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20. 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球，建立平面直角坐标系如图所示（矩形ABCD为箱子的截面图. x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，AB = CD = 1 m，OB = BC = 2 m）. 小明站在原点处，将乒乓球从距离水平地面1.5 m高的P处抛出，即点P坐标为(0，1.5)，乒乓球的运行轨迹可近似看作抛物线，当乒乓球离小明的水平距离为1 m时，达到最大高度2 m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明抛出的乒乓球能不能投入箱子？请通过计算说明.
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明抛出的乒乓球能不能投入箱子？请通过计算说明.
答案
20. 解（1）由题意得 $P(0,\ 1.5)$，抛物线的顶点坐标为 $(1,\ 2).$ 设抛物线的解析式为 $y=a(x-1)^2+2\ (a≠ 0).$ 因为抛物线 $y=a(x-1)^2+2$ 经过点 $P(0,\ 1.5)$，所以 $1.5=a+2.$ 所以 $a=-0.5.$
所以抛物线的解析式为 $y=-0.5(x-1)^2+2$，即 $y=-0.5x^2+x+1.5.$
（2）能，理由如下：
当 $x=2$ 时，$y=1.5＞AB$；
当 $y=0$ 时，$-0.5x^2+x+1.5=0$，
解得 $x_1=-1$（舍去），$x_2=3.$ 所以乒乓球在运行中高于 $AB$，并落在 $BC$ 的中点处，所以小明抛出的乒乓球能投入箱子.
所以抛物线的解析式为 $y=-0.5(x-1)^2+2$，即 $y=-0.5x^2+x+1.5.$
（2）能，理由如下：
当 $x=2$ 时，$y=1.5＞AB$；
当 $y=0$ 时，$-0.5x^2+x+1.5=0$，
解得 $x_1=-1$（舍去），$x_2=3.$ 所以乒乓球在运行中高于 $AB$，并落在 $BC$ 的中点处，所以小明抛出的乒乓球能投入箱子.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，再将已知经过的点P的坐标代入求解参数a，即可得到抛物线解析式；
（2）判断能否投入箱子，首先明确箱子的位置：左侧边界横坐标为2，右侧边界横坐标为4，箱子高度为1m。需要验证两个条件：①乒乓球在x=2处的高度是否大于1m，避免撞到箱子左侧壁；②乒乓球落地时的横坐标是否在2到4之间，若两个条件都满足则可以投入箱子。
【解析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(1,2)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x-1)^2+2\ (a≠0)$。
已知抛物线经过点$P(0,1.5)$，将$x=0$，$y=1.5$代入解析式得：
$1.5=a(0-1)^2+2$
解得$a=-0.5$
将$a=-0.5$代入顶点式整理得：$y=-0.5(x-1)^2+2=-0.5x^2+x+1.5$。
（2）能投入箱子，理由如下：
首先计算乒乓球到达箱子左边界$x=2$处的高度：
将$x=2$代入抛物线解析式得：$y=-0.5×(2-1)^2+2=1.5$，
已知箱子高度$AB=1\mathrm{m}$，$1.5＞1$，说明乒乓球不会撞到左侧壁AB，能从箱子上方进入箱子范围。
再计算乒乓球落地时的横坐标，即$y=0$时$x$的取值：
令$y=0$，得$-0.5x^2+x+1.5=0$，
化简为$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（横坐标为负，不符合实际情况，舍去）。
已知箱子底面横坐标范围是$2≤ x≤4$，$2＜3＜4$，说明乒乓球落在箱子底面BC上，因此能投入箱子。
【答案】
（1）抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-0.5x^2+x+1.5}$（或$y=-0.5(x-1)^2+2$）；
（2）小明抛出的乒乓球能投入箱子。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题以投掷乒乓球的生活游戏为背景，将实际问题转化为二次函数问题，既考查了二次函数解析式的求解方法，也考查了结合实际场景分析函数取值的能力，贴近生活，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，再将已知经过的点P的坐标代入求解参数a，即可得到抛物线解析式；
（2）判断能否投入箱子，首先明确箱子的位置：左侧边界横坐标为2，右侧边界横坐标为4，箱子高度为1m。需要验证两个条件：①乒乓球在x=2处的高度是否大于1m，避免撞到箱子左侧壁；②乒乓球落地时的横坐标是否在2到4之间，若两个条件都满足则可以投入箱子。
【解析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(1,2)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x-1)^2+2\ (a≠0)$。
已知抛物线经过点$P(0,1.5)$，将$x=0$，$y=1.5$代入解析式得：
$1.5=a(0-1)^2+2$
解得$a=-0.5$
将$a=-0.5$代入顶点式整理得：$y=-0.5(x-1)^2+2=-0.5x^2+x+1.5$。
（2）能投入箱子，理由如下：
首先计算乒乓球到达箱子左边界$x=2$处的高度：
将$x=2$代入抛物线解析式得：$y=-0.5×(2-1)^2+2=1.5$，
已知箱子高度$AB=1\mathrm{m}$，$1.5＞1$，说明乒乓球不会撞到左侧壁AB，能从箱子上方进入箱子范围。
再计算乒乓球落地时的横坐标，即$y=0$时$x$的取值：
令$y=0$，得$-0.5x^2+x+1.5=0$，
化简为$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（横坐标为负，不符合实际情况，舍去）。
已知箱子底面横坐标范围是$2≤ x≤4$，$2＜3＜4$，说明乒乓球落在箱子底面BC上，因此能投入箱子。
【答案】
（1）抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-0.5x^2+x+1.5}$（或$y=-0.5(x-1)^2+2$）；
（2）小明抛出的乒乓球能投入箱子。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题以投掷乒乓球的生活游戏为背景，将实际问题转化为二次函数问题，既考查了二次函数解析式的求解方法，也考查了结合实际场景分析函数取值的能力，贴近生活，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
21. 如图，已知抛物线 $ y = ax^2 + bx $（$ a ≠ 0 $）经过点 $ A(-2, 0) $，$ B(-3, 3) $，顶点为 $ C $。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点 $ C $ 的坐标；
