题
答案
3. B
解析
【分析】
要解决本题，可结合切线相关性质推导：首先观察到直尺边缘、三角板斜边都是圆的切线，点B是两条切线的公共交点，我们可先设出圆心，连接圆心与切点，利用切线长定理得到等线段，再结合已知角度构造直角三角形，通过三角函数求出半径，最终得到直径。
【解析】
设圆心为$ O $，三角板斜边与圆的切点为$ C $，连接$ OA $、$ OB $。
1. 根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得$ OA⊥ AB $，即$ ∠ OAB=90° $。
2. 由切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，因此$ AB=BC=2\ \mathrm{cm} $，$ OB $平分两条切线的夹角。
3. 已知三角板与直尺夹角为$ 60° $，因此两条切线的夹角为$ 180°-60°=120° $，可得$ ∠ ABO=\frac{1}{2}×120°=60° $。
4. 在$ \mathrm{Rt}△ OAB $中，$ \tan∠ ABO=\frac{OA}{AB} $，代入$ AB=2\ \mathrm{cm} $、$ \tan60°=\sqrt{3} $，得$ OA=AB·\tan60°=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
5. 因此圆的直径为$ 2OA=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景考查切线相关知识与锐角三角函数的应用，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，需要熟练掌握切线长定理的内容并灵活应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可结合切线相关性质推导：首先观察到直尺边缘、三角板斜边都是圆的切线，点B是两条切线的公共交点，我们可先设出圆心，连接圆心与切点，利用切线长定理得到等线段，再结合已知角度构造直角三角形，通过三角函数求出半径，最终得到直径。
【解析】
设圆心为$ O $，三角板斜边与圆的切点为$ C $，连接$ OA $、$ OB $。
1. 根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得$ OA⊥ AB $，即$ ∠ OAB=90° $。
2. 由切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，因此$ AB=BC=2\ \mathrm{cm} $，$ OB $平分两条切线的夹角。
3. 已知三角板与直尺夹角为$ 60° $，因此两条切线的夹角为$ 180°-60°=120° $，可得$ ∠ ABO=\frac{1}{2}×120°=60° $。
4. 在$ \mathrm{Rt}△ OAB $中，$ \tan∠ ABO=\frac{OA}{AB} $，代入$ AB=2\ \mathrm{cm} $、$ \tan60°=\sqrt{3} $，得$ OA=AB·\tan60°=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
5. 因此圆的直径为$ 2OA=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景考查切线相关知识与锐角三角函数的应用，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，需要熟练掌握切线长定理的内容并灵活应用。
【难度系数】
0.6
4. 如图，PA，PB为$\odot O$的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交$\odot O$于点D. 下列结论不一定成立的是(
A.$△ BPA$为等腰三角形
B.AB与PD相互垂直平分
C.点A，B都在以PO为直径的圆上
D.PC为$△ BPA$的边AB上的中线
B
).A.$△ BPA$为等腰三角形
B.AB与PD相互垂直平分
C.点A，B都在以PO为直径的圆上
D.PC为$△ BPA$的边AB上的中线
答案
4. B
解析
【分析】
解题时可结合切线长定理、切线的性质、等腰三角形性质、圆的判定相关知识，逐个验证选项是否一定成立：
1. 验证选项A：直接应用切线长定理判断PA与PB的数量关系，即可判断△BPA是否为等腰三角形；
2. 验证选项B：根据切线长定理可知PD垂直平分AB，但AB是否平分PD仅在特殊条件下成立，不是普遍结论；
3. 验证选项C：由切线的性质得∠PAO、∠PBO均为直角，结合“90°圆周角所对的弦是直径”即可判断A、B是否在以PO为直径的圆上；
4. 验证选项D：结合等腰三角形三线合一的性质，即可判断PC是否为AB边上的中线。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$PA=PB$，
∴$△ BPA$为等腰三角形，该结论一定成立，不符合题意。
选项B：根据切线长定理，PD垂直平分AB，但仅在特殊情况（如$∠ APO=30°$）下AB才平分PD，一般情况AB不平分PD，故“AB与PD相互垂直平分”不一定成立，符合题意。
选项C：连接OA、OB，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴$∠ PAO=∠ PBO=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点A、B都在以PO为直径的圆上，该结论一定成立，不符合题意。
选项D：
∵$PA=PB$，$PD⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得PC为$△ BPA$的边AB上的中线，该结论一定成立，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，等腰三角形性质
【点评】
本题考查切线相关性质的综合应用，需要熟练掌握切线长定理、切线的性质及等腰三角形的性质，解题时注意区分“普遍成立”和“特殊情况成立”的结论。
【难度系数】
0.7
解题时可结合切线长定理、切线的性质、等腰三角形性质、圆的判定相关知识，逐个验证选项是否一定成立：
1. 验证选项A：直接应用切线长定理判断PA与PB的数量关系，即可判断△BPA是否为等腰三角形；
2. 验证选项B：根据切线长定理可知PD垂直平分AB，但AB是否平分PD仅在特殊条件下成立，不是普遍结论；
3. 验证选项C：由切线的性质得∠PAO、∠PBO均为直角，结合“90°圆周角所对的弦是直径”即可判断A、B是否在以PO为直径的圆上；
4. 验证选项D：结合等腰三角形三线合一的性质，即可判断PC是否为AB边上的中线。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$PA=PB$，
∴$△ BPA$为等腰三角形，该结论一定成立，不符合题意。
选项B：根据切线长定理，PD垂直平分AB，但仅在特殊情况（如$∠ APO=30°$）下AB才平分PD，一般情况AB不平分PD，故“AB与PD相互垂直平分”不一定成立，符合题意。
选项C：连接OA、OB，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴$∠ PAO=∠ PBO=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点A、B都在以PO为直径的圆上，该结论一定成立，不符合题意。
选项D：
∵$PA=PB$，$PD⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得PC为$△ BPA$的边AB上的中线，该结论一定成立，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，等腰三角形性质
【点评】
本题考查切线相关性质的综合应用，需要熟练掌握切线长定理、切线的性质及等腰三角形的性质，解题时注意区分“普遍成立”和“特殊情况成立”的结论。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，$∠ P=72°$，则$∠ C=\_\_\_\_\_\_{}°$。
