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4. 如图，已知$\odot O$及$\odot O$外一点$P$.
(1)尺规作图：过点$P$且与$\odot O$相切的直线，切点分别为点$A$和$B$(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)已知$∠ APB=30°$，$△ APB$的面积为$16+8\sqrt{3}$，求$OP$的长.
(1)尺规作图：过点$P$且与$\odot O$相切的直线，切点分别为点$A$和$B$(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)已知$∠ APB=30°$，$△ APB$的面积为$16+8\sqrt{3}$，求$OP$的长.
答案
(1)如图所示.（作法：连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点T；以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交⊙O于点A，B；连接PA，PB.）
(2)连接AT，AB，记AB与OP的交点为G. 设⊙T的半径为r，则AT=PT=$OT=\frac{1}{2}OP=r$，
∴∠APO = ∠TAP.
∵ ∠APB = 30°, PA, PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=15°, AP=BP,
∴∠ATO=∠TAP+∠APO=2∠APO=30°, 且OP⊥AB.
∵在Rt△AGT 中，AG=$\frac{1}{2}AT=\frac{1}{2}r$, GT=$\sqrt{AT^2-AG^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$.
∴AB=2AG=r.
∵△APB 的面积为 8(2+$\sqrt{3}$),
∴$\frac{1}{2}PG×AB=\frac{1}{2}(r+\frac{\sqrt{3}}{2}r)·r=\frac{2+\sqrt{3}}{4}r^2=16+8\sqrt{3}$, 解得r=4$\sqrt{2}$.
∴OP=2r=8$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 作过点P的⊙O的切线，依据切线性质，切点与圆心的连线和切线垂直，即∠OAP=∠OBP=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，可知切点A、B在以OP为直径的圆上，因此先找OP中点，再以中点为圆心、OP长的一半为半径作圆，与⊙O的交点就是切点，连接PA、PB即可得到切线。
(2) 求OP的长，可先利用切线长定理得到PA=PB，OP平分∠APB且垂直平分AB，设OP的一半为r，用r表示出△APB的底AB和高PG，再结合已知的三角形面积列方程求解r，即可得到OP=2r的长度。
【解析】
(1) 作图过程：①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点T；②以T为圆心，TP长为半径作圆，交⊙O于A、B两点；③连接PA、PB，PA、PB即为所求切线。
(2) 连接AT、AB，记AB与OP的交点为G。
设⊙T的半径为r，则AT=PT=OT=r，即OP=2r，因此∠APO=∠TAP。
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=30°，根据切线长定理可得：PA=PB，OP平分∠APB且OP⊥AB，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=15°$。
∴$∠ ATO=∠ TAP+∠ APO=2∠ APO=30°$。
在Rt△AGT中，∠AGT=90°，∠ATG=30°，因此$AG=\frac{1}{2}AT=\frac{1}{2}r$，$GT=\sqrt{AT^2-AG^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
∴$AB=2AG=r$，$PG=PT+GT=r+\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
已知△APB的面积为$16+8\sqrt{3}$，由三角形面积公式得：
$S_{△ APB}=\frac{1}{2}· AB· PG=\frac{1}{2}· r·(r+\frac{\sqrt{3}}{2}r)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}r^2=16+8\sqrt{3}=8(2+\sqrt{3})$
约掉$(2+\sqrt{3})$后解得$r^2=32$，$r=4\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
因此$OP=2r=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) $OP$的长为$8\sqrt{2}$。
【知识点】
切线长定理，尺规作图作切线，直角三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，既考查了对圆的切线相关性质的理解与动手操作能力，又需要结合角度关系、面积公式建立方程求解，兼顾了基础应用和综合能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 作过点P的⊙O的切线，依据切线性质，切点与圆心的连线和切线垂直，即∠OAP=∠OBP=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，可知切点A、B在以OP为直径的圆上，因此先找OP中点，再以中点为圆心、OP长的一半为半径作圆，与⊙O的交点就是切点，连接PA、PB即可得到切线。
(2) 求OP的长，可先利用切线长定理得到PA=PB，OP平分∠APB且垂直平分AB，设OP的一半为r，用r表示出△APB的底AB和高PG，再结合已知的三角形面积列方程求解r，即可得到OP=2r的长度。
【解析】
(1) 作图过程：①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点T；②以T为圆心，TP长为半径作圆，交⊙O于A、B两点；③连接PA、PB，PA、PB即为所求切线。
(2) 连接AT、AB，记AB与OP的交点为G。
设⊙T的半径为r，则AT=PT=OT=r，即OP=2r，因此∠APO=∠TAP。
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=30°，根据切线长定理可得：PA=PB，OP平分∠APB且OP⊥AB，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=15°$。
∴$∠ ATO=∠ TAP+∠ APO=2∠ APO=30°$。
在Rt△AGT中，∠AGT=90°，∠ATG=30°，因此$AG=\frac{1}{2}AT=\frac{1}{2}r$，$GT=\sqrt{AT^2-AG^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
∴$AB=2AG=r$，$PG=PT+GT=r+\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
已知△APB的面积为$16+8\sqrt{3}$，由三角形面积公式得：
$S_{△ APB}=\frac{1}{2}· AB· PG=\frac{1}{2}· r·(r+\frac{\sqrt{3}}{2}r)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}r^2=16+8\sqrt{3}=8(2+\sqrt{3})$
约掉$(2+\sqrt{3})$后解得$r^2=32$，$r=4\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
因此$OP=2r=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) $OP$的长为$8\sqrt{2}$。
【知识点】
切线长定理，尺规作图作切线，直角三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，既考查了对圆的切线相关性质的理解与动手操作能力，又需要结合角度关系、面积公式建立方程求解，兼顾了基础应用和综合能力的考查。
【难度系数】
0.6
1. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10 cm的圆盘如图所示，AB位于水平面且平行于CD，BC与水平面的夹角为$60°$，其中$AB=60\ \mathrm{cm}$，$BC=40\ \mathrm{cm}$，$CD=40\ \mathrm{cm}$.
