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1. 若抛物线的对称轴为直线$x=1$，与$x$轴交于点$A(-1,0)$，则该抛物线与$x$轴的另一交点的坐标是（
A.$(3,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(1,0)$
D.$(2,0)$
A
）A.$(3,0)$
B.$(-3,0)$
C.$(1,0)$
D.$(2,0)$
答案
1. A
解析
【分析】
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点的横坐标的中点对应对称轴的横坐标。本题已知抛物线的对称轴和其中一个与x轴的交点坐标，我们可以利用两点关于直线对称的坐标特征，计算得到另一个交点的坐标。
【解析】
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$。
因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴直线$x=1$对称，所以两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，列方程得：
$\frac{-1 + x}{2} = 1$
解得：$x = 3$
即该抛物线与x轴的另一交点坐标为$(3,0)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数与x轴交点特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查抛物线轴对称性质的应用，解题核心是掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的规律，结合中点坐标关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点的横坐标的中点对应对称轴的横坐标。本题已知抛物线的对称轴和其中一个与x轴的交点坐标，我们可以利用两点关于直线对称的坐标特征，计算得到另一个交点的坐标。
【解析】
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$。
因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴直线$x=1$对称，所以两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，列方程得：
$\frac{-1 + x}{2} = 1$
解得：$x = 3$
即该抛物线与x轴的另一交点坐标为$(3,0)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数与x轴交点特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查抛物线轴对称性质的应用，解题核心是掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的规律，结合中点坐标关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 的图象与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0)，则方程 $ ax^2 + bx = 3 $ 的根为
$x_1=-1,x_2=3$
。答案
2. $x_1=-1,x_2=3$
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的意义：二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是当函数值y=0时对应一元二次方程的根。先将待求方程$ax^2 + bx = 3$变形，发现变形后的方程恰好是已知二次函数y=0时对应的方程，因此直接利用已知的交点横坐标就能得到方程的根。
【解析】
∵ 二次函数$y = ax^2 + bx - 3$的图象与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，
∴ 当$y=0$时，方程$ax^2 + bx - 3 = 0$的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
将待求方程$ax^2 + bx = 3$移项，可得$ax^2 + bx - 3 = 0$，与上述方程完全相同，
因此方程$ax^2 + bx = 3$的根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程的根
【点评】
本题考查二次函数和对应一元二次方程的联系，解题核心是将所求方程转化为二次函数函数值为0时的对应方程，属于基础概念类考题，熟练掌握二次函数与x轴交点的意义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的意义：二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是当函数值y=0时对应一元二次方程的根。先将待求方程$ax^2 + bx = 3$变形，发现变形后的方程恰好是已知二次函数y=0时对应的方程，因此直接利用已知的交点横坐标就能得到方程的根。
【解析】
∵ 二次函数$y = ax^2 + bx - 3$的图象与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，
∴ 当$y=0$时，方程$ax^2 + bx - 3 = 0$的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
将待求方程$ax^2 + bx = 3$移项，可得$ax^2 + bx - 3 = 0$，与上述方程完全相同，
因此方程$ax^2 + bx = 3$的根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程的根
【点评】
本题考查二次函数和对应一元二次方程的联系，解题核心是将所求方程转化为二次函数函数值为0时的对应方程，属于基础概念类考题，熟练掌握二次函数与x轴交点的意义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图,一名学生推铅球,铅球行进高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系是$y=-\dfrac{1}{9}(x-9)(x+2)$,则铅球被推出的水平距离$OA$为
