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9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-2，0）和（2，0）。图形①绕点B顺时针旋转90°得到图形②，则点A的对应点A'的坐标为（
A.（2，2）
B.（2，4）
C.（4，2）
D.（4，4）
B
）A.（2，2）
B.（2，4）
C.（4，2）
D.（4，4）
答案
9.B
解析
【分析】
解题时可结合旋转的性质分析：首先先计算线段AB的长度，点A、B都在x轴上，横坐标差的绝对值即为AB的长；再根据旋转的特征，旋转后对应边BA'与BA长度相等，且夹角为90°，确定A'相对于点B的位置；最后结合点B的坐标即可求出A'的坐标。
【解析】
∵点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(2,0)，
∴AB的长度为：$2 - (-2) = 4$。
∵图形①绕点B顺时针旋转90°得到图形②，根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，旋转角为90°，
∴$BA' = BA = 4$，且$BA' ⊥ BA$。
原线段BA为水平向左的方向，顺时针旋转90°后，$BA'$为竖直向上的方向，因此点A'的横坐标与点B的横坐标相同，为2，纵坐标为B点纵坐标加上BA'的长度，即$0 + 4 = 4$。
故点A'的坐标为$(2,4)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-旋转，两点间的距离
【点评】
本题考查旋转性质的实际应用，解题的关键是抓住旋转前后对应线段的长度不变、旋转角固定的特点，结合坐标系的方位特征快速确定对应点的位置。
【难度系数】
0.7
解题时可结合旋转的性质分析：首先先计算线段AB的长度，点A、B都在x轴上，横坐标差的绝对值即为AB的长；再根据旋转的特征，旋转后对应边BA'与BA长度相等，且夹角为90°，确定A'相对于点B的位置；最后结合点B的坐标即可求出A'的坐标。
【解析】
∵点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(2,0)，
∴AB的长度为：$2 - (-2) = 4$。
∵图形①绕点B顺时针旋转90°得到图形②，根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，旋转角为90°，
∴$BA' = BA = 4$，且$BA' ⊥ BA$。
原线段BA为水平向左的方向，顺时针旋转90°后，$BA'$为竖直向上的方向，因此点A'的横坐标与点B的横坐标相同，为2，纵坐标为B点纵坐标加上BA'的长度，即$0 + 4 = 4$。
故点A'的坐标为$(2,4)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-旋转，两点间的距离
【点评】
本题考查旋转性质的实际应用，解题的关键是抓住旋转前后对应线段的长度不变、旋转角固定的特点，结合坐标系的方位特征快速确定对应点的位置。
【难度系数】
0.7
10. 如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A'OB'.若点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为
(-b, a)
.答案
10.$(-b, a)$
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质得到对应边相等、旋转角为90°的结论，再通过向x轴作垂线构造两个直角三角形，利用同角的余角相等得到一组角相等，证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度关系，最后结合旋转后点A'所在的象限判断坐标符号，即可求出点A'的坐标。
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，过点A'作A'N⊥x轴于点N，则∠AMO=∠ONA'=90°。
由旋转的性质可知：OA=OA'，∠AOA'=90°，
∴∠AOM + ∠A'ON = 90°。
在Rt△AOM中，∠AOM + ∠OAM = 90°，
∴∠OAM = ∠A'ON。
在△AOM和△OA'N中：
$\{\begin{array}{l}∠AMO=∠ONA' \\∠OAM=∠A'ON \\OA=A'O\end{array} $
∴△AOM≌△OA'N（AAS），
∴ON=AM，A'N=OM。
∵点A的坐标为(a,b)，
∴OM=a，AM=b，
∴ON=b，A'N=a。
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，点A'位于第二象限，
∴点A'的横坐标为$-b$，纵坐标为$a$，即点A'的坐标为$(-b,a)$。
【答案】
$(-b,a)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是坐标系内旋转求对应点坐标的典型题型，解题的关键是利用旋转性质构造全等三角形转化线段长度，同时要注意结合点所在的象限判断坐标的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质得到对应边相等、旋转角为90°的结论，再通过向x轴作垂线构造两个直角三角形，利用同角的余角相等得到一组角相等，证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度关系，最后结合旋转后点A'所在的象限判断坐标符号，即可求出点A'的坐标。
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，过点A'作A'N⊥x轴于点N，则∠AMO=∠ONA'=90°。
由旋转的性质可知：OA=OA'，∠AOA'=90°，
∴∠AOM + ∠A'ON = 90°。
在Rt△AOM中，∠AOM + ∠OAM = 90°，
∴∠OAM = ∠A'ON。
在△AOM和△OA'N中：
$\{\begin{array}{l}∠AMO=∠ONA' \\∠OAM=∠A'ON \\OA=A'O\end{array} $
∴△AOM≌△OA'N（AAS），
∴ON=AM，A'N=OM。
∵点A的坐标为(a,b)，
∴OM=a，AM=b，
∴ON=b，A'N=a。