答案
5. 54
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先考虑作辅助线连接圆心和切点，利用切线的性质构造直角；接下来结合四边形内角和为360°，求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；最后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=72°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-72°=108°$，
又
∵$∠ C$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】
54
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题的关键是掌握“遇切线，连半径”的常用辅助线作法，熟练运用切线性质和圆周角定理进行角度计算。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先考虑作辅助线连接圆心和切点，利用切线的性质构造直角；接下来结合四边形内角和为360°，求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；最后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=72°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-72°=108°$，
又
∵$∠ C$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】
54
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题的关键是掌握“遇切线，连半径”的常用辅助线作法，熟练运用切线性质和圆周角定理进行角度计算。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，且$AB// CD$，$BO=6\ \mathrm{cm}$，$CO=8\ \mathrm{cm}$.
(1)求证$BO⊥ CO$；
(2)求BE和CG的长.
(1)求证$BO⊥ CO$；
(2)求BE和CG的长.
答案
6. (1)证明略
(2)$BE=3.6\ \mathrm{cm}$，$CG=6.4\ \mathrm{cm}$
(2)$BE=3.6\ \mathrm{cm}$，$CG=6.4\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
(1) 要证$BO⊥ CO$，需证$∠ BOC=90°$：根据切线长定理，$BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ BCD$，结合$AB// CD$的同旁内角互补性质，可推导出$∠ OBC+∠ OCB=90°$，即可得$∠ BOC=90°$。
(2) 求$BE$和$CG$的长：先在$Rt△ BOC$中用勾股定理算出$BC$的长度，再根据切线长定理得$BE=BF$、$CG=CF$，通过证明$△ OBF∼△ CBO$求出$BF$的长度，即可得到$BE$，再用$BC$减$BF$得$CF$即$CG$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB、BC、CD$分别与$\odot O$相切于$E、F、G$，
$\therefore BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ BCD$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=90°$，即$BO⊥ CO$。
(2) 解：
在$Rt△ BOC$中，$BO=6\mathrm{cm}$，$CO=8\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$，
连接$OF$，$\because BC$是$\odot O$的切线，$\therefore OF⊥ BC$，
$\therefore ∠ OFB=∠ BOC=90°$，又$∠ OBF=∠ CBO$，
$\therefore △ OBF∼△ CBO$，
$\therefore \frac{BF}{BO}=\frac{BO}{BC}$，即$BF=\frac{BO^2}{BC}=\frac{36}{10}=3.6\mathrm{cm}$，
根据切线长定理，$BE=BF=3.6\mathrm{cm}$，$CG=CF$，
$\therefore CG=CF=BC-BF=10-3.6=6.4\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $BE=3.6\ \mathrm{cm}$，$CG=6.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、平行线性质、勾股定理和相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是先推导出$△ BOC$是直角三角形，再结合切线长定理转化相等的线段求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$BO⊥ CO$，需证$∠ BOC=90°$：根据切线长定理，$BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ BCD$，结合$AB// CD$的同旁内角互补性质，可推导出$∠ OBC+∠ OCB=90°$，即可得$∠ BOC=90°$。
(2) 求$BE$和$CG$的长：先在$Rt△ BOC$中用勾股定理算出$BC$的长度，再根据切线长定理得$BE=BF$、$CG=CF$，通过证明$△ OBF∼△ CBO$求出$BF$的长度，即可得到$BE$，再用$BC$减$BF$得$CF$即$CG$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB、BC、CD$分别与$\odot O$相切于$E、F、G$，
$\therefore BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ BCD$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=90°$，即$BO⊥ CO$。
(2) 解：
在$Rt△ BOC$中，$BO=6\mathrm{cm}$，$CO=8\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$，
连接$OF$，$\because BC$是$\odot O$的切线，$\therefore OF⊥ BC$，
$\therefore ∠ OFB=∠ BOC=90°$，又$∠ OBF=∠ CBO$，
$\therefore △ OBF∼△ CBO$，
$\therefore \frac{BF}{BO}=\frac{BO}{BC}$，即$BF=\frac{BO^2}{BC}=\frac{36}{10}=3.6\mathrm{cm}$，
根据切线长定理，$BE=BF=3.6\mathrm{cm}$，$CG=CF$，
$\therefore CG=CF=BC-BF=10-3.6=6.4\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $BE=3.6\ \mathrm{cm}$，$CG=6.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、平行线性质、勾股定理和相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是先推导出$△ BOC$是直角三角形，再结合切线长定理转化相等的线段求解。
【难度系数】
0.7
