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17. 已知关于$x$的二次函数$y=x^2 -2mx +m^2 -4m$.
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含$m$的代数式表示）；
（2）若该二次函数图象的顶点到$x$轴的距离大于4，求$m$的取值范围.
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含$m$的代数式表示）；
（2）若该二次函数图象的顶点到$x$轴的距离大于4，求$m$的取值范围.
答案
17. 解（1）$y=x^2-2mx+m^2-4m=(x-m)^2-4m$，所以该二次函数图象的顶点坐标为 $(m,\ -4m).$
（2）二次函数图象的顶点到 $x$ 轴的距离为 $|-4m|$，所以 $|-4m|＞4.$ 所以当 $m＞0$ 时，$m＞1$；当 $m＜0$ 时，$m＜-1.$ 综上所述，$m$ 的取值范围为 $m＞1$ 或 $m＜-1.$
（2）二次函数图象的顶点到 $x$ 轴的距离为 $|-4m|$，所以 $|-4m|＞4.$ 所以当 $m＞0$ 时，$m＞1$；当 $m＜0$ 时，$m＜-1.$ 综上所述，$m$ 的取值范围为 $m＞1$ 或 $m＜-1.$
解析
【分析】
（1）求二次函数顶点坐标可采用配方法，将二次函数的一般式转化为顶点式，即可直接读取顶点坐标；
（2）点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此先根据题意列出关于m的绝对值不等式，再分情况求解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）对二次函数解析式配方：
$y=x^2 -2mx +m^2 -4m=(x-m)^2 -4m$
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该二次函数图象的顶点坐标为$(m,-4m)$。
（2）顶点到x轴的距离为顶点纵坐标的绝对值，即$|-4m|$，由题意得：
$|-4m|＞4$
化简得$|m|＞1$：
当$m＞0$时，解得$m＞1$；
当$m＜0$时，解得$m＜-1$。
综上可得m的取值范围。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(m,\ -4m)}$；
（2）$\boldsymbol{m＞1}$或$\boldsymbol{m＜-1}$
【知识点】
二次函数顶点式、绝对值的意义、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查配方法的应用和绝对值性质的理解，解题时注意点到坐标轴的距离为非负数，列关系式时不要遗漏绝对值符号。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数顶点坐标可采用配方法，将二次函数的一般式转化为顶点式，即可直接读取顶点坐标；
（2）点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此先根据题意列出关于m的绝对值不等式，再分情况求解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）对二次函数解析式配方：
$y=x^2 -2mx +m^2 -4m=(x-m)^2 -4m$
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该二次函数图象的顶点坐标为$(m,-4m)$。
（2）顶点到x轴的距离为顶点纵坐标的绝对值，即$|-4m|$，由题意得：
$|-4m|＞4$
化简得$|m|＞1$：
当$m＞0$时，解得$m＞1$；
当$m＜0$时，解得$m＜-1$。
综上可得m的取值范围。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(m,\ -4m)}$；
（2）$\boldsymbol{m＞1}$或$\boldsymbol{m＜-1}$
【知识点】
二次函数顶点式、绝对值的意义、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查配方法的应用和绝对值性质的理解，解题时注意点到坐标轴的距离为非负数，列关系式时不要遗漏绝对值符号。
【难度系数】
0.7
18. 已知二次函数$y=x^2+bx+\frac{3}{2}b$（$b$为常数）的图象经过点$A(1, -4)$。
（1）求二次函数的解析式；
（2）当$0≤ x≤ a$时，二次函数的最大值为12，求$a$的值；
（3）该二次函数的图象沿$x$轴向右平移$m$（$m＞0$）个单位长度得到新的二次函数$L$，当$0≤ x≤ 4$时，二次函数$L$的最小值为$-4$，求$m$的取值范围。
（1）求二次函数的解析式；
（2）当$0≤ x≤ a$时，二次函数的最大值为12，求$a$的值；
