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11. 你能利用函数图象求方程$x^2 -4x +3=0$的根吗？
解法一:由函数$y=x^2 -4x +3$的图象(如图①)可知,它与x轴交点的横坐标分别为1,3,所以方程$x^2 -4x +3=0$的根是
解法二:由函数$y=x^2$和函数$y=4x -3$的图象(如图②)可知,两函数图象的交点的横坐标分别为1,3,所以方程$x^2 -4x +3=0$的根是
结论(1):一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$的根是二次函数$y=ax^2 +bx +c$的图象与x轴交点的
结论(2):函数$y=ax^2$与函数$y=-bx -c$图象的交点的
应用:若抛物线$y=x^2$与直线$y=x+2$的交点坐标为$(-1,1)$和$(2,4)$,则方程$x^2 -x -2=0$的根为
解法一:由函数$y=x^2 -4x +3$的图象(如图①)可知,它与x轴交点的横坐标分别为1,3,所以方程$x^2 -4x +3=0$的根是
$x_1=1,x_2=3$
.解法二:由函数$y=x^2$和函数$y=4x -3$的图象(如图②)可知,两函数图象的交点的横坐标分别为1,3,所以方程$x^2 -4x +3=0$的根是
$x_1=1,x_2=3$
.结论(1):一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$的根是二次函数$y=ax^2 +bx +c$的图象与x轴交点的
横坐标
.结论(2):函数$y=ax^2$与函数$y=-bx -c$图象的交点的
横坐标
是方程$ax^2 +bx +c=0$的根.应用:若抛物线$y=x^2$与直线$y=x+2$的交点坐标为$(-1,1)$和$(2,4)$,则方程$x^2 -x -2=0$的根为
$x_1=-1,x_2=2$
.答案
11. 解法一:$x_1=1,x_2=3$
解法二:$x_1=1,x_2=3$
结论(1):横坐标
结论(2):横坐标
应用:$x_1=-1,x_2=2$
解法二:$x_1=1,x_2=3$
结论(1):横坐标
结论(2):横坐标
应用:$x_1=-1,x_2=2$
解析
【分析】
解题时需明确一元二次方程与对应函数图象的关系：① 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴（y=0）交点的横坐标；② 也可将方程变形为两个函数表达式相等的形式，此时两个函数图象交点的横坐标就是方程的根，按照这个逻辑依次求解各空即可。
【解析】
解法一：x轴上的点纵坐标为0，因此二次函数$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标就是$y=0$时x的取值，即方程$x^2-4x+3=0$的根，由图象得交点横坐标为1、3，故根为$x_1=1,x_2=3$。
解法二：将方程$x^2-4x+3=0$移项得$x^2=4x-3$，此时方程的解就是函数$y=x^2$和$y=4x-3$函数值相等时x的取值，即两函数图象交点的横坐标，由图象得交点横坐标为1、3，故根为$x_1=1,x_2=3$。
结论(1)：结合解法一的逻辑，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。
结论(2)：将方程$ax^2+bx+c=0$移项得$ax^2=-bx-c$，因此函数$y=ax^2$与$y=-bx-c$图象交点的横坐标是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
应用：将方程$x^2-x-2=0$移项得$x^2=x+2$，已知抛物线$y=x^2$与直线$y=x+2$的交点横坐标为-1、2，因此方程的根为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】
解法一:$x_1=1,x_2=3$
解法二:$x_1=1,x_2=3$
结论(1):横坐标
结论(2):横坐标
应用:$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图象交点的意义
【点评】
本题考查利用函数图象求解一元二次方程的根，渗透了数形结合的数学思想，掌握二次函数与x轴交点、两个函数交点和对应方程根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时需明确一元二次方程与对应函数图象的关系：① 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴（y=0）交点的横坐标；② 也可将方程变形为两个函数表达式相等的形式，此时两个函数图象交点的横坐标就是方程的根，按照这个逻辑依次求解各空即可。
【解析】
解法一：x轴上的点纵坐标为0，因此二次函数$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标就是$y=0$时x的取值，即方程$x^2-4x+3=0$的根，由图象得交点横坐标为1、3，故根为$x_1=1,x_2=3$。
解法二：将方程$x^2-4x+3=0$移项得$x^2=4x-3$，此时方程的解就是函数$y=x^2$和$y=4x-3$函数值相等时x的取值，即两函数图象交点的横坐标，由图象得交点横坐标为1、3，故根为$x_1=1,x_2=3$。
结论(1)：结合解法一的逻辑，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。
结论(2)：将方程$ax^2+bx+c=0$移项得$ax^2=-bx-c$，因此函数$y=ax^2$与$y=-bx-c$图象交点的横坐标是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
应用：将方程$x^2-x-2=0$移项得$x^2=x+2$，已知抛物线$y=x^2$与直线$y=x+2$的交点横坐标为-1、2，因此方程的根为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】
解法一:$x_1=1,x_2=3$
解法二:$x_1=1,x_2=3$
结论(1):横坐标
结论(2):横坐标
应用:$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图象交点的意义
【点评】
本题考查利用函数图象求解一元二次方程的根，渗透了数形结合的数学思想，掌握二次函数与x轴交点、两个函数交点和对应方程根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
12. 已知二次函数 $y=x^2 - mx + m - 2$.
