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10. 抛物线 $y=4(x-3)^2+1$ 的对称轴是
$x=3$
.答案
10.$x=3$
解析
【分析】
解题时首先判断所给抛物线的解析式属于顶点式，回忆二次函数顶点式的相关性质：顶点式中直接包含了对称轴的相关信息，不需要转化为一般式计算。要注意顶点式$ y=a(x-h)^2+k $中，括号内是x减去h，所以h的符号不要判断错误，找到对应h的值即可直接得出对称轴。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），该形式下抛物线的对称轴为直线$ x=h $。
题中给出的抛物线解析式为$ y=4(x-3)^2+1 $，对比顶点式可得$ h=3 $，因此该抛物线的对称轴是直线$ x=3 $。
【答案】
$ x=3 $
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，属于基础题型，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义是解题的关键，解题时要注意参数h的符号，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先判断所给抛物线的解析式属于顶点式，回忆二次函数顶点式的相关性质：顶点式中直接包含了对称轴的相关信息，不需要转化为一般式计算。要注意顶点式$ y=a(x-h)^2+k $中，括号内是x减去h，所以h的符号不要判断错误，找到对应h的值即可直接得出对称轴。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），该形式下抛物线的对称轴为直线$ x=h $。
题中给出的抛物线解析式为$ y=4(x-3)^2+1 $，对比顶点式可得$ h=3 $，因此该抛物线的对称轴是直线$ x=3 $。
【答案】
$ x=3 $
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，属于基础题型，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义是解题的关键，解题时要注意参数h的符号，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9
11. 当 $ m = $
$-2$
时，函数 $ y = (m - 2)x^{m^2 - 2} - 2x + 1 $ 是二次函数。答案
11.$-2$
解析
【分析】
要确定使函数为二次函数的m值，需依据二次函数的定义推导：二次函数需同时满足两个核心条件：① 最高次项的次数为2；② 二次项的系数不为0。解题时先根据最高次为2列方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，列条件如下：
1. 最高次项次数为2：
$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$，解得$m = 2$或$m = -2$
2. 二次项系数不为0：
$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
结合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，错误得出m=±2的结果，解答这类定义类题型时要牢记所有必要限制条件，逐一验证取值是否符合要求。
【难度系数】
0.7
要确定使函数为二次函数的m值，需依据二次函数的定义推导：二次函数需同时满足两个核心条件：① 最高次项的次数为2；② 二次项的系数不为0。解题时先根据最高次为2列方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，列条件如下：
1. 最高次项次数为2：
$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$，解得$m = 2$或$m = -2$
2. 二次项系数不为0：
$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
结合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，错误得出m=±2的结果，解答这类定义类题型时要牢记所有必要限制条件，逐一验证取值是否符合要求。
【难度系数】
0.7
12. 二次函数 $ y_1 = mx^2 $，$ y_2 = nx^2 $ 的图象如图
所示，$ m $
所示，$ m $ $＞$
$ n $（填“＞”或“＜”）。答案
12.$＞$
解析
【分析】
要比较m和n的大小，可结合二次函数$y=ax^2$的性质分析：首先两个抛物线都开口向上，说明m、n均为正数；其次对于开口向上的抛物线$y=ax^2$，二次项系数越大，开口越窄，也可以取特殊值$x=1$代入两个函数，通过对应纵坐标的大小直接比较m、n的大小。
【解析】
方法1：利用开口宽窄判断
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上时，$a＞0$，因此本题中$m＞0$，$n＞0$；
当$a＞0$时，$a$的取值越大，抛物线$y=ax^2$的开口越窄，观察图象可知$y_1=mx^2$的开口比$y_2=nx^2$更窄，因此$m＞n$。
方法2：特殊值法
取$x=1$，分别代入两个函数：
$y_1=m×1^2=m$，$y_2=n×1^2=n$；
由图象可知，$x=1$时$y_1$对应的纵坐标大于$y_2$对应的纵坐标，即$y_1＞y_2$，因此$m＞n$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接应用，解题思路灵活，既可以通过开口特征判断系数大小，也可以用特殊值法快速求解，熟练掌握二次函数$y=ax^2$的性质是解题关键。
【难度系数】
0.9
要比较m和n的大小，可结合二次函数$y=ax^2$的性质分析：首先两个抛物线都开口向上，说明m、n均为正数；其次对于开口向上的抛物线$y=ax^2$，二次项系数越大，开口越窄，也可以取特殊值$x=1$代入两个函数，通过对应纵坐标的大小直接比较m、n的大小。
【解析】
方法1：利用开口宽窄判断