（3）该二次函数的图象沿$x$轴向右平移$m$（$m＞0$）个单位长度得到新的二次函数$L$，当$0≤ x≤ 4$时，二次函数$L$的最小值为$-4$，求$m$的取值范围。
答案
18. 解（1）因为二次函数 $y=x^2+bx+\frac{3}{2}b$（$b$ 为常数）的图象经过点 $A(1,\ -4)$，
所以 $-4=1+b+\frac{3}{2}b$，解得 $b=-2.$
所以二次函数的解析式为 $y=x^2-2x-3.$
（2）因为 $y=x^2-2x-3$，
当 $x=0$ 时，$y=-3＜12.$
令 $y=12$，即 $x^2-2x-3=12$，
解得 $x_1=-3,\ x_2=5.$
因为 $a＞0$，所以 $a$ 的值为 $5.$
（3）因为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
所以平移后的二次函数 $L$ 的解析式为 $y=(x-1-m)^2-4$，对称轴为直线 $x=1+m.$
因为当 $0≤ x≤ 4$ 时，二次函数 $L$ 的最小值为$-4$，所以 $0≤ 1+m≤ 4$，解得 $-1≤ m≤ 3.$ 因为 $m＞0$，所以 $0＜m≤ 3.$
所以 $-4=1+b+\frac{3}{2}b$，解得 $b=-2.$
所以二次函数的解析式为 $y=x^2-2x-3.$
（2）因为 $y=x^2-2x-3$，
当 $x=0$ 时，$y=-3＜12.$
令 $y=12$，即 $x^2-2x-3=12$，
解得 $x_1=-3,\ x_2=5.$
因为 $a＞0$，所以 $a$ 的值为 $5.$
（3）因为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
所以平移后的二次函数 $L$ 的解析式为 $y=(x-1-m)^2-4$，对称轴为直线 $x=1+m.$
因为当 $0≤ x≤ 4$ 时，二次函数 $L$ 的最小值为$-4$，所以 $0≤ 1+m≤ 4$，解得 $-1≤ m≤ 3.$ 因为 $m＞0$，所以 $0＜m≤ 3.$
解析
【分析】
（1）第一问已知二次函数图象过点A，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A(1,-4)代入给定的二次函数表达式，得到关于b的一元一次方程，解方程求出b的值即可得到二次函数解析式。
（2）第二问先确定二次函数开口向上，在区间[0,a]上的最大值只会出现在区间端点处，先计算x=0时的函数值小于12，因此最大值出现在x=a处，令函数值等于12，解方程得到x的取值，结合a＞0即可求出a的值。
（3）第三问先将原二次函数化为顶点式，根据“左加右减”的平移规律写出平移后新函数L的顶点式，新函数开口向上，最小值为顶点纵坐标-4，要使0≤x≤4时最小值为-4，说明顶点的横坐标（即对称轴）必须落在区间[0,4]内，由此列不等式求解，再结合m＞0得到m的取值范围。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=x^2+bx+\frac{3}{2}b$的图象经过点$A(1, -4)$，
将$x=1$，$y=-4$代入解析式得：
$-4=1+b+\frac{3}{2}b$，
解得$b=-2$，
∴二次函数的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）由（1）得$y=x^2-2x-3$，该函数开口向上，
当$x=0$时，$y=0-0-3=-3＜12$，
因此区间$0≤x≤a$上的最大值在$x=a$处取得，
令$y=12$，即$x^2-2x-3=12$，
整理得$x^2-2x-15=0$，
因式分解得$(x+3)(x-5)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=5$，
∵$a＞0$，
∴$a=5$。
（3）先将原函数化为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
将图象沿x轴向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，
得到新函数L的解析式为$y=(x-1-m)^2-4$，其对称轴为直线$x=1+m$，
∵该函数开口向上，顶点处取得最小值$-4$，
要使$0≤x≤4$时，二次函数L的最小值为$-4$，则对称轴需落在区间$[0,4]$内，
即$0≤1+m≤4$，
解得$-1≤m≤3$，
又
∵$m＞0$，
∴$0＜m≤3$。
【答案】
（1）$y=x^2-2x-3$；（2）$a=5$；（3）$0＜m≤3$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的最值；二次函数的平移
