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1. 下列函数是反比例函数的是（
A.$y=3x$
B.$y=\dfrac{1}{x^2 + 1}$
C.$y=\dfrac{x}{π}$
D.$y=\dfrac{2a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$）
D
）A.$y=3x$
B.$y=\dfrac{1}{x^2 + 1}$
C.$y=\dfrac{x}{π}$
D.$y=\dfrac{2a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$）
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项是反比例函数，首先需牢记反比例函数的定义核心：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，需满足三个要点：①分子为非零常数，②分母是单个自变量$x$且$x$的次数为1，③自变量$x$不在分子位置。解题时我们逐一对照每个选项，排除不符合定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，对各选项逐一判断：
1. 选项A：$y=3x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
2. 选项B：$y=\frac{1}{x^2+1}$的分母是$x^2+1$，不是单个自变量$x$，不符合反比例函数定义，排除；
3. 选项C：$y=\frac{x}{π}=\frac{1}{π}x$，其中$π$是固定常数，因此该函数是正比例函数，排除；
4. 选项D：$y=\frac{2a}{x}$中$a$为常数且$a≠0$，因此$2a$是不为0的常数，完全符合反比例函数的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握反比例函数的定义特征，注意区分正比例函数和反比例函数，同时要注意$π$是常数不是变量，不要误判。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项是反比例函数，首先需牢记反比例函数的定义核心：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，需满足三个要点：①分子为非零常数，②分母是单个自变量$x$且$x$的次数为1，③自变量$x$不在分子位置。解题时我们逐一对照每个选项，排除不符合定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，对各选项逐一判断：
1. 选项A：$y=3x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
2. 选项B：$y=\frac{1}{x^2+1}$的分母是$x^2+1$，不是单个自变量$x$，不符合反比例函数定义，排除；
3. 选项C：$y=\frac{x}{π}=\frac{1}{π}x$，其中$π$是固定常数，因此该函数是正比例函数，排除；
4. 选项D：$y=\frac{2a}{x}$中$a$为常数且$a≠0$，因此$2a$是不为0的常数，完全符合反比例函数的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握反比例函数的定义特征，注意区分正比例函数和反比例函数，同时要注意$π$是常数不是变量，不要误判。
【难度系数】
0.8
2. 若$y=\dfrac{m+2}{x}$是反比例函数，则$m$必须满足 （
A.$m≠0$
B.$m=-2$
C.$m≠-2$
D.$m=2$
C
）A.$m≠0$
B.$m=-2$
C.$m≠-2$
D.$m=2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义要求。反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$，核心要求有两点：一是自变量在分母位置，二是比例系数$k$必须是不为0的常数。本题给出的函数形式已经符合$y=\dfrac{k}{x}$的结构，因此只需要让对应的比例系数不为0，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数叫做反比例函数。
对于函数$y=\dfrac{m+2}{x}$，其比例系数为$m+2$，需满足条件：
$m+2\ne 0$
解不等式得：$m\ne -2$
因此选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查反比例函数定义中比例系数不为0的关键限制条件，牢记定义的特殊要求即可快速解题，是反比例函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义要求。反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$，核心要求有两点：一是自变量在分母位置，二是比例系数$k$必须是不为0的常数。本题给出的函数形式已经符合$y=\dfrac{k}{x}$的结构，因此只需要让对应的比例系数不为0，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数叫做反比例函数。
对于函数$y=\dfrac{m+2}{x}$，其比例系数为$m+2$，需满足条件：
$m+2\ne 0$
解不等式得：$m\ne -2$
因此选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查反比例函数定义中比例系数不为0的关键限制条件，牢记定义的特殊要求即可快速解题，是反比例函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 下列函数解析式：①$y=-\frac{x^2}{3}$；
其中表示 y 是关于 x 的反比例函数的是
其中表示 y 是关于 x 的反比例函数的是
②③
（填入序号）。答案
②③
解析
【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，核心特征是：等式右边是分式形式，分母仅含自变量$x$且$x$的次数为1，分子是不为0的常数，函数表达式中无其他常数项。接下来我们逐个判断给出的解析式是否符合上述特征即可。
【解析】我们根据反比例函数的定义逐一分析：
1. ①$y=-\frac{x^2}{3}$：$x$的次数是2，属于二次函数，不符合反比例函数定义；
2. ②$y=\frac{3}{-2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{3}{2}}{x}$，其中$k=-\frac{3}{2}$是不为0的常数，分母仅含$x$，符合反比例函数定义；