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上时，$a＞0$，因此本题中$m＞0$，$n＞0$；
当$a＞0$时，$a$的取值越大，抛物线$y=ax^2$的开口越窄，观察图象可知$y_1=mx^2$的开口比$y_2=nx^2$更窄，因此$m＞n$。
方法2：特殊值法
取$x=1$，分别代入两个函数：
$y_1=m×1^2=m$，$y_2=n×1^2=n$；
由图象可知，$x=1$时$y_1$对应的纵坐标大于$y_2$对应的纵坐标，即$y_1＞y_2$，因此$m＞n$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接应用，解题思路灵活，既可以通过开口特征判断系数大小，也可以用特殊值法快速求解，熟练掌握二次函数$y=ax^2$的性质是解题关键。
【难度系数】
0.9
13. 关于$x$的二次函数$y=-x^2+(a-2)x-3$的图象在$y$轴右侧$y$随$x$的增大而减小，则$a$的取值范围为
$a≤ 2$
。答案
13.$a≤ 2$
解析
【分析】
首先回忆二次函数的性质：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题中二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，因此在对称轴右侧y随x的增大而减小。题目要求y轴右侧（x＞0的区域）y随x增大而减小，说明y轴右侧的所有区域都要落在对称轴的右侧，即对称轴的位置应在y轴或y轴左侧，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+(a-2)x-3$：
1. 二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
2. 根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A$为二次项系数，$B$为一次项系数），代入$A=-1$，$B=a-2$，可得对称轴为：
$x=-\frac{a-2}{2×(-1)}=\frac{a-2}{2}$
3. 要使$y$轴右侧（$x＞0$）的区域内$y$随$x$的增大而减小，则对称轴需位于y轴或y轴左侧，即：
$\frac{a-2}{2}≤0$
4. 解不等式：两边同乘2得$a-2≤0$，解得$a≤2$。
【答案】
$a≤ 2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；一元一次不等式的解法
【点评】
本题重点考查二次函数增减性与对称轴的关联，解题时需先根据二次项系数判断开口方向，再结合给定的自变量增减区间确定对称轴的取值范围，要注意对称轴与y轴重合的情况也满足题意，避免遗漏等号导致错解。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数的性质：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题中二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，因此在对称轴右侧y随x的增大而减小。题目要求y轴右侧（x＞0的区域）y随x增大而减小，说明y轴右侧的所有区域都要落在对称轴的右侧，即对称轴的位置应在y轴或y轴左侧，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+(a-2)x-3$：
1. 二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
2. 根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A$为二次项系数，$B$为一次项系数），代入$A=-1$，$B=a-2$，可得对称轴为：
$x=-\frac{a-2}{2×(-1)}=\frac{a-2}{2}$
3. 要使$y$轴右侧（$x＞0$）的区域内$y$随$x$的增大而减小，则对称轴需位于y轴或y轴左侧，即：
$\frac{a-2}{2}≤0$
4. 解不等式：两边同乘2得$a-2≤0$，解得$a≤2$。
【答案】
$a≤ 2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；一元一次不等式的解法
【点评】
本题重点考查二次函数增减性与对称轴的关联，解题时需先根据二次项系数判断开口方向，再结合给定的自变量增减区间确定对称轴的取值范围，要注意对称轴与y轴重合的情况也满足题意，避免遗漏等号导致错解。
【难度系数】
0.7
14. 伞是生活中常见的一种工具. 如图, 以伞柄所在的直线为 y 轴, 以伞骨 OA, OB 的交点 O 为坐标原点, 建立平面直角坐标系, 点 C 为抛物线的顶点, 点 A, B 在抛物线上, OA, OB 关于 y 轴对称. 已知抛物线的解析式为 $y=-0.2x^2+1$, 若点 A 到 x 轴的距离是 0.6 dm, 则 A, B 两点之间的距离是 
$2\sqrt{2}$
dm. 答案
14.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据点A到x轴的距离确定点A的纵坐标，再将纵坐标代入抛物线解析式求出点A的横坐标；接着利用OA、OB关于y轴对称的性质得到点B的横坐标，由于A、B两点纵坐标相同，两点距离等于横坐标差的绝对值，据此即可计算出AB的长度。
【解析】
∵点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A位于x轴上方，
∴点A的纵坐标$y=0.6$。
将$y=0.6$代入抛物线解析式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项整理得：$0.2x^2=0.4$，即$x^2=2$，
解得$x=\sqrt{2}$（点A在第一象限，取正值），
∴点A的坐标为$(\sqrt{2},0.6)$。
∵OA、OB关于y轴对称，
∴点B的坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$。
∵A、B两点纵坐标相同，