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，点A'位于第二象限，
∴点A'的横坐标为$-b$，纵坐标为$a$，即点A'的坐标为$(-b,a)$。
【答案】
$(-b,a)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是坐标系内旋转求对应点坐标的典型题型，解题的关键是利用旋转性质构造全等三角形转化线段长度，同时要注意结合点所在的象限判断坐标的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图，把$△ ABC$绕点C顺时针旋转得到$△ A'B'C$，此时$A'B' ⊥ AC$于点D。已知$∠ A = 50°$，则$∠ B'CB$的度数是
$40°$
。答案
11.$40°$
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质分析已知条件：旋转前后对应角相等，旋转角相等，因此可得∠A'=∠A=50°，∠B'CB=∠ACA'。再结合A'B'⊥AC的垂直条件，可知△A'DC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ACA'的度数，最终即可得到∠B'CB的度数。
【解析】
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴∠A'=∠A=50°，旋转角∠BCB'=∠ACA'，
又
∵A'B'⊥AC，
∴∠A'DC=90°，
在Rt△A'DC中，∠A'+∠A'CD=90°，
∴∠A'CD=90°-∠A'=90°-50°=40°，即∠ACA'=40°，
∴∠B'CB=∠ACA'=40°。
【答案】
40°
【知识点】
1.旋转的性质
2.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握旋转的相关性质，结合垂直条件构造直角三角形计算角度，解题时注意找准旋转前后的对应角和旋转角即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合旋转的性质分析已知条件：旋转前后对应角相等，旋转角相等，因此可得∠A'=∠A=50°，∠B'CB=∠ACA'。再结合A'B'⊥AC的垂直条件，可知△A'DC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ACA'的度数，最终即可得到∠B'CB的度数。
【解析】
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴∠A'=∠A=50°，旋转角∠BCB'=∠ACA'，
又
∵A'B'⊥AC，
∴∠A'DC=90°，
在Rt△A'DC中，∠A'+∠A'CD=90°，
∴∠A'CD=90°-∠A'=90°-50°=40°，即∠ACA'=40°，
∴∠B'CB=∠ACA'=40°。
【答案】
40°
【知识点】
1.旋转的性质
2.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握旋转的相关性质，结合垂直条件构造直角三角形计算角度，解题时注意找准旋转前后的对应角和旋转角即可。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在等腰直角三角形ABC中，$∠ ACB = 90°$，D为$△ ABC$内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转$90°$后得到CE，连接BE.
若$∠ ABE$的度数为$80°$，则$∠ BAD$的度数为
若$∠ ABE$的度数为$80°$，则$∠ BAD$的度数为
$10°$
.答案
12.$10°$
解析
【分析】
解题时先从已知的旋转条件入手，利用旋转的性质得到相等的边和角，再结合等腰直角三角形的边相等、直角的特征，推导得出两组边的夹角相等，进而证明△ACD和△BCE全等，将∠CAD转化为∠CBE。再利用等腰直角三角形底角为45°的性质，结合已知的∠ABE的度数求出∠CBE的大小，最终通过角的和差关系算出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴$CD=CE$，$∠ DCE=90°$，
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
∴$AC=BC$，$∠ CAB=∠ CBA=45°$，
∵$∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB=90°$，$∠ DCE=∠ BCE+∠ DCB=90°$，
∴$∠ ACD=∠ BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ BCE$（SAS），
∴$∠ CAD=∠ CBE$，
∵$∠ ABE=∠ CBA+∠ CBE=80°$，
∴$∠ CBE=80° - 45°=35°$，即$∠ CAD=35°$，
∴$∠ BAD=∠ CAB - ∠ CAD=45° - 35°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转类几何的典型题型，核心是通过旋转构造全等三角形实现未知角和已知角的转化，解题时要注意结合特殊三角形的角度性质进行角的和差计算。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的旋转条件入手，利用旋转的性质得到相等的边和角，再结合等腰直角三角形的边相等、直角的特征，推导得出两组边的夹角相等，进而证明△ACD和△BCE全等，将∠CAD转化为∠CBE。再利用等腰直角三角形底角为45°的性质，结合已知的∠ABE的度数求出∠CBE的大小，最终通过角的和差关系算出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴$CD=CE$，$∠ DCE=90°$，
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
∴$AC=BC$，$∠ CAB=∠ CBA=45°$，
∵$∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB=90°$，$∠ DCE=∠ BCE+∠ DCB=90°$，
