1.二次函数$y=ax^2+k$的图象是一条抛物线,它的对称轴是,顶点坐标是.二次函数$y=ax^2$和二次函数$y=ax^2+k$的图象的相同,只是不同.二次函数$y=ax^2+k$的图象可以看作把二次函数$y=ax^2$的图象向上$(k＞0)$或向下$(k＜0)$平移个单位长度得到的.
2.二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质
| 二次函数 | $y=ax^2+k(a＞0)$ | $y=ax^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 | | |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c}{$y$轴} |
| 顶点坐标 | μlticolumn{2}{c}{$(0, \_\_\_\_\_\_)$} |
续表
| 二次函数 | $y=ax^2+k(a＞0)$ | $y=ax^2+k(a＜0)$ |
| --- | --- | --- |
| 增减性 | 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而 | 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而 |
| 最值 | 当$x=0$时,函数取得最小值,$y_{最小值}=$ | 当$x=0$时,函数取得最大值,$y_{最大值}=$ |

1.对称轴是y轴，顶点坐标是(0,k)，二次函数$y=ax^2$和$y=ax^2+k$图象形状相同、位置不同，平移$|k|$个单位长度。
2.顶点坐标填k；a＞0时，x＜0 y随x增大而减小，x＞0 y随x增大而增大，最小值为k；a＜0时，x＜0 y随x增大而增大，x＞0 y随x增大而减小，最大值为k。

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基础性质，再结合平移规律推导$y=ax^2+k$的性质：①平移不改变图象的形状，仅改变位置，上下平移时对称轴不变，顶点纵坐标随平移变化；②增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时对称轴左减右增，开口向下时对称轴左增右减；③最值对应顶点的纵坐标。
【解析】
1. 二次函数$y=ax^2+k$中不含$x$的一次项，因此对称轴是$y$轴（或直线$x=0$）；将$x=0$代入解析式得$y=k$，因此顶点坐标为$(0,k)$。
$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的二次项系数$a$相同，因此图象的开口方向、开口大小一致，即形状相同，仅顶点位置不同，所以图象位置不同。
根据平移“上加下减”的规律，$y=ax^2+k$是$y=ax^2$向上$(k＞0)$或向下$(k＜0)$平移$|k|$个单位长度得到的。
2. 由上述推导可知顶点坐标为$(0,k)$，因此顶点纵坐标空缺处填$k$：
当$a＞0$时，抛物线开口向上：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；顶点为最低点，$x=0$时$y$取最小值$k$。
当$a＜0$时，抛物线开口向下：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；顶点为最高点，$x=0$时$y$取最大值$k$。
【答案】
1. $y$轴（或直线$x=0$）；$(0,k)$；形状；位置；$|k|$
2. $k$；减小；增大；增大；减小；$k$；$k$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，重点考察$a$、$k$对二次函数图象与性质的影响，熟练掌握开口方向、增减性、最值的判断方法，以及平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

1.抛物线$y=a(x-h)^2$与抛物线$y=ax^2$的形状、开口方向，都是轴对称图形，只是不同.抛物线$y=a(x-h)^2$可由抛物线$y=ax^2$向$(h＜0)$或向$(h＞0)$平移个单位长度得到.
2.二次函数$y=a(x-h)^2$的图象和性质
| | | $y=a(x-h)^2$
$(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2$
$(a＜0)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 图象 | $h＞0$ | | |
| | $h＜0$ | | |
| 开口方向 | | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | | 直线$x=$ | |
| 顶点坐标 | | | |
续表
| | | $y=a(x-h)^2$
$(a＞0)$ | $y=a(x-h)^2$
$(a＜0)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 增减性 | | 当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | | 当$x$时，函数取得最小值，$y_{最小值}=0$ | 当$x$时，函数取得最大值，$y_{最大值}=0$ |

1.形状、开口方向相同，位置不同，h＜0向左、h＞0向右平移$|h|$个单位长度。
2.对称轴为直线$x=h$，顶点坐标$(h,0)$；a＞0时x＜h y随x增大而减小，x＞h y随x增大而增大，x=h时取最小值0；a＜0时x＜h y随x增大而增大，x＞h y随x增大而减小，x=h时取最大值0。

【分析】
解题时先回忆二次函数的基本性质与图象平移规律：①二次项系数a决定抛物线的形状和开口方向，两个函数a相同，因此形状、开口方向一致，仅位置存在差异；②图象水平平移遵循“左加右减”的规律，据此可判断平移方向和单位长度；③对于顶点式$y=a(x-h)^2$，顶点坐标为$(h,0)$，因此对称轴为过顶点且垂直x轴的直线，增减性结合开口方向判断：开口向上时对称轴左减右增，顶点取最小值；开口向下时对称轴左增右减，顶点取最大值，按此逻辑即可完成所有填空。
【解析】
1. 抛物线$y=a(x-h)^2$和$y=ax^2$的二次项系数a完全相同，因此形状、开口方向相同，均为轴对称图形，仅图象的位置不同；根据平移“左加右减”的规则：当$h＜0$时，$y=a(x-h)^2=a(x+|h|)^2$，可由$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得到；当$h＞0$时，可由$y=ax^2$向右平移$|h|$个单位得到。
2. 二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此对称轴为直线$x=h$：
当$a＞0$时，开口向上：$x＜h$时，y随x的增大而减小；$x＞h$时，y随x的增大而增大；$x=h$时，函数取最小值0。
当$a＜0$时，开口向下：$x＜h$时，y随x的增大而增大；$x＞h$时，y随x的增大而减小；$x=h$时，函数取最大值0。
【答案】
1. 相同；位置；左；右；$|h|$
2. 对称轴：$h$；顶点坐标：$(h,0)$；
$a＞0$增减性：$＜h$；$＞h$；$a＜0$增减性：$＜h$；$＞h$；
最值：$=h$；$=h$
（对应参考答案表述：1.形状、开口方向相同，位置不同，$h＜0$向左、$h＞0$向右平移$|h|$个单位长度。2.对称轴为直线$x=h$，顶点坐标$(h,0)$；$a＞0$时$x＜h$ $y$随$x$增大而减小，$x＞h$ $y$随$x$增大而增大，$x=h$时取最小值0；$a＜0$时$x＜h$ $y$随$x$增大而增大，$x＞h$ $y$随$x$增大而减小，$x=h$时取最大值0。）
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础题型，核心考察顶点式二次函数的平移规律与图象性质，是后续学习更复杂二次函数的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8