9
m.答案
3. 9
解析
【分析】
要求铅球被推出的水平距离OA，首先明确OA对应的实际意义是铅球落地时的水平距离，此时铅球的行进高度y=0，因此只需将y=0代入给定的二次函数解析式，求解对应的x值，再结合水平距离为非负数的实际意义，舍去不符合要求的根，即可得到OA的长度。
【解析】
当铅球落地时，高度$ y = 0 $，将$ y=0 $代入解析式$ y=-\dfrac{1}{9}(x-9)(x+2) $，得：
$ 0=-\dfrac{1}{9}(x-9)(x+2) $
因为$ -\dfrac{1}{9}≠0 $，所以$ (x-9)(x+2)=0 $
解得$ x_1=9 $，$ x_2=-2 $
由于水平距离不能为负数，因此舍去$ x=-2 $，即点A的坐标为$ (9,0) $，故OA的长度为9m。
【答案】
9
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程的联系，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础题，解题关键是准确理解实际问题中函数值y=0的含义，同时要注意根据自变量的实际意义对方程的根进行取舍，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
要求铅球被推出的水平距离OA，首先明确OA对应的实际意义是铅球落地时的水平距离，此时铅球的行进高度y=0，因此只需将y=0代入给定的二次函数解析式，求解对应的x值，再结合水平距离为非负数的实际意义，舍去不符合要求的根，即可得到OA的长度。
【解析】
当铅球落地时，高度$ y = 0 $，将$ y=0 $代入解析式$ y=-\dfrac{1}{9}(x-9)(x+2) $，得：
$ 0=-\dfrac{1}{9}(x-9)(x+2) $
因为$ -\dfrac{1}{9}≠0 $，所以$ (x-9)(x+2)=0 $
解得$ x_1=9 $，$ x_2=-2 $
由于水平距离不能为负数，因此舍去$ x=-2 $，即点A的坐标为$ (9,0) $，故OA的长度为9m。
【答案】
9
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程的联系，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础题，解题关键是准确理解实际问题中函数值y=0的含义，同时要注意根据自变量的实际意义对方程的根进行取舍，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
4. 二次函数$y=x^2+bx+1(b＞0)$的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是 .
答案
4. $(-1,0)$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：当图象与x轴只有1个公共点时，对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。第一步先根据Δ=0列方程求出b的值，注意题目限定b＞0，舍去不符合条件的解；第二步把b代入二次函数解析式，令y=0解方程，得到的x值就是公共点的横坐标，纵坐标为0，即可得到公共点坐标。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+bx+1$的图象与x轴只有一个公共点
∴ 对应一元二次方程$x^2+bx+1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$c=1$，代入得：
$b^2 - 4×1×1 = 0$
解得$b=2$或$b=-2$
又
∵ $b＞0$，
∴ $b=2$
则二次函数解析式为$y=x^2+2x+1$
令$y=0$，得$x^2+2x+1=0$
因式分解得$(x+1)^2=0$，解得$x=-1$
∴ 此公共点的坐标为$(-1,0)$
【答案】
$(-1,0)$
【知识点】
二次函数与x轴交点的判定、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用二次函数与x轴交点个数和判别式的对应关系解题，解题时要注意题干中b＞0的限制条件，避免出现增解，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：当图象与x轴只有1个公共点时，对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。第一步先根据Δ=0列方程求出b的值，注意题目限定b＞0，舍去不符合条件的解；第二步把b代入二次函数解析式，令y=0解方程，得到的x值就是公共点的横坐标，纵坐标为0，即可得到公共点坐标。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+bx+1$的图象与x轴只有一个公共点
∴ 对应一元二次方程$x^2+bx+1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$c=1$，代入得：
$b^2 - 4×1×1 = 0$
解得$b=2$或$b=-2$
又
∵ $b＞0$，
∴ $b=2$
则二次函数解析式为$y=x^2+2x+1$
令$y=0$，得$x^2+2x+1=0$
因式分解得$(x+1)^2=0$，解得$x=-1$
∴ 此公共点的坐标为$(-1,0)$
【答案】
$(-1,0)$
【知识点】
二次函数与x轴交点的判定、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用二次函数与x轴交点个数和判别式的对应关系解题，解题时要注意题干中b＞0的限制条件，避免出现增解，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.8
5.若二次函数$y=5x^2+x-4m$的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程$5x^2+x=4m$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