∴$∠ ACD=∠ BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ BCE$（SAS），
∴$∠ CAD=∠ CBE$，
∵$∠ ABE=∠ CBA+∠ CBE=80°$，
∴$∠ CBE=80° - 45°=35°$，即$∠ CAD=35°$，
∴$∠ BAD=∠ CAB - ∠ CAD=45° - 35°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转类几何的典型题型，核心是通过旋转构造全等三角形实现未知角和已知角的转化，解题时要注意结合特殊三角形的角度性质进行角的和差计算。
【难度系数】
0.7
13. 若点A(-2，1)与点B(m，n)关于原点对称，则$ m + n $的值为
1
答案
13.1
解析
【分析】
解题首先要回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以先依据该规律求出m、n的取值，再代入计算m+n的结果即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点A(-2,1)与点B(m,n)关于原点对称，因此：
$m = -(-2) = 2$，
$n = -1$，
则$m + n = 2 + (-1) = 1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数加法运算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查原点对称点坐标规律的应用，熟记不同对称方式对应的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题首先要回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以先依据该规律求出m、n的取值，再代入计算m+n的结果即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点A(-2,1)与点B(m,n)关于原点对称，因此：
$m = -(-2) = 2$，
$n = -1$，
则$m + n = 2 + (-1) = 1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数加法运算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查原点对称点坐标规律的应用，熟记不同对称方式对应的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
14. 等边三角形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角度至少为
$120°$
。答案
14.$120°$
解析
【分析】
解决本题首先要明确旋转对称图形的核心特征：图形绕定点旋转小于360°的角度后能与自身重合，所求的最小旋转角就是能让图形重合的最小正角度。对于等边三角形这类正多边形，它的3个顶点绕中心均匀分布，相邻顶点与中心的连线夹角（即中心角）相等，只要旋转角度等于中心角的度数，就能让下一个顶点转到原顶点的位置，图形就与自身重合，因此我们只需要计算等边三角形的中心角度数即可得到答案。
【解析】
解：正n边形的最小旋转角等于其中心角的度数，中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数）。
等边三角形属于正三角形，边数n=3，代入公式得：
最小旋转角$=\frac{360°}{3}=120°$
即等边三角形绕中心旋转至少120°后能与自身重合。
【答案】
$120°$
【知识点】
旋转对称性质，等边三角形特征，正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形最小旋转角的计算规律，掌握“正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$”这一结论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确旋转对称图形的核心特征：图形绕定点旋转小于360°的角度后能与自身重合，所求的最小旋转角就是能让图形重合的最小正角度。对于等边三角形这类正多边形，它的3个顶点绕中心均匀分布，相邻顶点与中心的连线夹角（即中心角）相等，只要旋转角度等于中心角的度数，就能让下一个顶点转到原顶点的位置，图形就与自身重合，因此我们只需要计算等边三角形的中心角度数即可得到答案。
【解析】
解：正n边形的最小旋转角等于其中心角的度数，中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数）。
等边三角形属于正三角形，边数n=3，代入公式得：
最小旋转角$=\frac{360°}{3}=120°$
即等边三角形绕中心旋转至少120°后能与自身重合。
【答案】
$120°$
【知识点】
旋转对称性质，等边三角形特征，正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形最小旋转角的计算规律，掌握“正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$”这一结论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB=3$，$AC=4$，将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转，得到$△ DEC$。当点$A$的对应点$D$落在边$BC$上时，连接$BE$，则线段$BE$的长为________。
答案
15.$\sqrt{10}$
解析
【分析】
遇到旋转类几何题，首先要联想到旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。解题步骤可分为三步：第一步，先在已知的Rt△ABC中，用勾股定理求出斜边BC的长度；第二步，根据旋转性质得到CD、DE的长度以及∠CDE的度数，进而计算出BD的长度，同时推导得出∠EDB为直角；第三步，在构造出的Rt△BDE中，再次利用勾股定理即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴根据旋转的性质可得：$CD=AC=4$，$DE=AB=3$，$∠CDE=∠BAC=90°$。