3. ③$y=\frac{\sqrt{2}-5}{5x}$：可变形为$y=\frac{\frac{\sqrt{2}-5}{5}}{x}$，其中$k=\frac{\sqrt{2}-5}{5}$是不为0的常数，分母仅含$x$，符合反比例函数定义；
4. ④$y-1=\frac{1}{x}$：变形得$y=\frac{1}{x}+1$，表达式右侧多了常数项1，不符合$y=\frac{k}{x}$的形式，不是反比例函数；
5. ⑤$y=\frac{2}{x-1}$：分母是$x-1$，是关于$x-1$的反比例函数，不是关于$x$的反比例函数，不符合要求。
综上，符合要求的是②③。
【答案】②③
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题主要考查对反比例函数定义的理解，解题的关键是抓住反比例函数的形式特征，注意区分“关于x的反比例函数”和其他变形形式，不要混淆。
【难度系数】0.7
【解析】我们根据反比例函数的定义逐一分析：
1. ①$y=-\frac{x^2}{3}$：$x$的次数是2，属于二次函数，不符合反比例函数定义；
2. ②$y=\frac{3}{-2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{3}{2}}{x}$，其中$k=-\frac{3}{2}$是不为0的常数，分母仅含$x$，符合反比例函数定义；
3. ③$y=\frac{\sqrt{2}-5}{5x}$：可变形为$y=\frac{\frac{\sqrt{2}-5}{5}}{x}$，其中$k=\frac{\sqrt{2}-5}{5}$是不为0的常数，分母仅含$x$，符合反比例函数定义；
4. ④$y-1=\frac{1}{x}$：变形得$y=\frac{1}{x}+1$，表达式右侧多了常数项1，不符合$y=\frac{k}{x}$的形式，不是反比例函数；
5. ⑤$y=\frac{2}{x-1}$：分母是$x-1$，是关于$x-1$的反比例函数，不是关于$x$的反比例函数，不符合要求。
综上，符合要求的是②③。
【答案】②③
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题主要考查对反比例函数定义的理解，解题的关键是抓住反比例函数的形式特征，注意区分“关于x的反比例函数”和其他变形形式，不要混淆。
【难度系数】0.7
4. 已知函数$y=(m-2)x^{|m|-3}$是反比例函数，则$m$的值为
-2
。答案
-2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们先根据指数的要求列方程求出$m$的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 自变量$x$的指数满足：$\vert m\vert -3=-1$
解这个方程：$\vert m\vert=2$，因此$m=2$或$m=-2$
2. 自变量的系数满足：$m-2≠0$，即$m≠2$
结合上述两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数的概念、绝对值方程求解、不等式的应用
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略系数不为0的限制条件，误将$m=2$当作正确答案，解题时需牢记定义中的两个限制条件，逐一验证避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们先根据指数的要求列方程求出$m$的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 自变量$x$的指数满足：$\vert m\vert -3=-1$
解这个方程：$\vert m\vert=2$，因此$m=2$或$m=-2$
2. 自变量的系数满足：$m-2≠0$，即$m≠2$
结合上述两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数的概念、绝对值方程求解、不等式的应用
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略系数不为0的限制条件，误将$m=2$当作正确答案，解题时需牢记定义中的两个限制条件，逐一验证避免出错。
【难度系数】
0.7
5. 若x和y成反比例关系，且当x的值为2时，y的值为3，则当x的值为6时，y的值为
1
。答案
1
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反比例关系的性质：若x和y成反比例，那么二者的乘积是固定不变的常数，即$ xy=k $（k为常数，$ k≠0 $）。解题思路分两步走：第一步利用已知的x、y对应值求出常数k，第二步把x=6代入关系式，就能求出对应的y值。
【解析】
∵x和y成反比例关系，
∴设反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $，k为常数）。
将$ x=2 $，$ y=3 $代入解析式，得：
$ 3=\frac{k}{2} $，解得$ k=2×3=6 $，
∴反比例函数解析式为$ y=\frac{6}{x} $。
当$ x=6 $时，代入解析式得：
$ y=\frac{6}{6}=1 $。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题，主要考查对反比例关系特征的理解，以及用待定系数法求解函数值的能力，掌握反比例的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确反比例关系的性质：若x和y成反比例，那么二者的乘积是固定不变的常数，即$ xy=k $（k为常数，$ k≠0 $）。解题思路分两步走：第一步利用已知的x、y对应值求出常数k，第二步把x=6代入关系式，就能求出对应的y值。
【解析】
∵x和y成反比例关系，
∴设反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $，k为常数）。
将$ x=2 $，$ y=3 $代入解析式，得：
$ 3=\frac{k}{2} $，解得$ k=2×3=6 $，
∴反比例函数解析式为$ y=\frac{6}{x} $。
当$ x=6 $时，代入解析式得：
$ y=\frac{6}{6}=1 $。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题，主要考查对反比例关系特征的理解，以及用待定系数法求解函数值的能力，掌握反比例的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.9
6. 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5 cm时，它的邻边长为8 cm.
