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3. 已知直线$l$与$\odot O$，$AB$是$\odot O$的直径，$AD⊥ l$于点$D$.
(1)如图1，当直线$l$与$\odot O$相切于点$C$时，若$∠ DAC=30°$，求$∠ BAC$的大小；
(2)如图2，当直线$l$与$\odot O$相交于点$E$，$F$时，若$∠ DAE=18°$，求$∠ BAF$的大小.
(1)如图1，当直线$l$与$\odot O$相切于点$C$时，若$∠ DAC=30°$，求$∠ BAC$的大小；
(2)如图2，当直线$l$与$\odot O$相交于点$E$，$F$时，若$∠ DAE=18°$，求$∠ BAF$的大小.
答案
(1)$∠BAC=30°$ (2)$∠BAF=18°$
解析
【分析】
(1) 解决第一问的思路：遇到切线优先连接切点和圆心，得到垂直于切线的半径，因此连接OC，可得OC⊥l，结合AD⊥l推出AD与OC平行，利用平行线内错角相等得到∠DAC=∠ACO，再结合OA=OC的等腰三角形性质，即可推出∠BAC与∠DAC相等。
(2) 解决第二问的思路：遇到直径优先考虑直径所对的圆周角为直角，因此连接BF可得∠AFB=90°，在Rt△ABF中可得∠BAF+∠ABF=90°；在Rt△ADE中可得∠DAE+∠AED=90°，再利用圆内接四边形外角等于内对角得到∠AED=∠ABF，根据等角的余角相等即可推出∠BAF=∠DAE。
【解析】
(1) 连接OC，
∵直线l与$\odot O$相切于点C，根据切线的性质，
∴$OC⊥ l$，
又
∵$AD⊥ l$，
∴$AD// OC$，
∴$∠ DAC=∠ ACO$（两直线平行，内错角相等），
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，
∴$∠ BAC=∠ ACO$，
∴$∠ BAC=∠ DAC=30°$。
(2) 连接BF，
∵AB是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，
∴$∠ AFB=90°$，
∴$∠ BAF+∠ ABF=90°$，
∵$AD⊥ l$，
∴$∠ ADE=90°$，
∴$∠ DAE+∠ AED=90°$，
∵四边形ABFE是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ AED=∠ ABF$（圆内接四边形的外角等于内对角），
∴$∠ BAF=∠ DAE=18°$。
【答案】
(1) $∠ BAC=30°$；(2) $∠ BAF=18°$
【知识点】
切线的性质，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质
【点评】
本题主要考查圆的基础性质的综合应用，解题的关键是根据已知条件选择合适的辅助线，结合平行线性质、等角的余角相等推导角度关系，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问的思路：遇到切线优先连接切点和圆心，得到垂直于切线的半径，因此连接OC，可得OC⊥l，结合AD⊥l推出AD与OC平行，利用平行线内错角相等得到∠DAC=∠ACO，再结合OA=OC的等腰三角形性质，即可推出∠BAC与∠DAC相等。
(2) 解决第二问的思路：遇到直径优先考虑直径所对的圆周角为直角，因此连接BF可得∠AFB=90°，在Rt△ABF中可得∠BAF+∠ABF=90°；在Rt△ADE中可得∠DAE+∠AED=90°，再利用圆内接四边形外角等于内对角得到∠AED=∠ABF，根据等角的余角相等即可推出∠BAF=∠DAE。
【解析】
(1) 连接OC，
∵直线l与$\odot O$相切于点C，根据切线的性质，
∴$OC⊥ l$，
又
∵$AD⊥ l$，
∴$AD// OC$，
∴$∠ DAC=∠ ACO$（两直线平行，内错角相等），
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，
∴$∠ BAC=∠ ACO$，
∴$∠ BAC=∠ DAC=30°$。
(2) 连接BF，
∵AB是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，
∴$∠ AFB=90°$，
∴$∠ BAF+∠ ABF=90°$，
∵$AD⊥ l$，
∴$∠ ADE=90°$，
∴$∠ DAE+∠ AED=90°$，
∵四边形ABFE是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ AED=∠ ABF$（圆内接四边形的外角等于内对角），
∴$∠ BAF=∠ DAE=18°$。
【答案】
(1) $∠ BAC=30°$；(2) $∠ BAF=18°$
【知识点】
切线的性质，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质
【点评】
本题主要考查圆的基础性质的综合应用，解题的关键是根据已知条件选择合适的辅助线，结合平行线性质、等角的余角相等推导角度关系，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AC平分∠DAB，且与半圆O交于点C，AD⊥CD，垂足为点D，AD交半圆O于点E.
(1)求证：直线CD是半圆O的切线；
(2)若CD=8，DE=4，求AE的长.
(1)求证：直线CD是半圆O的切线；
(2)若CD=8，DE=4，求AE的长.
答案
(1)证明略(提示：连接OC，证$OC// AD$.)
(2)$AE=12$(提示：作$OF⊥AD$于点F. 由垂径定理可设$AE=2AF=2EF=2x$，再证四边形DFOC是矩形，则$OF=CD=8$，$DF=OC=x+4$，故半圆O的半径为$OA=x+4$. 在$Rt△OAF$中，利用勾股定理构造方程，解得x，再求AE.)
(2)$AE=12$(提示：作$OF⊥AD$于点F. 由垂径定理可设$AE=2AF=2EF=2x$，再证四边形DFOC是矩形，则$OF=CD=8$，$DF=OC=x+4$，故半圆O的半径为$OA=x+4$. 在$Rt△OAF$中，利用勾股定理构造方程，解得x，再求AE.)