∴AB的距离为$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，两点间距离计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是先根据点到坐标轴的距离确定点的纵坐标，代入解析式求出横坐标后结合轴对称性质即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先根据点A到x轴的距离确定点A的纵坐标，再将纵坐标代入抛物线解析式求出点A的横坐标；接着利用OA、OB关于y轴对称的性质得到点B的横坐标，由于A、B两点纵坐标相同，两点距离等于横坐标差的绝对值，据此即可计算出AB的长度。
【解析】
∵点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A位于x轴上方，
∴点A的纵坐标$y=0.6$。
将$y=0.6$代入抛物线解析式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项整理得：$0.2x^2=0.4$，即$x^2=2$，
解得$x=\sqrt{2}$（点A在第一象限，取正值），
∴点A的坐标为$(\sqrt{2},0.6)$。
∵OA、OB关于y轴对称，
∴点B的坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$。
∵A、B两点纵坐标相同，
∴AB的距离为$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，两点间距离计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是先根据点到坐标轴的距离确定点的纵坐标，代入解析式求出横坐标后结合轴对称性质即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
15. 把函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ＞ 0) $ 的图象在 $ x $ 轴下方的部分沿 $ x $ 轴向上翻折，在 $ x $ 轴上方的部分不变，即可得到函数 $ y = |ax^2 + bx + c| \ (a ＞ 0) $ 的图象，如图所示。则下列结论正确的是
②④
（填序号）。① $ c = 3 $；② $ 2a + b = 0 $；③ $ abc ＜ 0 $；④将函数 $ y = |ax^2 + bx + c| $ 的图象向上平移1个单位长度后与 $ y = 5 $ 有3个交点。答案
15.②④
解析
【分析】首先从图像获取原二次函数与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，结合翻折规则推导原二次函数的参数特征，再逐个验证4个结论：先求对称轴判断②；结合x=0处的函数值判断①；结合a、b、c的符号判断③；求出翻折后函数的顶点值，分析平移后的交点个数判断④。
【解析】
1. 原二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为$x=\frac{-1+3}{2}=1$。根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故②正确。
2. 由于$a＞0$，原二次函数开口向上，因此区间$(-1,3)$内原函数图像在x轴下方，经翻折后才处于x轴上方。x=0在$(-1,3)$区间内，翻折后x=0处的y值为$|c|=3$，而原函数在x=0处的函数值$c＜0$，因此$c=-3$，故①错误。
3. 由$a＞0$，$b=-2a＜0$，$c=-3＜0$，可得$abc=a×(-2a)×(-3)=6a^2＞0$，故③错误。
4. 由交点式可得原函数为$y=a(x+1)(x-3)$，代入$c=-3a=-3$，得$a=1$，即原函数为$y=x^2-2x-3$。翻折后函数$y=|x^2-2x-3|$在$(-1,3)$区间内的表达式为$y=-x^2+2x+3$，顶点坐标为$(1,4)$，区间外保留原函数。将函数向上平移1个单位后，表达式为$y=|x^2-2x-3|+1$，令$y=5$，即$|x^2-2x-3|=4$：
当$x≤-1$或$x≥3$时，$x^2-2x-3=4$，解得$x=1\pm2\sqrt{2}$，其中$1+2\sqrt{2}＞3$、$1-2\sqrt{2}＜-1$，均符合条件，共2个解；
当$-1＜x＜3$时，$-(x^2-2x-3)=4$，整理得$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，共1个解。
总共有3个解，即平移后图像与$y=5$有3个交点，故④正确。
【答案】②④
【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的翻折变换，二次函数的平移
【点评】本题综合考查二次函数的图像变换与性质，需要结合翻折规则区分原函数和翻折后函数的区间特征，熟练运用对称轴、交点式等知识求解参数，再结合方程判断交点个数，是二次函数综合类基础题。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 原二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为$x=\frac{-1+3}{2}=1$。根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故②正确。
2. 由于$a＞0$，原二次函数开口向上，因此区间$(-1,3)$内原函数图像在x轴下方，经翻折后才处于x轴上方。x=0在$(-1,3)$区间内，翻折后x=0处的y值为$|c|=3$，而原函数在x=0处的函数值$c＜0$，因此$c=-3$，故①错误。
3. 由$a＞0$，$b=-2a＜0$，$c=-3＜0$，可得$abc=a×(-2a)×(-3)=6a^2＞0$，故③错误。
4. 由交点式可得原函数为$y=a(x+1)(x-3)$，代入$c=-3a=-3$，得$a=1$，即原函数为$y=x^2-2x-3$。翻折后函数$y=|x^2-2x-3|$在$(-1,3)$区间内的表达式为$y=-x^2+2x+3$，顶点坐标为$(1,4)$，区间外保留原函数。将函数向上平移1个单位后，表达式为$y=|x^2-2x-3|+1$，令$y=5$，即$|x^2-2x-3|=4$：