(1) 求证:无论 m 为任何实数,该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点.
(2) 若图象经过原点,求该二次函数的解析式.
(1) 求证:无论 m 为任何实数,该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点.
(2) 若图象经过原点,求该二次函数的解析式.
答案
12. (1)
∵ $\Delta=(-m)^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4＞0$,
∴ 无论 m 为任何实数,该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点.
(2) 把点$(0,0)$代入$y=x^2-mx+m-2$,
得$m-2=0$,解得$m=2$.
∴ 二次函数的解析式为$y=x^2-2x$.
∵ $\Delta=(-m)^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4＞0$,
∴ 无论 m 为任何实数,该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点.
(2) 把点$(0,0)$代入$y=x^2-mx+m-2$,
得$m-2=0$,解得$m=2$.
∴ 二次函数的解析式为$y=x^2-2x$.
解析
【分析】
(1) 要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可借助一元二次方程根的判别式Δ：当Δ＞0时，二次函数与x轴有2个交点。因此先计算该函数对应的判别式，再通过配方证明Δ恒大于0即可。
(2) 函数图象过原点，说明原点坐标(0,0)满足函数解析式，将点坐标代入解析式求出m的值，再回代到原解析式即可得到所求的二次函数表达式。
【解析】
(1) 二次函数$y=x^2 - mx + m - 2$对应的一元二次方程为$x^2 - mx + m - 2=0$，
其判别式为：
$\Delta=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$
∵ 无论m取任意实数，$(m-2)^2≥0$，
∴ $(m-2)^2+4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点。
(2)
∵ 二次函数图象经过原点$(0,0)$，
∴ 把$x=0,y=0$代入$y=x^2 - mx + m - 2$，得：
$m-2=0$，解得$m=2$，
将$m=2$代入原解析式，得二次函数的解析式为$y=x^2-2x$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $y=x^2-2x$
【知识点】
判别式的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问核心是掌握二次函数与x轴交点个数和判别式的对应关系，通过配方判断判别式的符号即可求证；第二问利用点在函数图象上的性质代入求解，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可借助一元二次方程根的判别式Δ：当Δ＞0时，二次函数与x轴有2个交点。因此先计算该函数对应的判别式，再通过配方证明Δ恒大于0即可。
(2) 函数图象过原点，说明原点坐标(0,0)满足函数解析式，将点坐标代入解析式求出m的值，再回代到原解析式即可得到所求的二次函数表达式。
【解析】
(1) 二次函数$y=x^2 - mx + m - 2$对应的一元二次方程为$x^2 - mx + m - 2=0$，
其判别式为：
$\Delta=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$
∵ 无论m取任意实数，$(m-2)^2≥0$，
∴ $(m-2)^2+4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点。
(2)
∵ 二次函数图象经过原点$(0,0)$，
∴ 把$x=0,y=0$代入$y=x^2 - mx + m - 2$，得：
$m-2=0$，解得$m=2$，
将$m=2$代入原解析式，得二次函数的解析式为$y=x^2-2x$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $y=x^2-2x$
【知识点】
判别式的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问核心是掌握二次函数与x轴交点个数和判别式的对应关系，通过配方判断判别式的符号即可求证；第二问利用点在函数图象上的性质代入求解，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
13. 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + a + 2 $ 经过点 $ A(1,0) $，其中 $ a,b $ 为常数.