（1）设矩形相邻的两边长分别为x cm，y cm，则y关于x的函数解析式为
（2）若其中一个矩形的一条边长为5 cm，则其相邻的另一边长为
（1）设矩形相邻的两边长分别为x cm，y cm，则y关于x的函数解析式为
$y=\dfrac{60}{x}$
，这个函数是
反比例函数（填“是”或“不是”）；（2）若其中一个矩形的一条边长为5 cm，则其相邻的另一边长为
12 cm
.答案
(1) $y=\dfrac{60}{x}$ 是 (2) 12 cm
解析
【分析】
解题时首先抓住“矩形面积为定值”这一核心条件，第一步先利用已知的一组邻边长计算出矩形的定值面积；再结合矩形面积公式（面积=邻边乘积），推导得到y与x的函数关系式，对照反比例函数的定义判断函数类型；第二问将已知的边长代入所求的函数解析式，即可计算出对应的邻边长。
【解析】
（1）先计算矩形的定值面积：
由题意得，矩形面积$S=7.5×8=60\ \mathrm{cm}^2$
根据矩形面积公式$x· y=S$，代入$S=60$，整理得$y=\dfrac{60}{x}$（$x＞0$）
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，此处$k=60≠0$，因此这个函数是反比例函数。
（2）将$x=5$代入$y=\dfrac{60}{x}$，得：
$y=\dfrac{60}{5}=12\ \mathrm{cm}$
即相邻的另一边长为12 cm。
【答案】
(1) $y=\dfrac{60}{x}$ 是 (2) 12 cm
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数解析式确定
3. 代入法求函数值
【点评】
本题是反比例函数在几何实际问题中的基础应用，解题关键是先确定不变的面积常量，再结合几何公式推导函数关系，主要考查对反比例函数概念的理解和简单应用，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先抓住“矩形面积为定值”这一核心条件，第一步先利用已知的一组邻边长计算出矩形的定值面积；再结合矩形面积公式（面积=邻边乘积），推导得到y与x的函数关系式，对照反比例函数的定义判断函数类型；第二问将已知的边长代入所求的函数解析式，即可计算出对应的邻边长。
【解析】
（1）先计算矩形的定值面积：
由题意得，矩形面积$S=7.5×8=60\ \mathrm{cm}^2$
根据矩形面积公式$x· y=S$，代入$S=60$，整理得$y=\dfrac{60}{x}$（$x＞0$）
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，此处$k=60≠0$，因此这个函数是反比例函数。
（2）将$x=5$代入$y=\dfrac{60}{x}$，得：
$y=\dfrac{60}{5}=12\ \mathrm{cm}$
即相邻的另一边长为12 cm。
【答案】
(1) $y=\dfrac{60}{x}$ 是 (2) 12 cm
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数解析式确定
3. 代入法求函数值
【点评】
本题是反比例函数在几何实际问题中的基础应用，解题关键是先确定不变的面积常量，再结合几何公式推导函数关系，主要考查对反比例函数概念的理解和简单应用，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
7. 已知$y$是关于$z$的反比例函数，$z$是关于$x$的正比例函数.
（1）当$z=-\dfrac{2}{3}$时，$y=6$；当$x=6$时，$z=4$. 求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）求证：$y$是$x$的反比例函数.
（1）当$z=-\dfrac{2}{3}$时，$y=6$；当$x=6$时，$z=4$. 求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）求证：$y$是$x$的反比例函数.