答案
5. A
解析
【分析】
解题思路：首先明确二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根；若图象与x轴有2个交点，说明对应方程有两个不相等的实数根。本题先将题干给出的一元二次方程$5x^2+x=4m$变形，和二次函数$y=0$时的方程对比，即可判断根的情况。
【解析】
∵ 二次函数$y=5x^2+x-4m$的图象与x轴有两个交点
∴ 当$y=0$时，方程$5x^2+x-4m=0$有两个不相等的实数根
将一元二次方程$5x^2+x=4m$移项整理，可得$5x^2+x-4m=0$，和上述$y=0$时的方程完全一致
因此方程$5x^2+x=4m$有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练掌握二者的关联即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根；若图象与x轴有2个交点，说明对应方程有两个不相等的实数根。本题先将题干给出的一元二次方程$5x^2+x=4m$变形，和二次函数$y=0$时的方程对比，即可判断根的情况。
【解析】
∵ 二次函数$y=5x^2+x-4m$的图象与x轴有两个交点
∴ 当$y=0$时，方程$5x^2+x-4m=0$有两个不相等的实数根
将一元二次方程$5x^2+x=4m$移项整理，可得$5x^2+x-4m=0$，和上述$y=0$时的方程完全一致
因此方程$5x^2+x=4m$有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练掌握二者的关联即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. 二次函数 $y=(k+1)x^2 -2x +1$ 的图象与x轴有
交点,则k的取值范围是 (
A.$k≥0$
B.$k≤0$
C.$k≤0$ 且 $k≠-1$
D.$k＜0$ 且 $k≠-1$
交点,则k的取值范围是 (
C
)A.$k≥0$
B.$k≤0$
C.$k≤0$ 且 $k≠-1$
D.$k＜0$ 且 $k≠-1$
答案
6. C
解析
【分析】
解题首先要抓住两个核心条件：①题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的前提条件；②二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数 $k+1 ≠ 0$，解得 $k ≠ -1$
∵ 二次函数图象与x轴有交点
∴ 对应一元二次方程的判别式 $\Delta ≥ 0$
其中 $a=k+1$，$b=-2$，$c=1$，代入判别式公式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(k+1)×1 = 4 - 4(k+1) = -4k ≥ 0$
解不等式 $-4k ≥ 0$，两边同时除以-4，不等号方向改变，得 $k ≤ 0$
结合两个条件，k的取值范围是 $k ≤ 0$ 且 $k ≠ -1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义
2.判别式的应用
3.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于二次函数图象与x轴交点问题的基础考查题型，易错点是忽略“二次函数”的限定条件，忘记二次项系数不能为0，仅通过判别式求解误选B，解题时要注意审题，优先考虑函数定义的限定要求。
【难度系数】
0.7
解题首先要抓住两个核心条件：①题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的前提条件；②二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数 $k+1 ≠ 0$，解得 $k ≠ -1$
∵ 二次函数图象与x轴有交点
∴ 对应一元二次方程的判别式 $\Delta ≥ 0$
其中 $a=k+1$，$b=-2$，$c=1$，代入判别式公式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(k+1)×1 = 4 - 4(k+1) = -4k ≥ 0$
解不等式 $-4k ≥ 0$，两边同时除以-4，不等号方向改变，得 $k ≤ 0$
结合两个条件，k的取值范围是 $k ≤ 0$ 且 $k ≠ -1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义
2.判别式的应用
3.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于二次函数图象与x轴交点问题的基础考查题型，易错点是忽略“二次函数”的限定条件，忘记二次项系数不能为0，仅通过判别式求解误选B，解题时要注意审题，优先考虑函数定义的限定要求。
【难度系数】
0.7
7. 如图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象，使$y≥ -1$成立的$x$的取值范围是（
A.$x≥ -1$
B.$x≤ -1$
C.$-1≤ x≤ 3$
D.$x≤ -1$或$x≥ 3$
第7题图 第8题图
C
）A.$x≥ -1$
B.$x≤ -1$
C.$-1≤ x≤ 3$
D.$x≤ -1$或$x≥ 3$
第7题图 第8题图
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确$y≥ -1$的几何意义：即二次函数图像上纵坐标大于等于-1的点对应的横坐标的取值范围。第一步先观察图像，找到二次函数上纵坐标为-1的两个点的横坐标：$x=-1$和$x=3$；第二步判断抛物线开口方向，图中抛物线开口向下，说明两个交点之间的部分图像位于直线$y=-1$的上方，对应$y≥ -1$，因此x的取值范围在这两个横坐标之间，包含端点。
【解析】
$y≥ -1$表示二次函数图像位于直线$y=-1$及上方的部分。
由图像可知：二次函数与直线$y=-1$的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$，且抛物线开口向下，因此两个交点之间的图像满足$y≥ -1$，对应x的取值范围是$-1≤ x≤ 3$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与不等式；数形结合思想