(1)请你作出该小朋友将圆盘从点A滚动到点D的过程中，圆盘的圆心所经过的路线的示意图；
(2)求出此路线的长度.
(1)请你作出该小朋友将圆盘从点A滚动到点D的过程中，圆盘的圆心所经过的路线的示意图；
(2)求出此路线的长度.
答案
(1)如图所示.
(2)$(140-\dfrac{20\sqrt{3}}{3}+\dfrac{10}{3}π)$ cm
解析
【分析】
(1) 绘制圆心轨迹时，核心依据是：圆盘滚动过程中，圆心到轨道的距离始终等于圆盘半径10cm。因此轨迹可拆分：①AB段的圆心轨迹是AB上方与AB平行、距离为10cm的线段；②到B点附近时，圆心平滑转过一定角度，过渡到与BC平行、距离为10cm的BC段轨迹；③到C点后再过渡到CD上方与CD平行、距离为10cm的线段，据此即可画出完整轨迹。
(2) 计算轨迹长度时，将轨迹拆为直线段和圆弧段分别计算：①直线段：需扣除转弯处因角度带来的缩短量，结合60°角的三角函数计算缩短长度；②圆弧段：转弯处圆弧的圆心角为60°，半径等于圆盘半径，用弧长公式计算即可，最后将各段长度相加得到总长度。
【解析】
(1) 根据圆盘滚动时圆心到轨道距离恒等于半径10cm的规律，作出的圆心轨迹示意图如下：
(2) 分步计算路线长度：
已知圆盘半径$r=10\ \mathrm{cm}$，BC与水平面夹角为60°，轨道在B、C处的内角为120°。
① 直线段部分：
转弯处单段缩短量为$\frac{10}{\tan60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，总缩短量为$2×\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
直线段总长度为$AB+BC+CD-\frac{20\sqrt{3}}{3}=60+40+40-\frac{20\sqrt{3}}{3}=140-\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
② 圆弧段部分：
转弯处圆心转过的总角度为60°，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60$、$r=10$得：
$l=\frac{60π×10}{180}=\frac{10π}{3}\ \mathrm{cm}$。
③ 总长度为直线段与圆弧段长度之和，即$140-\frac{20\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $\boldsymbol{(140-\dfrac{20\sqrt{3}}{3}+\dfrac{10}{3}π)}$ cm
【知识点】
切线的性质；弧长计算；解直角三角形
【点评】
本题属于圆的滚动轨迹类典型题，核心考查对滚动过程中圆心运动规律的理解，解题时需将复杂轨迹拆分后分别计算，转弯处缩短量和圆弧角度的确定是易错点，对几何直观分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 绘制圆心轨迹时，核心依据是：圆盘滚动过程中，圆心到轨道的距离始终等于圆盘半径10cm。因此轨迹可拆分：①AB段的圆心轨迹是AB上方与AB平行、距离为10cm的线段；②到B点附近时，圆心平滑转过一定角度，过渡到与BC平行、距离为10cm的BC段轨迹；③到C点后再过渡到CD上方与CD平行、距离为10cm的线段，据此即可画出完整轨迹。
(2) 计算轨迹长度时，将轨迹拆为直线段和圆弧段分别计算：①直线段：需扣除转弯处因角度带来的缩短量，结合60°角的三角函数计算缩短长度；②圆弧段：转弯处圆弧的圆心角为60°，半径等于圆盘半径，用弧长公式计算即可，最后将各段长度相加得到总长度。
【解析】
(1) 根据圆盘滚动时圆心到轨道距离恒等于半径10cm的规律，作出的圆心轨迹示意图如下：
(2) 分步计算路线长度：
已知圆盘半径$r=10\ \mathrm{cm}$，BC与水平面夹角为60°，轨道在B、C处的内角为120°。
① 直线段部分：
转弯处单段缩短量为$\frac{10}{\tan60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，总缩短量为$2×\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
直线段总长度为$AB+BC+CD-\frac{20\sqrt{3}}{3}=60+40+40-\frac{20\sqrt{3}}{3}=140-\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
② 圆弧段部分：
转弯处圆心转过的总角度为60°，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60$、$r=10$得：
$l=\frac{60π×10}{180}=\frac{10π}{3}\ \mathrm{cm}$。
③ 总长度为直线段与圆弧段长度之和，即$140-\frac{20\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $\boldsymbol{(140-\dfrac{20\sqrt{3}}{3}+\dfrac{10}{3}π)}$ cm
【知识点】
切线的性质；弧长计算；解直角三角形
【点评】
本题属于圆的滚动轨迹类典型题，核心考查对滚动过程中圆心运动规律的理解，解题时需将复杂轨迹拆分后分别计算，转弯处缩短量和圆弧角度的确定是易错点，对几何直观分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