答案
（1）解 因为 $y$ 是 $z$ 的反比例函数，所以设 $y=\dfrac{a}{z}$（$a≠0$）。因为当 $z=-\dfrac{2}{3}$ 时，$y=6$，所以 $a=6× (-\dfrac{2}{3})=-4$。所以 $y=-\dfrac{4}{z}$①。
因为 $z$ 是 $x$ 的正比例函数，所以设 $z=bx$（$b≠0$）。因为当 $x=6$ 时，$z=4$，所以 $b=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。所以 $z=\dfrac{2}{3}x$②。将②代入①，得 $y=-\dfrac{6}{x}$。
（2）证明 由（1）得 $y=\dfrac{a}{z}$（$a≠0$），$z=bx$，所以 $y=\dfrac{a}{bx}$。所以 $y$ 是 $x$ 的反比例函数。
因为 $z$ 是 $x$ 的正比例函数，所以设 $z=bx$（$b≠0$）。因为当 $x=6$ 时，$z=4$，所以 $b=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。所以 $z=\dfrac{2}{3}x$②。将②代入①，得 $y=-\dfrac{6}{x}$。
（2）证明 由（1）得 $y=\dfrac{a}{z}$（$a≠0$），$z=bx$，所以 $y=\dfrac{a}{bx}$。所以 $y$ 是 $x$ 的反比例函数。
解析
【分析】
本题需结合正比例函数、反比例函数的定义解题：（1）先根据y是z的反比例函数设出对应解析式，代入已知的z、y值求出解析式中的未知系数，得到y与z的函数关系；再根据z是x的正比例函数设出对应解析式，代入已知的x、z值求出未知系数，得到z与x的函数关系；最后将z关于x的表达式代入y关于z的解析式，消去z即可得到y关于x的函数解析式。（2）将两个函数的一般形式联立，消去中间变量z，整理后判断是否符合反比例函数的定义即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵y是关于z的反比例函数，
∴设$y=\dfrac{a}{z}$（$a≠0$）。
把$z=-\dfrac{2}{3}$，$y=6$代入得：$a=6×(-\dfrac{2}{3})=-4$，
∴$y=-\dfrac{4}{z}$ ①。
∵z是关于x的正比例函数，
∴设$z=bx$（$b≠0$）。
把$x=6$，$z=4$代入得：$b=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$，
∴$z=\dfrac{2}{3}x$ ②。
将②代入①得：$y=-\dfrac{4}{\dfrac{2}{3}x}=-\dfrac{6}{x}$。
（2）证明：由题意设$y=\dfrac{a}{z}$（$a≠0$），$z=bx$（$b≠0$），
将$z=bx$代入$y=\dfrac{a}{z}$得：$y=\dfrac{a}{bx}$，
∵$a≠0$，$b≠0$，
∴$\dfrac{a}{b}$为不等于0的常数，
∴y是x的反比例函数。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{6}{x}$；（2）证明见解析
【知识点】
反比例函数的概念，正比例函数的概念，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题围绕正比例与反比例函数的定义展开考查，解题核心是正确运用函数定义设出解析式，通过待定系数法求未知系数，再借助中间量代换得到目标函数关系，熟练掌握两类函数的定义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题需结合正比例函数、反比例函数的定义解题：（1）先根据y是z的反比例函数设出对应解析式，代入已知的z、y值求出解析式中的未知系数，得到y与z的函数关系；再根据z是x的正比例函数设出对应解析式，代入已知的x、z值求出未知系数，得到z与x的函数关系；最后将z关于x的表达式代入y关于z的解析式，消去z即可得到y关于x的函数解析式。（2）将两个函数的一般形式联立，消去中间变量z，整理后判断是否符合反比例函数的定义即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵y是关于z的反比例函数，
∴设$y=\dfrac{a}{z}$（$a≠0$）。
把$z=-\dfrac{2}{3}$，$y=6$代入得：$a=6×(-\dfrac{2}{3})=-4$，
∴$y=-\dfrac{4}{z}$ ①。
∵z是关于x的正比例函数，
∴设$z=bx$（$b≠0$）。
把$x=6$，$z=4$代入得：$b=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$，
∴$z=\dfrac{2}{3}x$ ②。
将②代入①得：$y=-\dfrac{4}{\dfrac{2}{3}x}=-\dfrac{6}{x}$。
（2）证明：由题意设$y=\dfrac{a}{z}$（$a≠0$），$z=bx$（$b≠0$），
将$z=bx$代入$y=\dfrac{a}{z}$得：$y=\dfrac{a}{bx}$，
∵$a≠0$，$b≠0$，
∴$\dfrac{a}{b}$为不等于0的常数，
∴y是x的反比例函数。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{6}{x}$；（2）证明见解析
【知识点】
反比例函数的概念，正比例函数的概念，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题围绕正比例与反比例函数的定义展开考查，解题核心是正确运用函数定义设出解析式，通过待定系数法求未知系数，再借助中间量代换得到目标函数关系，熟练掌握两类函数的定义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