(1)用含有字母 $ a $ 的代数式表示抛物线顶点的横坐标.
(2)若 $ a=1 $ 时，此时抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ B $，与 $ y $ 轴的交点为 $ C $，连接 $ BC $，若 $ P $ 是抛物线上一点，使得 $ \mathrm{Rt} △ BCP $ 是以 $ BC $ 边为直角边的直角三角形，求点 $ P $ 的坐标.
(1)用含有字母 $ a $ 的代数式表示抛物线顶点的横坐标.
(2)若 $ a=1 $ 时，此时抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ B $，与 $ y $ 轴的交点为 $ C $，连接 $ BC $，若 $ P $ 是抛物线上一点，使得 $ \mathrm{Rt} △ BCP $ 是以 $ BC $ 边为直角边的直角三角形，求点 $ P $ 的坐标.
答案
13. (1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+a+2$经过点$A(1,0)$,
即当$x=1$时,$y=a+b+a+2=0$,
∴ $b=-2a-2$.
∴ $y=ax^2-(2a+2)x+a+2$.
∴ 对称轴为直线$x=-\frac{-(2a+2)}{2a}=\frac{2a+2}{2a}=1+\frac{1}{a}$.
∴ 抛物线顶点的横坐标为$1+\frac{1}{a}$.
(2)
∵ $a=1$,
∴ $b=-2a-2=-4$,
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+3$.
令$y=0$,即$x^2-4x+3=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
∴ $B(3,0)$.
令$x=0,y=3$,则$C(0,3)$,
∴ $OB=OC$.
∴ $△ OBC$是等腰直角三角形.
∴ $∠ CBO=45°$.
①如图,当$∠ PBC=90°$时,过点$P$作$PQ ⊥ x$轴于点$Q$,则$∠ PBQ=45°$,
∴ $△ PBQ$是等腰直角三角形.
∴ $PQ=BQ$.
设$P(m,m^2-4m+3)$.
∵ $BQ=PQ$,即$3-m=-(m^2-4m+3)$,
解得$m_1=2,m_2=3$(舍去).
∴ $P(2,-1)$.
②如图,当$∠ PCB=90°$时,过点$P$作$PM ⊥ y$轴于点$M$.
同理可得$△ PMC$是等腰直角三角形,
∴ $PM=MC$,即$m=m^2-4m+3-3$.
解得$m_1=0$(舍去),$m_2=5$.
∴ $P(5,8)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(2,-1)$或$(5,8)$.
解析
【分析】
(1) 顶点横坐标即抛物线对称轴对应的x值，首先将点A(1,0)代入抛物线解析式，推导得到b与a的关系，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$化简，即可得到用a表示的顶点横坐标。
(2) 先将a=1代入，求出抛物线的具体解析式，再分别求解抛物线与x轴、y轴的交点，得到B、C两点坐标；由于Rt△BCP以BC为直角边，因此分两种情况讨论：①直角顶点为点B，②直角顶点为点C。分别结合两种情况下的几何特征（等腰直角三角形直角边相等），设出点P的坐标列方程求解，舍去不符合题意的解，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+a+2$经过点$A(1,0)$,
即当$x=1$时,$y=a+b+a+2=0$,
∴ $b=-2a-2$.
∴ $y=ax^2-(2a+2)x+a+2$.
∴ 对称轴为直线$x=-\frac{-(2a+2)}{2a}=\frac{2a+2}{2a}=1+\frac{1}{a}$.
∴ 抛物线顶点的横坐标为$1+\frac{1}{a}$.
(2)
∵ $a=1$,
∴ $b=-2a-2=-4$,
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+3$.
令$y=0$,即$x^2-4x+3=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
∴ $B(3,0)$.
令$x=0,y=3$,则$C(0,3)$,
∴ $OB=OC$.