当$x≤-1$或$x≥3$时，$x^2-2x-3=4$，解得$x=1\pm2\sqrt{2}$，其中$1+2\sqrt{2}＞3$、$1-2\sqrt{2}＜-1$，均符合条件，共2个解；
当$-1＜x＜3$时，$-(x^2-2x-3)=4$，整理得$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，共1个解。
总共有3个解，即平移后图像与$y=5$有3个交点，故④正确。
【答案】②④
【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的翻折变换，二次函数的平移
【点评】本题综合考查二次函数的图像变换与性质，需要结合翻折规则区分原函数和翻折后函数的区间特征，熟练运用对称轴、交点式等知识求解参数，再结合方程判断交点个数，是二次函数综合类基础题。
【难度系数】0.6
三、解答题
16. 若$y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x$是关于$x$的二次函数.
（1）求$m$的值及函数解析式；
（2）写出这个二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项.
16. 若$y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x$是关于$x$的二次函数.
（1）求$m$的值及函数解析式；
（2）写出这个二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项.
答案
16. 解（1）由题意得$\begin{cases}m^2 - m=2,\ ①\\-(m+1)≠ 0.\ ②\end{cases}$
由①得 $m_1=2,\ m_2=-1.$ 由②得 $m≠ -1.$
所以 $m=2,\ y=-3x^2+5x.$
（2）这个二次函数的二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0.$
由①得 $m_1=2,\ m_2=-1.$ 由②得 $m≠ -1.$
所以 $m=2,\ y=-3x^2+5x.$
（2）这个二次函数的二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数的定义核心要求：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。第（1）问我们根据这两个要求分别列方程和不等式，求解得到符合条件的m值，再代入原式就能得到函数解析式；第（2）问把得到的解析式和二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$对应，就能找到对应的各项系数，注意没有单独的常数项时，常数项为0。
【解析】
（1）根据二次函数的定义，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - m=2,\quad ①\\-(m+1)≠ 0.\quad ②\end{cases}$
解方程①：整理得$m^2-m-2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2,\ m_2=-1$。
解不等式②：得$m≠-1$。
综上可得$m=2$，将$m=2$代入原式，得函数解析式为$y=-(2+1)x^2+5x$，即$y=-3x^2+5x$。
（2）将所得解析式与二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$对比，可得：
二次项系数为$-3$，一次项系数为$5$，常数项为$0$。
【答案】
（1）$m=2$，函数解析式为$y=-3x^2+5x$；
（2）二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的项与系数
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的两个判定条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留$m=-1$的结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数的定义核心要求：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。第（1）问我们根据这两个要求分别列方程和不等式，求解得到符合条件的m值，再代入原式就能得到函数解析式；第（2）问把得到的解析式和二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$对应，就能找到对应的各项系数，注意没有单独的常数项时，常数项为0。
【解析】
（1）根据二次函数的定义，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - m=2,\quad ①\\-(m+1)≠ 0.\quad ②\end{cases}$
解方程①：整理得$m^2-m-2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2,\ m_2=-1$。
解不等式②：得$m≠-1$。
综上可得$m=2$，将$m=2$代入原式，得函数解析式为$y=-(2+1)x^2+5x$，即$y=-3x^2+5x$。
（2）将所得解析式与二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$对比，可得：
二次项系数为$-3$，一次项系数为$5$，常数项为$0$。
【答案】
（1）$m=2$，函数解析式为$y=-3x^2+5x$；
（2）二次项系数是$-3$，一次项系数是$5$，常数项是$0$。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的项与系数
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的两个判定条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留$m=-1$的结果。
【难度系数】
0.8
