17. 如图，$△ ABC$绕点A逆时针旋转得到$△ ADE$，点C旋转后恰好落在BC延长线上的点E处. 已知$∠ ACB=105°$，$∠ CAD=10°$，求$∠ DFE$和$∠ B$的度数.

17. 解 因为$∠ECA=180°-∠ACB=75°$，所以 $∠CFA = 180° - ∠ECA -∠CAD=95°.$ 所以$∠DFE=∠CFA=95°.$
因为$△ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到$△ADE$，所以 $∠AED = ∠ACB = 105°$，$∠D = ∠B$，$AE = AC.$ 所以 $∠AEC =∠ECA = 75°.$ 所以$∠DEF=105°-75°=30°.$ 所以$∠D=180°-30°-95°=55°.$ 所以$∠B=55°.$

【分析】
解题时先从已知条件和要求的角度出发：①求∠DFE，观察可得∠DFE与∠CFA是对顶角，因此可先求∠CFA的度数。已知∠CAD=10°，E在BC延长线上，先根据邻补角的性质求出∠ECA的度数，再利用三角形内角和即可算出∠CFA，进而得到∠DFE。②求∠B，根据旋转的性质可知旋转前后对应角相等、对应边相等，可得∠B=∠D，∠AED=∠ACB，且AC=AE，因此△ACE是等腰三角形，可推出∠AEC=∠ECA，再算出∠DEF的度数，最后在△DFE中利用三角形内角和求出∠D，即得到∠B的度数。
【解析】
解：
1. 求∠DFE的度数：
∵ 点E在BC的延长线上，∠ACB=105°
∴ $∠ ECA = 180° - ∠ ACB = 180° - 105° = 75°$
在$△ AFC$中，$∠ CAD=10°$
∴ $∠ CFA = 180° - ∠ ECA - ∠ CAD = 180° - 75° - 10° = 95°$
∵ $∠ DFE$与$∠ CFA$是对顶角
∴ $∠ DFE = ∠ CFA = 95°$
2. 求∠B的度数：
∵ $△ ABC$绕点A逆时针旋转得到$△ ADE$
∴ $∠ AED = ∠ ACB = 105°$，$∠ D = ∠ B$，$AE = AC$
∴ $△ ACE$为等腰三角形，$∠ AEC = ∠ ECA = 75°$
∴ $∠ DEF = ∠ AED - ∠ AEC = 105° - 75° = 30°$
在$△ DFE$中，根据三角形内角和定理：
$∠ D = 180° - ∠ DEF - ∠ DFE = 180° - 30° - 95° = 55°$
∵ $∠ D = ∠ B$
∴ $∠ B = 55°$
【答案】
$∠ DFE=95°$，$∠ B=55°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，核心是结合旋转的性质找到相等的边和角，再利用三角形内角和、对顶角相等、邻补角的性质逐步推导所求角度，解题时需注意梳理图形中角的和差关系，避免混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7

18. 如图，已知$△ ABC$为等边三角形，O为其内部一点，将$△ AOC$绕点A逆时针旋转$60°$得到$△ ADB$，连接OD，OB。已知$AO=3\ \mathrm{cm}$，$BO=5\ \mathrm{cm}$，$CO=4\ \mathrm{cm}$，求$△ ODB$的周长。

18. 解 由旋转得$△AOC≌△ADB.$ 所以$BD=OC=4\ \mathrm{cm}$，$AD=AO=3\ \mathrm{cm}.$ 因为$∠OAD=60°$，所以$△AOD$ 为等边三角形，$OD=OA=3\ \mathrm{cm}.$ 所以$OB+BD+OD=5+4+3=12$（cm），即 $△ODB$ 的周长为12 cm.

【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。第一步先根据旋转的全等关系得到BD与OC、AD与AO的等量关系；第二步结合旋转角为60°，利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”判定△AOD是等边三角形，得到OD的长度；最后将△ODB的三边长度相加即可求出周长。
【解析】
由旋转的性质可得$△ AOC≌△ ADB$，根据全等三角形对应边相等，得$BD=OC=4\ \mathrm{cm}$，$AD=AO=3\ \mathrm{cm}$。
已知旋转角为$60°$，即$∠ OAD=60°$，又$AD=AO$，因此$△ AOD$为等边三角形，得$OD=OA=3\ \mathrm{cm}$。
所以$△ ODB$的周长为$OB+BD+OD=5+4+3=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题核心是利用旋转的性质完成线段的等量转化，把未知的$OD$、$BD$转化为已知长度的线段，解题时要注意准确对应旋转前后的边和角，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.75

19. 如图，将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$，点$C$和点$E$是对应点，若$∠ CAE=90°$，$AB=1$，求$BD$的长.

19. 解 因为将$△ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到$△ADE$，点 $C$ 和点 $E$ 是对应点，
所以 $AB = AD = 1$，$∠BAD =∠CAE=90°.$
所以 $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2}.$

【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等，对应角相等，旋转角度相等。先根据旋转的性质确定AB与AD的数量关系，以及∠BAD的度数，判断出△ABD的形状，再结合已知边长，利用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
解：
∵ 将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$，点$C$和点$E$是对应点，
∴ 由旋转的性质可得：$AB = AD = 1$，旋转角$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$，
∴ $△ ABD$为等腰直角三角形，
根据勾股定理可得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，准确判断出$△ ABD$为等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可，解题思路比较直接。
【难度系数】
0.8