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8. 矩形的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$，长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$.
（1）写出$y$关于$x$的函数解析式，并指出它是什么函数；
（2）当长为$8\ \mathrm{cm}$时，宽为多少？
（3）当宽为$4\ \mathrm{cm}$时，长为多少？
（1）写出$y$关于$x$的函数解析式，并指出它是什么函数；
（2）当长为$8\ \mathrm{cm}$时，宽为多少？
（3）当宽为$4\ \mathrm{cm}$时，长为多少？
答案
（1）$y=\dfrac{36}{x}$，是反比例函数。
（2）当 $x = 8$ 时，代入 $y = \dfrac{36}{x}$，得 $y=\dfrac{9}{2}$。即此时宽为 $\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}$。
（3）当 $y=4$ 时，代入 $y=\dfrac{36}{x}$，得 $x=9$。即此时长为 9 cm。
（2）当 $x = 8$ 时，代入 $y = \dfrac{36}{x}$，得 $y=\dfrac{9}{2}$。即此时宽为 $\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}$。
（3）当 $y=4$ 时，代入 $y=\dfrac{36}{x}$，得 $x=9$。即此时长为 9 cm。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 解决第（1）问时，先回忆矩形面积公式，利用“矩形面积=长×宽”建立x与y的等量关系，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，最后结合反比例函数的定义判断函数类型，注意长x是实际长度，取值为正数。2. 第（2）问是已知自变量x的值求函数值，直接将x=8代入第（1）问得到的函数解析式计算即可得到宽的长度。3. 第（3）问是已知函数值y求自变量x的值，将y=4代入解析式解方程即可得到长的长度。
【解析】
（1）根据矩形面积公式可得：$x· y = 36$，其中$x＞0$，
将等式变形得$y = \dfrac{36}{x}\ (x＞0)$，
符合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此它是反比例函数。
（2）把$x=8$代入$y=\dfrac{36}{x}$，得：
$y=\dfrac{36}{8}=\dfrac{9}{2}$，单位为$\mathrm{cm}$。
（3）把$y=4$代入$y=\dfrac{36}{x}$，得：
$4=\dfrac{36}{x}$，
解得$x=\dfrac{36}{4}=9$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{36}{x}\ (x＞0)$，是反比例函数；
（2）宽为$\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}$；
（3）长为$9\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 矩形面积公式
3. 函数代入求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，结合几何面积公式考查反比例函数的识别和基本计算，解题时要注意自变量和函数值的实际意义，熟练掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：1. 解决第（1）问时，先回忆矩形面积公式，利用“矩形面积=长×宽”建立x与y的等量关系，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，最后结合反比例函数的定义判断函数类型，注意长x是实际长度，取值为正数。2. 第（2）问是已知自变量x的值求函数值，直接将x=8代入第（1）问得到的函数解析式计算即可得到宽的长度。3. 第（3）问是已知函数值y求自变量x的值，将y=4代入解析式解方程即可得到长的长度。
【解析】
（1）根据矩形面积公式可得：$x· y = 36$，其中$x＞0$，
将等式变形得$y = \dfrac{36}{x}\ (x＞0)$，
符合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，因此它是反比例函数。
（2）把$x=8$代入$y=\dfrac{36}{x}$，得：
$y=\dfrac{36}{8}=\dfrac{9}{2}$，单位为$\mathrm{cm}$。
（3）把$y=4$代入$y=\dfrac{36}{x}$，得：
$4=\dfrac{36}{x}$，
解得$x=\dfrac{36}{4}=9$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{36}{x}\ (x＞0)$，是反比例函数；
（2）宽为$\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}$；
（3）长为$9\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 矩形面积公式
3. 函数代入求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，结合几何面积公式考查反比例函数的识别和基本计算，解题时要注意自变量和函数值的实际意义，熟练掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
9. 小华的爸爸开车送小华去外婆家，他们的速度是 48 km/h，用了20 min到达.
（1）小华家到外婆家的路程是多少？
（2）如果回来时小华坐公共汽车，公共汽车的速度为 $ v $ km/h（$ v ＞ 8 $），那么回家所用的时间 $ t $（单位：h）将如何变化？
（3）在（2）的条件下，写出 $ t $ 关于 $ v $ 的函数解析式.
（4）小华用了0.5 h回到家，公共汽车的平均速度是多少？（步行时间忽略不计）
（1）小华家到外婆家的路程是多少？
（2）如果回来时小华坐公共汽车，公共汽车的速度为 $ v $ km/h（$ v ＞ 8 $），那么回家所用的时间 $ t $（单位：h）将如何变化？
（3）在（2）的条件下，写出 $ t $ 关于 $ v $ 的函数解析式.
