2. 在平面直角坐标系中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足$AP=AQ$的两个不同的点P，Q，都有$∠ PAQ≤∠ MAN$，则称点A是⊙C的关联点，称$∠ MAN$的大小为点A与⊙C的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
(1)如图，⊙O的半径为1.
①在点$A_1(\dfrac{1}{2},0)$，$A_2(\dfrac{4}{3},0)$，$A_3(2,0)$中，点是⊙O的关联点，且其与⊙O的关联角度小于$90°$，该点与⊙O的关联角度为°；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为.
(2)已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若$90°≤α≤180°$，直接写出t的取值范围.

2. (1)① $A_3$ 60 ② $\sqrt{3}$
(2) $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}≤ t＜3$ 或 $t＞5$ 或 $t≤-1-\sqrt{11}$

【分析】
首先理解新定义：关联角度是点A对圆的最大张角，当点在圆外时，该角度为过点作圆的两条切线的夹角，满足$\sin\frac{α}{2}=\frac{r}{OA}$（$r$为圆半径，$OA$为点到圆心距离）。(1)①分别计算三个点到圆心的距离，代入公式计算关联角度，筛选出角度小于90°的点即可；(1)②要使长度小于1的线段BD上所有点都是关联点，即到B距离小于1的点都在圆外，最小距离为$OB-1$，据此列不等式求解；(2)先确定⊙T半径为$|t|$，根据关联角度范围转化为点到T的距离满足$r≤ AT≤\sqrt{2}r$，对线段EF上所有点恒成立，分类讨论求解t的范围。
【解析】
(1)① ⊙O半径$r=1$：
$A_1(\frac{1}{2},0)$：$OA_1=\frac{1}{2}＜1$，在圆内，关联角度约为$106°＞90°$，不符合要求；
$A_2(\frac{4}{3},0)$：$OA_2=\frac{4}{3}＞1$，在圆外，$\sin\frac{α}{2}=\frac{r}{OA_2}=\frac{3}{4}$，解得$α\approx97.2°＞90°$，不符合要求；
$A_3(2,0)$：$OA_3=2＞1$，在圆外，$\sin\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，得$\frac{α}{2}=30°$，$α=60°＜90°$，符合要求。
② 点$B(1,m)$在第一象限，$OB=\sqrt{1+m^2}$。要使任意长度小于1的线段BD上的点都是关联点，即到B距离小于1的点到O的最小距离≥1，最小距离为$OB-1$，故$OB-1≥1$，即$\sqrt{1+m^2}≥2$，解得$m^2≥3$，因$m＞0$，故$m≥\sqrt{3}$，即m的最小值为$\sqrt{3}$。
(2) ⊙T过原点，故半径$r=|t|$，线段EF上的点为$A(x,3)$（$1≤ x≤4$），$AT=\sqrt{(x-t)^2+9}$。
由$90°≤α≤180°$得$45°≤\frac{α}{2}≤90°$，故$\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{r}{AT}≤1$，即$r≤ AT≤\sqrt{2}r$。
分情况讨论：
当$t＞0$时，$r=t$，不等式$t≤\sqrt{(x-t)^2+9}≤\sqrt{2}t$对$1≤ x≤4$恒成立，解得$\frac{3\sqrt{2}}{2}≤ t＜3$或$t＞5$；
当$t＜0$时，$r=-t$，不等式$-t≤\sqrt{(x-t)^2+9}≤-\sqrt{2}t$对$1≤ x≤4$恒成立，解得$t≤-1-\sqrt{11}$。
综上得t的取值范围。
【答案】
(1)① $A_3$，60；② $\sqrt{3}$
(2) $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}≤ t＜3$ 或 $t＞5$ 或 $t≤-1-\sqrt{11}$
【知识点】
切线长定理，新定义运算，圆的性质
【点评】
本题将新定义与圆的切线性质结合考查，解题核心是把关联角度转化为点对圆的切线夹角，将陌生问题转化为熟悉的点到圆心距离、切线长的计算问题，解题过程中注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.2