解析
【分析】
(1) 要证明直线CD是半圆O的切线，已知CD与半圆交于点C，因此采用“连半径，证垂直”的思路：首先连接OC，利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导得到OC与AD平行，再结合AD⊥CD的条件，即可得到OC⊥CD，从而证得CD是切线。
(2) 要求AE的长，AE是半圆的弦，因此考虑用垂径定理求解：过O作OF⊥AD，可得F是AE中点，设AF=EF=x，再结合第一问的结论，可证四边形DFOC是矩形，得到半径OC与x的关系，最后在Rt△OAF中用勾股定理列方程求解x，即可得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OC。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC，
∵ OA=OC（半圆O的半径相等），
∴ ∠OAC=∠OCA，
∴ ∠DAC=∠OCA，
∴ OC//AD，
又
∵ AD⊥CD，
∴ OC⊥CD，
∵ OC是半圆O的半径，
∴ 直线CD是半圆O的切线。
(2) 解：过点O作OF⊥AD于点F，
由垂径定理可得：AF=EF，设AF=EF=x，则AE=2x。
∵ OF⊥AD，AD⊥CD，OC⊥CD，
∴ ∠OFD=∠D=∠OCD=90°，
∴ 四边形DFOC是矩形，
∴ OF=CD=8，DF=OC，
∵ DF=DE+EF=4+x，OC是半圆O的半径，
∴ OA=OC=4+x，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：$OA^2=AF^2+OF^2$，
代入得：$(x+4)^2=x^2+8^2$，
展开得：$x^2+8x+16=x^2+64$，
化简得：$8x=48$，解得$x=6$，
∴ AE=2x=2×6=12。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $AE=12$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题关键是掌握切线的判定方法，结合垂径定理和矩形的性质转化线段关系，再利用勾股定理构造方程求解，这类题型是圆相关证明与计算的常考类型。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明直线CD是半圆O的切线，已知CD与半圆交于点C，因此采用“连半径，证垂直”的思路：首先连接OC，利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导得到OC与AD平行，再结合AD⊥CD的条件，即可得到OC⊥CD，从而证得CD是切线。
(2) 要求AE的长，AE是半圆的弦，因此考虑用垂径定理求解：过O作OF⊥AD，可得F是AE中点，设AF=EF=x，再结合第一问的结论，可证四边形DFOC是矩形，得到半径OC与x的关系，最后在Rt△OAF中用勾股定理列方程求解x，即可得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OC。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC，
∵ OA=OC（半圆O的半径相等），
∴ ∠OAC=∠OCA，
∴ ∠DAC=∠OCA，
∴ OC//AD，
又
∵ AD⊥CD，
∴ OC⊥CD，
∵ OC是半圆O的半径，
∴ 直线CD是半圆O的切线。
(2) 解：过点O作OF⊥AD于点F，
由垂径定理可得：AF=EF，设AF=EF=x，则AE=2x。
∵ OF⊥AD，AD⊥CD，OC⊥CD，
∴ ∠OFD=∠D=∠OCD=90°，
∴ 四边形DFOC是矩形，
∴ OF=CD=8，DF=OC，
∵ DF=DE+EF=4+x，OC是半圆O的半径，
∴ OA=OC=4+x，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：$OA^2=AF^2+OF^2$，
代入得：$(x+4)^2=x^2+8^2$，
展开得：$x^2+8x+16=x^2+64$，
化简得：$8x=48$，解得$x=6$，
∴ AE=2x=2×6=12。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $AE=12$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题关键是掌握切线的判定方法，结合垂径定理和矩形的性质转化线段关系，再利用勾股定理构造方程求解，这类题型是圆相关证明与计算的常考类型。
【难度系数】
0.6
1. 过点A作圆O的切线有且只有两条，那么点A与圆O的位置关系是（
A.点A在圆O内
B.点A在圆O上
C.点A在圆O外
D.以上都有可能
C
）。A.点A在圆O内
B.点A在圆O上
C.点A在圆O外
D.以上都有可能
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的三种位置关系，以及不同位置下过该点可作的圆的切线数量，再结合题干给出的“过点A作圆O的切线有且只有两条”的条件对应判断即可。我们可以逐一分析三种位置对应的切线条数：点在圆内时无法作出切线，点在圆上时只能作1条切线，点在圆外时能作2条切线，匹配题干条件的就是点在圆外的情况。
【解析】
我们分三种情况讨论点A与圆O的位置关系对应的切线条数：
1. 若点A在圆O内：任意过点A的直线都与圆O有2个交点，不存在圆O的切线，不符合题意；
2. 若点A在圆O上：过点A作圆O的切线，有且仅有1条，不符合题意；
3. 若点A在圆O外：过点A可以作圆O的2条切线，两条切线的长度相等，符合题干描述。
因此点A在圆O外，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；切线的定义；切线长定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查点和圆不同位置下切线条数的对应规律，牢记相关结论就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆点与圆的三种位置关系，以及不同位置下过该点可作的圆的切线数量，再结合题干给出的“过点A作圆O的切线有且只有两条”的条件对应判断即可。我们可以逐一分析三种位置对应的切线条数：点在圆内时无法作出切线，点在圆上时只能作1条切线，点在圆外时能作2条切线，匹配题干条件的就是点在圆外的情况。
【解析】
我们分三种情况讨论点A与圆O的位置关系对应的切线条数：
1. 若点A在圆O内：任意过点A的直线都与圆O有2个交点，不存在圆O的切线，不符合题意；
2. 若点A在圆O上：过点A作圆O的切线，有且仅有1条，不符合题意；
3. 若点A在圆O外：过点A可以作圆O的2条切线，两条切线的长度相等，符合题干描述。
因此点A在圆O外，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；切线的定义；切线长定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查点和圆不同位置下切线条数的对应规律，牢记相关结论就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
