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探究1: 如图所示为二次函数 $y=x^2$ 的图象, 请按照列表、描点、连线的步骤, 在同一平面直角坐标系中, 画出二次函数 $y=2x^2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象, 并完成后面的填空.
列表:
描点、连线:
观察发现: ①二次函数 $y=2x^2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象的形状是 , 开口向 , 对称轴是 , 顶点坐标是 . 在对称轴的左侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 ; 在对称轴的右侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 . 当 $x=$ 时, $y$ 有最 值, 为 . .
②当 $a＞0$ 时, $a$ 越大, 抛物线 $y=ax^2$ 的开口越 . (填“大”或“小”)
探究2: 如图所示为二次函数 $y=-x^2$ 的图象, 仿照探究1, 请在同一平面直角坐标系中, 画出二次函数 $y=-2x^2$ 和 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象, 并完成后面的填空.
列表:
描点、连线:
观察发现: ①二次函数 $y=-2x^2$ 和 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象的形状是 , 开口向 , 对称轴是 , 顶点坐标是 . 在对称轴的左侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 ; 在对称轴的右侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 . 当 $x=$ 时, $y$ 有最 值, 为 . .
②当 $a＜0$ 时, $a$ 越小, 即 $|a|$ 越大, 抛物线 $y=ax^2$ 的开口越 . (填“大”或“小”)
列表:
描点、连线:
观察发现: ①二次函数 $y=2x^2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象的形状是 , 开口向 , 对称轴是 , 顶点坐标是 . 在对称轴的左侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 ; 在对称轴的右侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 . 当 $x=$ 时, $y$ 有最 值, 为 . .
②当 $a＞0$ 时, $a$ 越大, 抛物线 $y=ax^2$ 的开口越 . (填“大”或“小”)
探究2: 如图所示为二次函数 $y=-x^2$ 的图象, 仿照探究1, 请在同一平面直角坐标系中, 画出二次函数 $y=-2x^2$ 和 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象, 并完成后面的填空.
列表:
描点、连线:
观察发现: ①二次函数 $y=-2x^2$ 和 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象的形状是 , 开口向 , 对称轴是 , 顶点坐标是 . 在对称轴的左侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 ; 在对称轴的右侧, $y$ 随 $x$ 的增大而 . 当 $x=$ 时, $y$ 有最 值, 为 . .
②当 $a＜0$ 时, $a$ 越小, 即 $|a|$ 越大, 抛物线 $y=ax^2$ 的开口越 . (填“大”或“小”)
答案
探究1 列表、描点、连线画出函数图象略.
①抛物线 上 y轴 (0, 0) 减小 增大 0 小 0 ②小
探究2 列表、描点、连线画出函数图象略.
①抛物线 下 y轴 (0, 0) 增大 减小 0 大 0 ②小
①抛物线 上 y轴 (0, 0) 减小 增大 0 小 0 ②小
探究2 列表、描点、连线画出函数图象略.
①抛物线 下 y轴 (0, 0) 增大 减小 0 大 0 ②小
解析
【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题可按以下思路推导：1. 首先明确所有形如$y=ax^2$的二次函数图象都是抛物线；2. 根据$a$的正负判断开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；3. 该类函数没有一次项和常数项，对称轴都是y轴（直线$x=0$），顶点都是原点$(0,0)$；4. 结合开口方向判断增减性和最值：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧增大，顶点处取最小值；开口向下时增减性相反，顶点处取最大值；5. 对比不同$a$值的图象可知，$|a|$越大，抛物线开口越小，据此即可完成所有填空。
【解析】
探究1
按列表、描点、连线步骤画图象（过程略），结合性质分析：
① $y=2x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$的$a$均大于0，因此图象为抛物线，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是$(0,0)$；对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大；$x=0$时$y$取最小值0。
② 对比三个$a＞0$的抛物线，$a$越大，开口越小，故填“小”。
探究2
同理画图（过程略），结合性质分析：
① $y=-2x^2$和$y=-\frac{1}{2}x^2$的$a$均小于0，因此图象为抛物线，开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是$(0,0)$；对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小；$x=0$时$y$取最大值0。
② 对比三个$a＜0$的抛物线，$a$越小（即$|a|$越大），开口越小，故填“小”。
【答案】
探究1 列表、描点、连线画出函数图象略.
①抛物线 上 y轴 (0, 0) 减小 增大 0 小 0 ②小
探究2 列表、描点、连线画出函数图象略.
①抛物线 下 y轴 (0, 0) 增大 减小 0 大 0 ②小
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象特征
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 抛物线开口与$a$的关系
【点评】
本题通过对比不同$a$值下二次函数$y=ax^2$的图象，考查该类函数的基础性质，是二次函数模块的入门核心内容，掌握好本节知识可为后续学习复杂二次函数奠定扎实基础。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题可按以下思路推导：1. 首先明确所有形如$y=ax^2$的二次函数图象都是抛物线；2. 根据$a$的正负判断开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；3. 该类函数没有一次项和常数项，对称轴都是y轴（直线$x=0$），顶点都是原点$(0,0)$；4. 结合开口方向判断增减性和最值：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧增大，顶点处取最小值；开口向下时增减性相反，顶点处取最大值；5. 对比不同$a$值的图象可知，$|a|$越大，抛物线开口越小，据此即可完成所有填空。
【解析】
探究1
按列表、描点、连线步骤画图象（过程略），结合性质分析：
① $y=2x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$的$a$均大于0，因此图象为抛物线，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是$(0,0)$；对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大；$x=0$时$y$取最小值0。
② 对比三个$a＞0$的抛物线，$a$越大，开口越小，故填“小”。
探究2
同理画图（过程略），结合性质分析：
① $y=-2x^2$和$y=-\frac{1}{2}x^2$的$a$均小于0，因此图象为抛物线，开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是$(0,0)$；对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小；$x=0$时$y$取最大值0。
② 对比三个$a＜0$的抛物线，$a$越小（即$|a|$越大），开口越小，故填“小”。
【答案】
探究1 列表、描点、连线画出函数图象略.
①抛物线 上 y轴 (0, 0) 减小 增大 0 小 0 ②小
探究2 列表、描点、连线画出函数图象略.
①抛物线 下 y轴 (0, 0) 增大 减小 0 大 0 ②小
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象特征
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 抛物线开口与$a$的关系
【点评】
本题通过对比不同$a$值下二次函数$y=ax^2$的图象，考查该类函数的基础性质，是二次函数模块的入门核心内容，掌握好本节知识可为后续学习复杂二次函数奠定扎实基础。
【难度系数】
0.8