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，只要能理解函数值的大小关系对应图像的上下位置关系，结合给出的交点坐标就能快速求解，是该部分的常考基础考点。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确$y≥ -1$的几何意义：即二次函数图像上纵坐标大于等于-1的点对应的横坐标的取值范围。第一步先观察图像，找到二次函数上纵坐标为-1的两个点的横坐标：$x=-1$和$x=3$；第二步判断抛物线开口方向，图中抛物线开口向下，说明两个交点之间的部分图像位于直线$y=-1$的上方，对应$y≥ -1$，因此x的取值范围在这两个横坐标之间，包含端点。
【解析】
$y≥ -1$表示二次函数图像位于直线$y=-1$及上方的部分。
由图像可知：二次函数与直线$y=-1$的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$，且抛物线开口向下，因此两个交点之间的图像满足$y≥ -1$，对应x的取值范围是$-1≤ x≤ 3$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与不等式；数形结合思想
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，只要能理解函数值的大小关系对应图像的上下位置关系，结合给出的交点坐标就能快速求解，是该部分的常考基础考点。
【难度系数】
0.8
8. 已知二次函数 $ y_1 = ax^2 + bx + c $ 与一次函数 $ y_2 = kx + m $ 的图象相交于点 $ A(-2,4) $，$ B(8,2) $，如图所示，则能使 $ y_1 ＞ y_2 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是
$x＜-2$ 或 $x＞8$
。答案
8. $x＜-2$ 或 $x＞8$
解析
【分析】
要解决使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围问题，首先要明确函数值大小关系对应的图象特征：$y_1＞y_2$表示在相同$x$取值下，二次函数$y_1$的图象位于一次函数$y_2$图象的上方。两个函数的交点$A$、$B$是$y_1=y_2$的位置，也是不等关系的分界点，只需观察交点两侧图象的上下位置，就能确定对应的$x$取值范围。
【解析】
函数值的大小关系对应图象的上下位置关系：
1. 当$y_1=y_2$时，函数图象相交，交点横坐标为$x=-2$和$x=8$；
2. 观察图象可知：
当$x＜-2$时，二次函数图象在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
当$x＞8$时，二次函数图象也在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
当$-2＜x＜8$时，二次函数图象在一次函数图象下方，此时$y_1＜y_2$。
因此能使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞8$。
【答案】
$x＜-2$ 或 $x＞8$
【知识点】
函数图象与不等式的关系、二次函数的图象、一次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是理解函数值的大小关系和函数图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速确定不等式的解集，是函数与不等式结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围问题，首先要明确函数值大小关系对应的图象特征：$y_1＞y_2$表示在相同$x$取值下，二次函数$y_1$的图象位于一次函数$y_2$图象的上方。两个函数的交点$A$、$B$是$y_1=y_2$的位置，也是不等关系的分界点，只需观察交点两侧图象的上下位置，就能确定对应的$x$取值范围。
【解析】
函数值的大小关系对应图象的上下位置关系：
1. 当$y_1=y_2$时，函数图象相交，交点横坐标为$x=-2$和$x=8$；
2. 观察图象可知：
当$x＜-2$时，二次函数图象在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
当$x＞8$时，二次函数图象也在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
当$-2＜x＜8$时，二次函数图象在一次函数图象下方，此时$y_1＜y_2$。
因此能使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞8$。
【答案】
$x＜-2$ 或 $x＞8$
【知识点】
函数图象与不等式的关系、二次函数的图象、一次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是理解函数值的大小关系和函数图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速确定不等式的解集，是函数与不等式结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 若二次函数$y=ax^2+bx+5$的最大值为3，则关于x的方程$ax^2+bx+5=2$的实数根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个实数根
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先结合二次函数有最大值的性质，明确抛物线开口方向和函数的取值范围：二次函数存在最大值说明开口向下，最大值为3即函数的最大值只能取到3，所有函数值都小于等于3。再将一元二次方程$ax^2+bx+5=2$转化为二次函数$y=ax^2+bx+5$与直线$y=2$的交点问题，判断直线与抛物线的交点个数，即可对应得到方程的实数根情况。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+5$的最大值为3，