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质展开考查，难度逐层递进，既考查了代入求参数等基础方法，也考查了函数最值与区间的关系、平移规律等重点内容，需熟练掌握配方法化顶点式，结合函数图象的开口方向分析最值的取值位置。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知二次函数图象过点A，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A(1,-4)代入给定的二次函数表达式，得到关于b的一元一次方程，解方程求出b的值即可得到二次函数解析式。
（2）第二问先确定二次函数开口向上，在区间[0,a]上的最大值只会出现在区间端点处，先计算x=0时的函数值小于12，因此最大值出现在x=a处，令函数值等于12，解方程得到x的取值，结合a＞0即可求出a的值。
（3）第三问先将原二次函数化为顶点式，根据“左加右减”的平移规律写出平移后新函数L的顶点式，新函数开口向上，最小值为顶点纵坐标-4，要使0≤x≤4时最小值为-4，说明顶点的横坐标（即对称轴）必须落在区间[0,4]内，由此列不等式求解，再结合m＞0得到m的取值范围。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=x^2+bx+\frac{3}{2}b$的图象经过点$A(1, -4)$，
将$x=1$，$y=-4$代入解析式得：
$-4=1+b+\frac{3}{2}b$，
解得$b=-2$，
∴二次函数的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）由（1）得$y=x^2-2x-3$，该函数开口向上，
当$x=0$时，$y=0-0-3=-3＜12$，
因此区间$0≤x≤a$上的最大值在$x=a$处取得，
令$y=12$，即$x^2-2x-3=12$，
整理得$x^2-2x-15=0$，
因式分解得$(x+3)(x-5)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=5$，
∵$a＞0$，
∴$a=5$。
（3）先将原函数化为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
将图象沿x轴向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，
得到新函数L的解析式为$y=(x-1-m)^2-4$，其对称轴为直线$x=1+m$，
∵该函数开口向上，顶点处取得最小值$-4$，
要使$0≤x≤4$时，二次函数L的最小值为$-4$，则对称轴需落在区间$[0,4]$内，
即$0≤1+m≤4$，
解得$-1≤m≤3$，
又
∵$m＞0$，
∴$0＜m≤3$。
【答案】
（1）$y=x^2-2x-3$；（2）$a=5$；（3）$0＜m≤3$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的最值；二次函数的平移
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质展开考查，难度逐层递进，既考查了代入求参数等基础方法，也考查了函数最值与区间的关系、平移规律等重点内容，需熟练掌握配方法化顶点式，结合函数图象的开口方向分析最值的取值位置。
【难度系数】
0.7
19. 张叔叔经营一家水产品店，在销售海蟹期间，他发现当将售价定为80元/kg时，每天可销售20 kg. 后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（单位：kg）与每千克海蟹降价x（单位：元）的关系如图所示. 已知海蟹的进价为50元/kg.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若要使每天销售这种海蟹的平均利润w最大，则每千克海蟹应降价多少元？最大利润为多少元？
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若要使每天销售这种海蟹的平均利润w最大，则每千克海蟹应降价多少元？最大利润为多少元？
答案
19. 解（1）设 $y=kx+b.$
依题意，得$\begin{cases}4k+b=28,\\b=20.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=20.\end{cases}$
所以 $y=2x+20\ (x≥ 0).$
（2）依题意，得 $w=(80-x-50)·(2x+20)=-2(x-10)^2+800.$
因为 $-2＜0$，
所以当 $x=10$ 时，$w_{\max}=800.$
所以每千克海蟹应降价 10 元，最大利润为 800 元.
依题意，得$\begin{cases}4k+b=28,\\b=20.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=20.\end{cases}$
所以 $y=2x+20\ (x≥ 0).$
（2）依题意，得 $w=(80-x-50)·(2x+20)=-2(x-10)^2+800.$
因为 $-2＜0$，
所以当 $x=10$ 时，$w_{\max}=800.$
所以每千克海蟹应降价 10 元，最大利润为 800 元.
