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20. 如图，点F为正方形ABCD内一点，△BEA是由△BFC逆时针旋转得到的.
（1）旋转中心是
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）若∠BFC=90°，求证AE//BF.
（1）旋转中心是
点B
，旋转角度最小为$90°$
；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）若∠BFC=90°，求证AE//BF.
答案
20.（1）点B $90°$
（2）解 $△BEF$ 是等腰直角三角形. 理由如下：因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以$∠ABC=90°$. 因为$△BEA$ 是由$△BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到的，所以 $BE = BF$，$∠EBF=∠ABC=90°$. 所以$△BEF$ 是等腰直角三角形.
（3）证明 因为$△BEA$ 是由$△BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到的，所以 $∠BEA =∠BFC = 90°$. 因为 $∠EBF = 90°$，所以$∠BEA+∠EBF=180°$. 所以 $AE// BF.$
（2）解 $△BEF$ 是等腰直角三角形. 理由如下：因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以$∠ABC=90°$. 因为$△BEA$ 是由$△BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到的，所以 $BE = BF$，$∠EBF=∠ABC=90°$. 所以$△BEF$ 是等腰直角三角形.
（3）证明 因为$△BEA$ 是由$△BFC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到的，所以 $∠BEA =∠BFC = 90°$. 因为 $∠EBF = 90°$，所以$∠BEA+∠EBF=180°$. 所以 $AE// BF.$
解析
【分析】
（1）解决旋转相关的基础问题，先回忆旋转的定义：旋转过程中固定不动的点为旋转中心，一组对应边的夹角就是最小旋转角。本题中△BEA由△BFC旋转得到，点B位置不变，因此旋转中心是点B；正方形内角∠ABC=90°，BC旋转后的对应边是BA，因此最小旋转角为90°。
（2）判断三角形形状可从旋转性质入手：旋转前后对应边相等，可得BE=BF，再结合旋转角等于∠ABC=90°，即可推出△BEF为等腰直角三角形。
（3）证明两直线平行可利用平行线判定定理，本题可证同旁内角互补推导平行。由旋转性质得对应角∠BEA=∠BFC=90°，结合∠EBF=90°，可得∠BEA与∠EBF互补，即可证得AE//BF。
【解析】
（1）根据旋转的定义，旋转过程中位置固定的点为旋转中心，可知旋转中心是点B；正方形ABCD中∠ABC=90°，边BC旋转后的对应边为BA，因此最小旋转角度为90°。
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°。
∵△BEA是由△BFC绕点B逆时针旋转得到的，
∴$BE = BF$，$∠EBF=∠ABC=90°$，
∴△BEF是等腰直角三角形。
（3）证明：
∵△BEA是由△BFC绕点B逆时针旋转得到的，
∴$∠BEA =∠BFC = 90°$，
又
∵$∠EBF = 90°$，
∴$∠BEA+∠EBF=180°$，
∴$AE// BF$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
（1）点B；$90°$
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由见上述解析
（3）证明见上述解析
【知识点】
旋转的性质、正方形的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是熟练掌握旋转前后对应边、对应角相等的性质，结合正方形的特征和平行线判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
（1）解决旋转相关的基础问题，先回忆旋转的定义：旋转过程中固定不动的点为旋转中心，一组对应边的夹角就是最小旋转角。本题中△BEA由△BFC旋转得到，点B位置不变，因此旋转中心是点B；正方形内角∠ABC=90°，BC旋转后的对应边是BA，因此最小旋转角为90°。
（2）判断三角形形状可从旋转性质入手：旋转前后对应边相等，可得BE=BF，再结合旋转角等于∠ABC=90°，即可推出△BEF为等腰直角三角形。
（3）证明两直线平行可利用平行线判定定理，本题可证同旁内角互补推导平行。由旋转性质得对应角∠BEA=∠BFC=90°，结合∠EBF=90°，可得∠BEA与∠EBF互补，即可证得AE//BF。
【解析】
（1）根据旋转的定义，旋转过程中位置固定的点为旋转中心，可知旋转中心是点B；正方形ABCD中∠ABC=90°，边BC旋转后的对应边为BA，因此最小旋转角度为90°。
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°。
∵△BEA是由△BFC绕点B逆时针旋转得到的，
∴$BE = BF$，$∠EBF=∠ABC=90°$，
∴△BEF是等腰直角三角形。
（3）证明：
∵△BEA是由△BFC绕点B逆时针旋转得到的，
∴$∠BEA =∠BFC = 90°$，
又
∵$∠EBF = 90°$，
∴$∠BEA+∠EBF=180°$，
∴$AE// BF$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
（1）点B；$90°$
（2）△BEF是等腰直角三角形，理由见上述解析
（3）证明见上述解析
【知识点】
旋转的性质、正方形的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是熟练掌握旋转前后对应边、对应角相等的性质，结合正方形的特征和平行线判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
21. 如图，在下列$5×5$的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点.线段AB的端点均在格点上.以下所画的四边形的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹.