（4）小华用了0.5 h回到家，公共汽车的平均速度是多少？（步行时间忽略不计）
答案
（1）$48× \dfrac{20}{60}=16$（km），即路程是 16 km。
（2）回家所用的时间随着速度的变化而变化，速度越快，时间越短。
因为 $v＞8$，$16÷ 8=2$（h），所以 $0＜t＜2$。
（3）由题意知 $tv=16$。
所以 $t$ 关于 $v$ 的函数解析式为 $t=\dfrac{16}{v}$（$v＞8$）。
（4）把 $t=0.5$ 代入 $t=\dfrac{16}{v}$，得 $v=32$。
所以公共汽车的平均速度为 32 km/h。
（2）回家所用的时间随着速度的变化而变化，速度越快，时间越短。
因为 $v＞8$，$16÷ 8=2$（h），所以 $0＜t＜2$。
（3）由题意知 $tv=16$。
所以 $t$ 关于 $v$ 的函数解析式为 $t=\dfrac{16}{v}$（$v＞8$）。
（4）把 $t=0.5$ 代入 $t=\dfrac{16}{v}$，得 $v=32$。
所以公共汽车的平均速度为 32 km/h。
解析
【分析】
本题围绕实际行程场景展开，结合反比例函数相关知识求解，解题思路如下：
1. 求两地路程：利用行程问题核心公式“路程=速度×时间”计算，注意先将时间单位“分钟”换算为“小时”，保证单位统一后再代入数值。
2. 分析时间t的变化规律：往返路程固定，速度和时间成反比例关系，因此速度越快时间越短；再结合v＞8的条件，计算可得t的取值范围。
3. 写t关于v的函数解析式：由“路程=速度×时间”变形得到“时间=路程÷速度”，代入固定路程值，同时标注自变量v的取值范围即可。
4. 求公共汽车平均速度：将已知的t值代入第(3)问得到的函数解析式，求解对应的v值即可。
【解析】
（1）先换算时间单位：$20\ \mathrm{min}=\dfrac{20}{60}\ \mathrm{h}=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$，根据路程=速度×时间，可得小华家到外婆家的路程为：$48× \dfrac{1}{3}=16$（km）。
（2）往返路程固定为16km，由公式$t=\dfrac{s}{v}$可知，路程s不变时，时间t随速度v的增大而减小，即速度越快，时间越短。已知$v＞8$，当$v=8$时，$t=\dfrac{16}{8}=2$（h），结合时间为正数，可得t的取值范围为$0＜t＜2$。
（3）由行程公式可得$vt=16$，变形后得到$t$关于$v$的函数解析式为：$t=\dfrac{16}{v}$（$v＞8$）。
（4）将$t=0.5$代入$t=\dfrac{16}{v}$，可得$0.5=\dfrac{16}{v}$，解得$v=16÷0.5=32$（km/h）。
【答案】
（1）$\boxed{16\ \mathrm{km}}$；
（2）速度越快，时间越短，t的取值范围为$\boxed{0＜t＜2}$；
（3）$\boxed{t=\dfrac{16}{v}(v＞8)}$；
（4）$\boxed{32\ \mathrm{km/h}}$。
【知识点】
行程问题基本公式，反比例函数的概念，函数代入求值
【点评】
本题结合生活场景出题，既考察了单位换算、行程公式的基础应用，也考察了反比例函数的概念和简单计算，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写取值范围出错。
【难度系数】
0.8
本题围绕实际行程场景展开，结合反比例函数相关知识求解，解题思路如下：
1. 求两地路程：利用行程问题核心公式“路程=速度×时间”计算，注意先将时间单位“分钟”换算为“小时”，保证单位统一后再代入数值。
2. 分析时间t的变化规律：往返路程固定，速度和时间成反比例关系，因此速度越快时间越短；再结合v＞8的条件，计算可得t的取值范围。
3. 写t关于v的函数解析式：由“路程=速度×时间”变形得到“时间=路程÷速度”，代入固定路程值，同时标注自变量v的取值范围即可。
4. 求公共汽车平均速度：将已知的t值代入第(3)问得到的函数解析式，求解对应的v值即可。
【解析】
（1）先换算时间单位：$20\ \mathrm{min}=\dfrac{20}{60}\ \mathrm{h}=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$，根据路程=速度×时间，可得小华家到外婆家的路程为：$48× \dfrac{1}{3}=16$（km）。
（2）往返路程固定为16km，由公式$t=\dfrac{s}{v}$可知，路程s不变时，时间t随速度v的增大而减小，即速度越快，时间越短。已知$v＞8$，当$v=8$时，$t=\dfrac{16}{8}=2$（h），结合时间为正数，可得t的取值范围为$0＜t＜2$。
（3）由行程公式可得$vt=16$，变形后得到$t$关于$v$的函数解析式为：$t=\dfrac{16}{v}$（$v＞8$）。
（4）将$t=0.5$代入$t=\dfrac{16}{v}$，可得$0.5=\dfrac{16}{v}$，解得$v=16÷0.5=32$（km/h）。