∴ $△ OBC$是等腰直角三角形.
∴ $∠ CBO=45°$.
①当$∠ PBC=90°$时,过点$P$作$PQ ⊥ x$轴于点$Q$,则$∠ PBQ=45°$,
∴ $△ PBQ$是等腰直角三角形.
∴ $PQ=BQ$.
设$P(m,m^2-4m+3)$.
∵ $BQ=PQ$,即$3-m=-(m^2-4m+3)$,
解得$m_1=2,m_2=3$(舍去).
∴ $P(2,-1)$.
②当$∠ PCB=90°$时,过点$P$作$PM ⊥ y$轴于点$M$.
同理可得$△ PMC$是等腰直角三角形,
∴ $PM=MC$,即$m=m^2-4m+3-3$.
解得$m_1=0$(舍去),$m_2=5$.
∴ $P(5,8)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(2,-1)$或$(5,8)$.
【答案】
(1) 抛物线顶点的横坐标为$\boldsymbol{1+\frac{1}{a}}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$或$\boldsymbol{(5,8)}$。
【知识点】
二次函数性质，直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题综合考查二次函数基础性质与几何结合的应用，第一问难度较低，侧重二次函数对称轴公式的基础应用；第二问需要结合分类讨论思想，明确直角顶点的两种可能位置，结合图形的几何特征建立方程求解，解题时需注意舍去不符合题意的增根，避免出现多解或漏解的问题，有利于培养数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 顶点横坐标即抛物线对称轴对应的x值，首先将点A(1,0)代入抛物线解析式，推导得到b与a的关系，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$化简，即可得到用a表示的顶点横坐标。
(2) 先将a=1代入，求出抛物线的具体解析式，再分别求解抛物线与x轴、y轴的交点，得到B、C两点坐标；由于Rt△BCP以BC为直角边，因此分两种情况讨论：①直角顶点为点B，②直角顶点为点C。分别结合两种情况下的几何特征（等腰直角三角形直角边相等），设出点P的坐标列方程求解，舍去不符合题意的解，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+a+2$经过点$A(1,0)$,
即当$x=1$时,$y=a+b+a+2=0$,
∴ $b=-2a-2$.
∴ $y=ax^2-(2a+2)x+a+2$.
∴ 对称轴为直线$x=-\frac{-(2a+2)}{2a}=\frac{2a+2}{2a}=1+\frac{1}{a}$.
∴ 抛物线顶点的横坐标为$1+\frac{1}{a}$.
(2)
∵ $a=1$,
∴ $b=-2a-2=-4$,
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+3$.
令$y=0$,即$x^2-4x+3=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
∴ $B(3,0)$.
令$x=0,y=3$,则$C(0,3)$,
∴ $OB=OC$.
∴ $△ OBC$是等腰直角三角形.
∴ $∠ CBO=45°$.
①当$∠ PBC=90°$时,过点$P$作$PQ ⊥ x$轴于点$Q$,则$∠ PBQ=45°$,
∴ $△ PBQ$是等腰直角三角形.
∴ $PQ=BQ$.
设$P(m,m^2-4m+3)$.
∵ $BQ=PQ$,即$3-m=-(m^2-4m+3)$,
解得$m_1=2,m_2=3$(舍去).
∴ $P(2,-1)$.
②当$∠ PCB=90°$时,过点$P$作$PM ⊥ y$轴于点$M$.
同理可得$△ PMC$是等腰直角三角形,
∴ $PM=MC$,即$m=m^2-4m+3-3$.
解得$m_1=0$(舍去),$m_2=5$.
∴ $P(5,8)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(2,-1)$或$(5,8)$.
【答案】
(1) 抛物线顶点的横坐标为$\boldsymbol{1+\frac{1}{a}}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$或$\boldsymbol{(5,8)}$。
【知识点】
二次函数性质，直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题综合考查二次函数基础性质与几何结合的应用，第一问难度较低，侧重二次函数对称轴公式的基础应用；第二问需要结合分类讨论思想，明确直角顶点的两种可能位置，结合图形的几何特征建立方程求解，解题时需注意舍去不符合题意的增根，避免出现多解或漏解的问题，有利于培养数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