（1）在图①中，以AB为边，画一个中心对称的四边形ABCD，且其面积为3；
（2）在图②中，以AB为对角线，画一个中心对称的四边形ACBD，且其面积为3；
（3）在图③中，以AB为边，画一个中心对称且不轴对称的四边形ABCD，且其面积为4.
（1）在图①中，以AB为边，画一个中心对称的四边形ABCD，且其面积为3；
（2）在图②中，以AB为对角线，画一个中心对称的四边形ACBD，且其面积为3；
（3）在图③中，以AB为边，画一个中心对称且不轴对称的四边形ABCD，且其面积为4.
答案
21. 解（1）如图①，四边形 $ABCD$ 即为所求.
（2）如图②，四边形 $ACBD$ 即为所求.
（3）如图③，四边形 $ABCD$ 即为所求.
解析
【分析】
本题考查网格中的中心对称图形作图，核心思路是利用“平行四边形是典型的中心对称图形”这一性质，结合面积要求确定顶点位置：
1. 第（1）问以AB为边作中心对称四边形，优先构造平行四边形，根据面积为3的要求，选择合适的底和高确定其余顶点；
2. 第（2）问以AB为对角线作中心对称四边形，同样构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质确定另外两个顶点，保证面积为3即可；
3. 第（3）问要求作以AB为边、中心对称且不轴对称的四边形，即构造不是矩形、菱形、正方形的普通平行四边形，满足面积为4的要求即可。
【解析】
（1）平行四边形是中心对称图形，以AB为边，在网格中取点C、D，使得AD平行且等于BC，构造平行四边形ABCD。选择BC长度为1（水平方向1个单位），平行四边形的高为垂直方向3个单位，面积=底×高=1×3=3，满足要求，按顺序连接A、B、C、D即可。
（2）以AB为对角线的中心对称四边形为平行四边形，平行四边形对角线互相平分，先找到AB的中点，再取格点C、D，使得CD与AB互相平分，此时四边形ACBD为平行四边形，通过割补法计算其面积为3，满足要求，连接各顶点即可。
（3）中心对称的四边形为平行四边形，轴对称的平行四边形只有矩形、菱形、正方形，因此只需构造普通平行四边形即可满足不轴对称的要求。以AB为边取格点C、D，使得BC平行且等于AD，该平行四边形的底为2、对应高为2，面积=2×2=4，且邻边不相等、内角不为直角，符合要求，连接各顶点即可。
【答案】
（1）如图①，四边形 $ABCD$ 即为所求.
（2）如图②，四边形 $ACBD$ 即为所求.
（3）如图③，四边形 $ABCD$ 即为所求.
【知识点】
平行四边形的性质；中心对称图形；网格作图
【点评】
本题属于网格操作类题型，综合考查了中心对称图形的判定、平行四边形的性质与面积计算，需要结合网格的特征灵活确定顶点位置，能有效锻炼学生的图形感知能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
本题考查网格中的中心对称图形作图，核心思路是利用“平行四边形是典型的中心对称图形”这一性质，结合面积要求确定顶点位置：
1. 第（1）问以AB为边作中心对称四边形，优先构造平行四边形，根据面积为3的要求，选择合适的底和高确定其余顶点；
2. 第（2）问以AB为对角线作中心对称四边形，同样构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质确定另外两个顶点，保证面积为3即可；
3. 第（3）问要求作以AB为边、中心对称且不轴对称的四边形，即构造不是矩形、菱形、正方形的普通平行四边形，满足面积为4的要求即可。
【解析】
（1）平行四边形是中心对称图形，以AB为边，在网格中取点C、D，使得AD平行且等于BC，构造平行四边形ABCD。选择BC长度为1（水平方向1个单位），平行四边形的高为垂直方向3个单位，面积=底×高=1×3=3，满足要求，按顺序连接A、B、C、D即可。
（2）以AB为对角线的中心对称四边形为平行四边形，平行四边形对角线互相平分，先找到AB的中点，再取格点C、D，使得CD与AB互相平分，此时四边形ACBD为平行四边形，通过割补法计算其面积为3，满足要求，连接各顶点即可。
（3）中心对称的四边形为平行四边形，轴对称的平行四边形只有矩形、菱形、正方形，因此只需构造普通平行四边形即可满足不轴对称的要求。以AB为边取格点C、D，使得BC平行且等于AD，该平行四边形的底为2、对应高为2，面积=2×2=4，且邻边不相等、内角不为直角，符合要求，连接各顶点即可。
【答案】
（1）如图①，四边形 $ABCD$ 即为所求.
（2）如图②，四边形 $ACBD$ 即为所求.
（3）如图③，四边形 $ABCD$ 即为所求.
【知识点】
平行四边形的性质；中心对称图形；网格作图
【点评】
本题属于网格操作类题型，综合考查了中心对称图形的判定、平行四边形的性质与面积计算，需要结合网格的特征灵活确定顶点位置，能有效锻炼学生的图形感知能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