$\therefore$ 抛物线开口向下（$a＜0$），且对任意实数$x$，都有$ax^2+bx+5 ≤ 3$，仅在顶点处取等号。
关于$x$的方程$ax^2+bx+5=2$的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+5$的函数值为2时的自变量$x$的值。
$\because 2＜3$，开口向下的抛物线最大值为3，$\therefore$ 直线$y=2$与抛物线有2个不同的交点，
即方程$ax^2+bx+5=2$有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的联系；抛物线与直线的交点
【点评】
本题将二次函数的性质与一元二次方程根的判定结合考查，核心是理解函数与方程的转化关系，属于基础类综合题，熟练掌握二次函数图象性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合二次函数有最大值的性质，明确抛物线开口方向和函数的取值范围：二次函数存在最大值说明开口向下，最大值为3即函数的最大值只能取到3，所有函数值都小于等于3。再将一元二次方程$ax^2+bx+5=2$转化为二次函数$y=ax^2+bx+5$与直线$y=2$的交点问题，判断直线与抛物线的交点个数，即可对应得到方程的实数根情况。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+5$的最大值为3，
$\therefore$ 抛物线开口向下（$a＜0$），且对任意实数$x$，都有$ax^2+bx+5 ≤ 3$，仅在顶点处取等号。
关于$x$的方程$ax^2+bx+5=2$的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+5$的函数值为2时的自变量$x$的值。
$\because 2＜3$，开口向下的抛物线最大值为3，$\therefore$ 直线$y=2$与抛物线有2个不同的交点，
即方程$ax^2+bx+5=2$有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的联系；抛物线与直线的交点
【点评】
本题将二次函数的性质与一元二次方程根的判定结合考查，核心是理解函数与方程的转化关系，属于基础类综合题，熟练掌握二次函数图象性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 函数$y=|ax^2+bx+c|(a＞0,b^2-4ac＞0)$的图象是由函数$y=ax^2+bx+c(a＞0,b^2-4ac＞0)$的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（
①$2a+b=0$；②$c=3$；③$abc＞0$.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）①$2a+b=0$；②$c=3$；③$abc＞0$.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先从图象确定原二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，第一步先计算对称轴，结合二次函数对称轴公式推导$a$和$b$的关系，判断结论①；第二步根据原二次函数开口向上的性质，判断$x=0$处原函数值的符号，结合翻折后的函数值得到$c$的取值，判断结论②；第三步根据$a$、$b$、$c$的正负性，判断$abc$的符号，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断结论①：
原二次函数与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确。
2. 判断结论②：
已知$a＞0$，原二次函数开口向上，因此在两根$-1＜x＜3$范围内，原函数值小于0。
$x=0$在$-1＜x＜3$范围内，因此原函数在$x=0$处的值$c＜0$，翻折后$x=0$处的函数值为$|c|=3$，可得$c=-3≠3$，故②错误。
3. 判断结论③：
由$a＞0$，$b=-2a$可得$b＜0$，又$c=-3＜0$，因此$abc=$正数$×$负数$×$负数$=$正数，即$abc＞0$，故③正确。
综上，①③正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，绝对值的性质
【点评】
本题结合图象翻折考查二次函数的相关性质，解题的关键是明确翻折前后函数值的关系，结合二次函数的开口方向、对称轴等性质分析参数的符号，能够有效考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从图象确定原二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，第一步先计算对称轴，结合二次函数对称轴公式推导$a$和$b$的关系，判断结论①；第二步根据原二次函数开口向上的性质，判断$x=0$处原函数值的符号，结合翻折后的函数值得到$c$的取值，判断结论②；第三步根据$a$、$b$、$c$的正负性，判断$abc$的符号，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断结论①：
原二次函数与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确。
2. 判断结论②：
已知$a＞0$，原二次函数开口向上，因此在两根$-1＜x＜3$范围内，原函数值小于0。
$x=0$在$-1＜x＜3$范围内，因此原函数在$x=0$处的值$c＜0$，翻折后$x=0$处的函数值为$|c|=3$，可得$c=-3≠3$，故②错误。
3. 判断结论③：
由$a＞0$，$b=-2a$可得$b＜0$，又$c=-3＜0$，因此$abc=$正数$×$负数$×$负数$=$正数，即$abc＞0$，故③正确。
综上，①③正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，绝对值的性质
【点评】
本题结合图象翻折考查二次函数的相关性质，解题的关键是明确翻折前后函数值的关系，结合二次函数的开口方向、对称轴等性质分析参数的符号，能够有效考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