【答案】
（1）$\boxed{16\ \mathrm{km}}$；
（2）速度越快，时间越短，t的取值范围为$\boxed{0＜t＜2}$；
（3）$\boxed{t=\dfrac{16}{v}(v＞8)}$；
（4）$\boxed{32\ \mathrm{km/h}}$。
【知识点】
行程问题基本公式，反比例函数的概念，函数代入求值
【点评】
本题结合生活场景出题，既考察了单位换算、行程公式的基础应用，也考察了反比例函数的概念和简单计算，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写取值范围出错。
【难度系数】
0.8
10. 已知关于$x$的多项式$x^2 - kx + 1$是一个完全平方式，求反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的解析式。
答案
解 因为 $x^2 - kx + 1$ 是一个完全平方式，
所以 $k=\pm 2$。所以反比例函数 $y=\dfrac{k-1}{x}$ 的解析式为 $y=\dfrac{1}{x}$ 或 $y=-\dfrac{3}{x}$。
所以 $k=\pm 2$。所以反比例函数 $y=\dfrac{k-1}{x}$ 的解析式为 $y=\dfrac{1}{x}$ 或 $y=-\dfrac{3}{x}$。
解析
【分析】
解题时首先根据完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，对应题干中的多项式$x^2 -kx +1$，可确定一次项系数的取值，得到$k$的两个可能值；再根据反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，$k$为常数且$k≠0$的函数是反比例函数），验证所得$k$值是否满足比例系数不为0的要求，最后将符合条件的$k$代入即可得到反比例函数的解析式。
【解析】
解：$\because$ 关于$x$的多项式$x^2 - kx + 1$是完全平方式，
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对比可得：
首项$a=x$，末项$b=1$，因此中间项为$\pm2· x·1=\pm2x$，
$\therefore -kx = \pm2x$，即$-k=\pm2$，
解得：$k=2$或$k=-2$。
又$\because$ 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的比例系数不能为0，
当$k=2$时，$k-1=2-1=1≠0$，符合要求，此时解析式为$y=\frac{1}{x}$；
当$k=-2$时，$k-1=-2-1=-3≠0$，符合要求，此时解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{x}$或$y=-\dfrac{3}{x}$
【知识点】
完全平方式的特征；反比例函数的定义；代数式求值
【点评】
本题易错点在于容易忽略完全平方式有“和的平方”与“差的平方”两种形式，导致漏算$k=-2$的情况；同时要注意反比例函数的比例系数不能为0，解题时需对所得参数进行验证，避免出现不符合定义的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，对应题干中的多项式$x^2 -kx +1$，可确定一次项系数的取值，得到$k$的两个可能值；再根据反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，$k$为常数且$k≠0$的函数是反比例函数），验证所得$k$值是否满足比例系数不为0的要求，最后将符合条件的$k$代入即可得到反比例函数的解析式。
【解析】
解：$\because$ 关于$x$的多项式$x^2 - kx + 1$是完全平方式，
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对比可得：
首项$a=x$，末项$b=1$，因此中间项为$\pm2· x·1=\pm2x$，
$\therefore -kx = \pm2x$，即$-k=\pm2$，
解得：$k=2$或$k=-2$。
又$\because$ 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的比例系数不能为0，
当$k=2$时，$k-1=2-1=1≠0$，符合要求，此时解析式为$y=\frac{1}{x}$；
当$k=-2$时，$k-1=-2-1=-3≠0$，符合要求，此时解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{x}$或$y=-\dfrac{3}{x}$
【知识点】
完全平方式的特征；反比例函数的定义；代数式求值
【点评】
本题易错点在于容易忽略完全平方式有“和的平方”与“差的平方”两种形式，导致漏算$k=-2$的情况；同时要注意反比例函数的比例系数不能为0，解题时需对所得参数进行验证，避免出现不符合定义的结果。