解析
【分析】
（1）观察图象可知y与x满足一次函数关系，求一次函数解析式可采用待定系数法：先设解析式为$y=kx+b$，再从图象和题干中提取两个点的坐标，分别是降价0元时销量20kg，即点$(0,20)$，降价4元时销量28kg，即点$(4,28)$，将两个点坐标代入解析式得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到k和b的值，最终确定函数解析式，注意降价金额x是非负数。
（2）求利润最大值首先要明确总利润的计算逻辑：总利润=每千克海蟹的利润×每日销售量。每千克的利润=降价后的售价-进价，降价后的售价为$(80-x)$元，进价为50元，因此单利为$(80-x-50)$元；销售量是（1）中所求的$y=2x+20$，两者相乘即可得到w关于x的函数，整理后发现是二次函数，且二次项系数小于0、开口向下，函数在顶点处取得最大值，通过配方法将函数转化为顶点式即可求出最大利润及对应的降价金额。
【解析】
（1）设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，
由题意可知函数图象过点$(0,20)$和$(4,28)$，代入得：
$\begin{cases}4k+b=28\\b=20\end{cases}$
将$b=20$代入第一个方程，得$4k+20=28$，解得$k=2$，
因此y关于x的函数解析式为$y=2x+20\ (x≥0)$。
（2）由题意，总利润$w$等于每千克利润乘以销售量，即：
$w=(80-x-50)(2x+20)$
化简并配方为顶点式：
$w=(30-x)(2x+20)=-2x^2+40x+600=-2(x-10)^2+800$
$\because -2＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=10$时，$w$取得最大值，最大值为800。
【答案】
（1）$y=2x+20\ (x≥0)$；
（2）每千克海蟹应降价10元，最大利润为800元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题是函数在实际销售场景中的典型应用题，既考查了一次函数解析式的求解方法，又考查了二次函数最值的应用，解题关键是理清销售问题中的数量关系，正确构建函数模型，属于常考的基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
（1）观察图象可知y与x满足一次函数关系，求一次函数解析式可采用待定系数法：先设解析式为$y=kx+b$，再从图象和题干中提取两个点的坐标，分别是降价0元时销量20kg，即点$(0,20)$，降价4元时销量28kg，即点$(4,28)$，将两个点坐标代入解析式得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到k和b的值，最终确定函数解析式，注意降价金额x是非负数。
（2）求利润最大值首先要明确总利润的计算逻辑：总利润=每千克海蟹的利润×每日销售量。每千克的利润=降价后的售价-进价，降价后的售价为$(80-x)$元，进价为50元，因此单利为$(80-x-50)$元；销售量是（1）中所求的$y=2x+20$，两者相乘即可得到w关于x的函数，整理后发现是二次函数，且二次项系数小于0、开口向下，函数在顶点处取得最大值，通过配方法将函数转化为顶点式即可求出最大利润及对应的降价金额。
【解析】
（1）设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，
由题意可知函数图象过点$(0,20)$和$(4,28)$，代入得：
$\begin{cases}4k+b=28\\b=20\end{cases}$
将$b=20$代入第一个方程，得$4k+20=28$，解得$k=2$，
因此y关于x的函数解析式为$y=2x+20\ (x≥0)$。
（2）由题意，总利润$w$等于每千克利润乘以销售量，即：
$w=(80-x-50)(2x+20)$
化简并配方为顶点式：
$w=(30-x)(2x+20)=-2x^2+40x+600=-2(x-10)^2+800$
$\because -2＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=10$时，$w$取得最大值，最大值为800。
【答案】
（1）$y=2x+20\ (x≥0)$；
（2）每千克海蟹应降价10元，最大利润为800元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题是函数在实际销售场景中的典型应用题，既考查了一次函数解析式的求解方法，又考查了二次函数最值的应用，解题关键是理清销售问题中的数量关系，正确构建函数模型，属于常考的基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