∵点D落在BC边上，
∴$BD=BC-CD=5-4=1$，且$∠EDB=180°-∠CDE=90°$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质与勾股定理结合的常规应用题型，解题的突破口是利用旋转的性质得到相等的边和角，进而构造出可直接求解的直角三角形，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
遇到旋转类几何题，首先要联想到旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。解题步骤可分为三步：第一步，先在已知的Rt△ABC中，用勾股定理求出斜边BC的长度；第二步，根据旋转性质得到CD、DE的长度以及∠CDE的度数，进而计算出BD的长度，同时推导得出∠EDB为直角；第三步，在构造出的Rt△BDE中，再次利用勾股定理即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴根据旋转的性质可得：$CD=AC=4$，$DE=AB=3$，$∠CDE=∠BAC=90°$。
∵点D落在BC边上，
∴$BD=BC-CD=5-4=1$，且$∠EDB=180°-∠CDE=90°$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质与勾股定理结合的常规应用题型，解题的突破口是利用旋转的性质得到相等的边和角，进而构造出可直接求解的直角三角形，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
16. 如图，$△ ABC$ 为等腰直角三角形，D 为 AB 的中点，$AB=2$，扇形 ADG 和 BDH 的圆心角都是 $90°$，求阴影部分图形的面积.
16. 如图，$△ ABC$ 为等腰直角三角形，D 为 AB 的中点，$AB=2$，扇形 ADG 和 BDH 的圆心角都是 $90°$，求阴影部分图形的面积.
答案
16. 解 由题知 $S_{\mathrm{阴影}}=\dfrac{1}{2}×π×1^2 -2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{π-1}{2}.$
解析
【分析】
我们采用割补法求解阴影面积：首先观察图形，阴影部分面积可转化为两个圆心角为90°的扇形面积之和，减去两个空白小等腰直角三角形的面积之和。第一步先确定扇形半径：D是AB中点，AB=2，可得AD=BD=1，即扇形半径为1；第二步分析空白三角形：△ABC是等腰直角三角形，∠A、∠B均为45°，因此两个空白三角形都是等腰直角三角形，可求出其直角边长，进而计算空白部分总面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵AB=2，D为AB的中点，
∴AD=BD=1，即扇形ADG和BDH的半径$r=1$。
∵两个扇形的圆心角均为$90°$，
∴两个扇形的面积和为：$2×\frac{90°}{360°}×π×1^2=\frac{1}{2}π×1^2=\frac{π}{2}$。
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，
∴$∠ A=∠ B=45°$，两个空白小三角形均为等腰直角三角形，其直角边长为$1×\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则两个空白小三角形的面积和为：$2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$。
∴阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{π}{2}-\frac{1}{2}=\frac{π-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{π-1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题是组合图形面积计算的典型题目，核心思路是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需要准确识别图形中的边角关系，熟练掌握扇形和三角形的面积公式即可完成求解。
【难度系数】
0.7
我们采用割补法求解阴影面积：首先观察图形，阴影部分面积可转化为两个圆心角为90°的扇形面积之和，减去两个空白小等腰直角三角形的面积之和。第一步先确定扇形半径：D是AB中点，AB=2，可得AD=BD=1，即扇形半径为1；第二步分析空白三角形：△ABC是等腰直角三角形，∠A、∠B均为45°，因此两个空白三角形都是等腰直角三角形，可求出其直角边长，进而计算空白部分总面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵AB=2，D为AB的中点，
∴AD=BD=1，即扇形ADG和BDH的半径$r=1$。
∵两个扇形的圆心角均为$90°$，
∴两个扇形的面积和为：$2×\frac{90°}{360°}×π×1^2=\frac{1}{2}π×1^2=\frac{π}{2}$。
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，
∴$∠ A=∠ B=45°$，两个空白小三角形均为等腰直角三角形，其直角边长为$1×\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则两个空白小三角形的面积和为：$2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$。
∴阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{π}{2}-\frac{1}{2}=\frac{π-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{π-1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题是组合图形面积计算的典型题目，核心思路是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需要准确识别图形中的边角关系，熟练掌握扇形和三角形的面积公式即可完成求解。
【难度系数】
0.7