（3）点 $ D $ 在抛物线上，点 $ E $ 在抛物线的对称轴上，且以 $ A, O, D, E $ 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 $ D $ 的坐标。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点 $ C $ 的坐标；
（3）点 $ D $ 在抛物线上，点 $ E $ 在抛物线的对称轴上，且以 $ A, O, D, E $ 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 $ D $ 的坐标。
答案
21. 解（1）根据题意得$\begin{cases}4a-2b=0,\\9a-3b=3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
则此抛物线的解析式是 $y=x^2+2x.$
（2）由于 $C$ 为顶点，
且 $y=x^2+2x=(x+1)^2-1$，
则点 $C$ 的坐标是 $(-1,\ -1).$
（3）点 $D$ 的坐标为 $(-3,\ 3)$ 或 $(1,\ 3)$ 或 $(-1,\ -1).$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
则此抛物线的解析式是 $y=x^2+2x.$
（2）由于 $C$ 为顶点，
且 $y=x^2+2x=(x+1)^2-1$，
则点 $C$ 的坐标是 $(-1,\ -1).$
（3）点 $D$ 的坐标为 $(-3,\ 3)$ 或 $(1,\ 3)$ 或 $(-1,\ -1).$
解析
【分析】
（1）已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx$（$a≠0$），且过点A、B，将两点坐标代入解析式即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b即可得到抛物线解析式；
（2）求顶点坐标可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标，也可使用顶点坐标公式计算；
（3）平行四边形存在性问题需分类讨论：①若AO为平行四边形的边，则DE与AO平行且相等，结合对称轴为$x=-1$可推出D点横坐标，代入解析式求纵坐标；②若AO为平行四边形的对角线，则AO与DE互相平分，利用中点坐标公式求出D点横坐标，再代入解析式求纵坐标，汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
（1）将点$A(-2, 0)$，$B(-3, 3)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}4a-2b=0\\9a-3b=3\end{cases}$
由第一个方程得$b=2a$，代入第二个方程得$9a-6a=3$，解得$a=1$，则$b=2×1=2$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2+2x$。
（2）对解析式配方：
$y=x^2+2x=(x+1)^2-1$
因此顶点C的坐标为$(-1, -1)$。
（3）抛物线对称轴为直线$x=-1$，$AO=2$。
①当AO为平行四边形的边时，$DE// AO$且$DE=AO=2$，则D点横坐标为$-1+2=1$或$-1-2=-3$：
当$x=1$时，$y=1^2+2×1=3$，即$D(1,3)$；
当$x=-3$时，$y=(-3)^2+2×(-3)=3$，即$D(-3,3)$。
②当AO为平行四边形的对角线时，AO中点坐标为$(-1,0)$，则DE中点也为$(-1,0)$，已知E横坐标为$-1$，得D横坐标为$-1$：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2+2×(-1)=-1$，即$D(-1,-1)$。
综上，符合条件的D点坐标为$(-3,3)$、$(1,3)$、$(-1,-1)$。
【答案】
（1）$y=x^2+2x$
（2）$(-1, -1)$
（3）$(-3, 3)$或$(1, 3)$或$(-1, -1)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点坐标；平行四边形的性质
【点评】
本题为二次函数基础综合题，前两问考察二次函数的基础计算，难度较低；第三问为平行四边形存在性问题，核心是掌握分类讨论的思想，区分对角线和边两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx$（$a≠0$），且过点A、B，将两点坐标代入解析式即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b即可得到抛物线解析式；
（2）求顶点坐标可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标，也可使用顶点坐标公式计算；
（3）平行四边形存在性问题需分类讨论：①若AO为平行四边形的边，则DE与AO平行且相等，结合对称轴为$x=-1$可推出D点横坐标，代入解析式求纵坐标；②若AO为平行四边形的对角线，则AO与DE互相平分，利用中点坐标公式求出D点横坐标，再代入解析式求纵坐标，汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
（1）将点$A(-2, 0)$，$B(-3, 3)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}4a-2b=0\\9a-3b=3\end{cases}$
由第一个方程得$b=2a$，代入第二个方程得$9a-6a=3$，解得$a=1$，则$b=2×1=2$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2+2x$。
（2）对解析式配方：
$y=x^2+2x=(x+1)^2-1$
因此顶点C的坐标为$(-1, -1)$。
（3）抛物线对称轴为直线$x=-1$，$AO=2$。
①当AO为平行四边形的边时，$DE// AO$且$DE=AO=2$，则D点横坐标为$-1+2=1$或$-1-2=-3$：
当$x=1$时，$y=1^2+2×1=3$，即$D(1,3)$；
当$x=-3$时，$y=(-3)^2+2×(-3)=3$，即$D(-3,3)$。
②当AO为平行四边形的对角线时，AO中点坐标为$(-1,0)$，则DE中点也为$(-1,0)$，已知E横坐标为$-1$，得D横坐标为$-1$：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2+2×(-1)=-1$，即$D(-1,-1)$。
综上，符合条件的D点坐标为$(-3,3)$、$(1,3)$、$(-1,-1)$。
【答案】
（1）$y=x^2+2x$
（2）$(-1, -1)$
（3）$(-3, 3)$或$(1, 3)$或$(-1, -1)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点坐标；平行四边形的性质
【点评】
本题为二次函数基础综合题，前两问考察二次函数的基础计算，难度较低；第三问为平行四边形存在性问题，核心是掌握分类讨论的思想，区分对角线和边两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