【难度系数】
0.7
11. 已知 $ y_1 $ 与 $ x $ 成反比例，$ y_2 $ 与 $ x $ 也成反比例，且 $ y = y_1 + y_2 $，则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系是怎样的？
答案
解 因为 $y_1$ 与 $x$ 成反比例，所以设 $y_1=\dfrac{k_1}{x}$（$k_1≠0$）。因为 $y_2$ 与 $x$ 成反比例，所以设 $y_2=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）。因为 $y=y_1+y_2$，所以 $y=\dfrac{k_1}{x}+\dfrac{k_2}{x}=\dfrac{k_1+k_2}{x}$。
当 $k_1$ 与 $k_2$ 互为相反数，即 $k_1+k_2=0$ 时，$y=0$（$x≠0$）；
当 $k_1$ 与 $k_2$ 不互为相反数，即 $k_1+k_2≠0$ 时，$y$ 是 $x$ 的反比例函数。
当 $k_1$ 与 $k_2$ 互为相反数，即 $k_1+k_2=0$ 时，$y=0$（$x≠0$）；
当 $k_1$ 与 $k_2$ 不互为相反数，即 $k_1+k_2≠0$ 时，$y$ 是 $x$ 的反比例函数。
解析
【分析】
解决本题需结合反比例函数的定义逐步推导：首先，若两个量成反比例，可表示为形如$ a=\frac{k}{b} $（k为常数且k≠0）的形式，因此第一步可分别设出$ y_1 $、$ y_2 $关于x的表达式，注意两个比例系数需区分且均不为0；第二步将两个表达式代入$ y=y_1+y_2 $合并同类项；第三步对合并后新的系数的取值分类讨论，判断对应的函数类型即可。
【解析】
解：
∵ $ y_1 $与x成反比例，
∴ 设$ y_1=\dfrac{k_1}{x} $（$ k_1 $为常数，$ k_1≠0 $）。
∵ $ y_2 $与x成反比例，
∴ 设$ y_2=\dfrac{k_2}{x} $（$ k_2 $为常数，$ k_2≠0 $）。
∵ $ y=y_1+y_2 $，
∴ $ y=\dfrac{k_1}{x}+\dfrac{k_2}{x}=\dfrac{k_1+k_2}{x} $。
分两种情况讨论：
1. 当$ k_1+k_2=0 $（即$ k_1 $与$ k_2 $互为相反数）时，$ y=0 $（$ x≠0 $），此时y为常函数；
2. 当$ k_1+k_2≠0 $（即$ k_1 $与$ k_2 $不互为相反数）时，y符合反比例函数的定义，此时y是x的反比例函数。
【答案】
当$ k_1 $与$ k_2 $互为相反数时，$ y=0 $（$ x≠0 $）；当$ k_1 $与$ k_2 $不互为相反数时，$ y $是$ x $的反比例函数。
【知识点】
反比例函数的定义；合并同类项；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对反比例函数概念的理解，易错点是容易忽略两个比例系数互为相反数的特殊情况，解题时需注意对参数的不同取值情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合反比例函数的定义逐步推导：首先，若两个量成反比例，可表示为形如$ a=\frac{k}{b} $（k为常数且k≠0）的形式，因此第一步可分别设出$ y_1 $、$ y_2 $关于x的表达式，注意两个比例系数需区分且均不为0；第二步将两个表达式代入$ y=y_1+y_2 $合并同类项；第三步对合并后新的系数的取值分类讨论，判断对应的函数类型即可。
【解析】
解：
∵ $ y_1 $与x成反比例，
∴ 设$ y_1=\dfrac{k_1}{x} $（$ k_1 $为常数，$ k_1≠0 $）。
∵ $ y_2 $与x成反比例，
∴ 设$ y_2=\dfrac{k_2}{x} $（$ k_2 $为常数，$ k_2≠0 $）。
∵ $ y=y_1+y_2 $，
∴ $ y=\dfrac{k_1}{x}+\dfrac{k_2}{x}=\dfrac{k_1+k_2}{x} $。
分两种情况讨论：
1. 当$ k_1+k_2=0 $（即$ k_1 $与$ k_2 $互为相反数）时，$ y=0 $（$ x≠0 $），此时y为常函数；
2. 当$ k_1+k_2≠0 $（即$ k_1 $与$ k_2 $不互为相反数）时，y符合反比例函数的定义，此时y是x的反比例函数。
【答案】
当$ k_1 $与$ k_2 $互为相反数时，$ y=0 $（$ x≠0 $）；当$ k_1 $与$ k_2 $不互为相反数时，$ y $是$ x $的反比例函数。
【知识点】
反比例函数的定义；合并同类项；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对反比例函数概念的理解，易错点是容易忽略两个比例系数互为相反数的特殊情况，解题时需注意对参数的不同取值情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
