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10. 写出下列名词的定义。
(1)无理数。
(2)平行线。
(1)无理数。
(2)平行线。
答案
10. (1)无限不循环小数叫无理数。 (2)在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线。
解析
【分析】
本题考查基础数学概念的识记，解题时需回忆对应概念的核心要点：(1)无理数是与有理数相对的实数类型，有理数的小数形式为有限小数或无限循环小数，因此无理数的核心特征是无限且不循环的小数；(2)平行线的定义需注意前提限制，空间中存在不相交也不平行的异面直线，所以必须加上“同一平面内”的限定，核心是不相交的两条直线，按标准表述作答即可。
【解析】
(1)实数中的小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数三类，其中有限小数和无限循环小数都属于有理数，剩余的无限不循环小数即为无理数，因此无理数的定义为无限不循环小数。
(2)仅在同一平面内讨论两条直线的位置关系时，才有相交和平行两类，因此平行线的定义需要限定前提，即同一平面内不相交的两条直线为平行线。
【答案】
(1)无限不循环小数叫无理数。 (2)在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线。
【知识点】
无理数的定义；平行线的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对核心数学概念的准确掌握，作答时要注意关键限定条件不能遗漏，否则会出现概念错误。
【难度系数】
0.9
本题考查基础数学概念的识记，解题时需回忆对应概念的核心要点：(1)无理数是与有理数相对的实数类型，有理数的小数形式为有限小数或无限循环小数，因此无理数的核心特征是无限且不循环的小数；(2)平行线的定义需注意前提限制，空间中存在不相交也不平行的异面直线，所以必须加上“同一平面内”的限定，核心是不相交的两条直线，按标准表述作答即可。
【解析】
(1)实数中的小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数三类，其中有限小数和无限循环小数都属于有理数，剩余的无限不循环小数即为无理数，因此无理数的定义为无限不循环小数。
(2)仅在同一平面内讨论两条直线的位置关系时，才有相交和平行两类，因此平行线的定义需要限定前提，即同一平面内不相交的两条直线为平行线。
【答案】
(1)无限不循环小数叫无理数。 (2)在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线。
【知识点】
无理数的定义；平行线的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对核心数学概念的准确掌握，作答时要注意关键限定条件不能遗漏，否则会出现概念错误。
【难度系数】
0.9
11. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式。
(1)对顶角相等。
(2)等角的补角相等。
(1)对顶角相等。
(2)等角的补角相等。
答案
11. (1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。
(2)如果两个角是相等角的补角,那么这两个角相等。
(2)如果两个角是相等角的补角,那么这两个角相等。
解析
【分析】
改写“如果……那么……”形式的命题，核心是先拆分原命题的题设（已知条件）和结论（由条件推出的结果），“如果”后接题设，“那么”后接结论，改写时需补充原命题省略的表述，保证语句通顺、逻辑严谨，不改变原命题本意。
针对(1)“对顶角相等”：原命题省略了主语“两个角”，题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”，套入格式即可。
针对(2)“等角的补角相等”：原命题的题设为“两个角是相等角的补角”，结论为“这两个角相等”，需明确题设的指代对象，避免表述模糊。
【解析】
(1) 拆分原命题：题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，因此改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
(2) 拆分原命题：题设是“两个角是相等角的补角”，结论是“这两个角相等”，因此改写为：如果两个角是相等角的补角，那么这两个角相等。
【答案】
(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。
(2)如果两个角是相等角的补角,那么这两个角相等。
【知识点】
命题的组成；命题改写
【点评】
本题是基础题型，考查命题改写的基本方法，解题关键是准确区分命题的题设和结论，改写时要注意语句通顺、逻辑清晰，不能改变原命题的含义。
【难度系数】
0.85
改写“如果……那么……”形式的命题，核心是先拆分原命题的题设（已知条件）和结论（由条件推出的结果），“如果”后接题设，“那么”后接结论，改写时需补充原命题省略的表述，保证语句通顺、逻辑严谨，不改变原命题本意。
针对(1)“对顶角相等”：原命题省略了主语“两个角”，题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”，套入格式即可。
针对(2)“等角的补角相等”：原命题的题设为“两个角是相等角的补角”，结论为“这两个角相等”，需明确题设的指代对象，避免表述模糊。
【解析】
(1) 拆分原命题：题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，因此改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
(2) 拆分原命题：题设是“两个角是相等角的补角”，结论是“这两个角相等”，因此改写为：如果两个角是相等角的补角，那么这两个角相等。
【答案】
(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。
(2)如果两个角是相等角的补角,那么这两个角相等。
【知识点】
命题的组成；命题改写
【点评】
本题是基础题型，考查命题改写的基本方法，解题关键是准确区分命题的题设和结论，改写时要注意语句通顺、逻辑清晰，不能改变原命题的含义。
【难度系数】
0.85
12. 如图,小明将△ABC沿DE所在直线剪去一个角后,得到四边形BCED,△ABC和四边形BCED的周长分别为m和n。
(1)则m
(2)写出在比较m和n大小的过程中所依据的命题。
(1)则m
＞
n。(填“＞”“＜”或“=”)(2)写出在比较m和n大小的过程中所依据的命题。
答案
12. (1)＞ (2)两点之间,线段最短(或三角形的任意两边之和大于第三边)
解析
【分析】
要比较△ABC的周长m和四边形BCED的周长n的大小，先分别写出两者的周长表达式，消去公共边BC后，将问题转化为比较AB+AC与BD+CE+DE的大小。再把AB拆为AD+BD、AC拆为AE+CE，进一步简化为比较AD+AE与DE的大小，结合三角形三边关系或线段的基本性质即可得出结论，第二问直接写出推导过程用到的命题即可。
【解析】
(1) 首先写出两个图形的周长：
△ABC的周长$ m = AB + AC + BC $，
四边形BCED的周长$ n = BD + CE + BC + DE $。
由线段的和可知：$ AB = AD + BD $，$ AC = AE + CE $，代入m的表达式得：
$ m = (AD + BD) + (AE + CE) + BC = AD + AE + BD + CE + BC $。
将两个周长相减：
$ m - n = (AD + AE + BD + CE + BC) - (BD + CE + BC + DE) = AD + AE - DE $。
在△ADE中，根据三角形任意两边之和大于第三边，可得$ AD + AE ＞ DE $，因此$ AD + AE - DE ＞ 0 $，即$ m - n ＞ 0 $，所以$ m ＞ n $。
(2) 推导过程中依据的是“两点之间，线段最短”，该性质和“三角形任意两边之和大于第三边”本质一致。
【答案】
(1) ＞
(2) 两点之间，线段最短(或三角形的任意两边之和大于第三边)
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 线段的基本性质
3. 周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题核心是通过周长作差将复杂的大小比较转化为三角形三边的大小判断，结合基础几何性质即可快速求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.8
要比较△ABC的周长m和四边形BCED的周长n的大小，先分别写出两者的周长表达式，消去公共边BC后，将问题转化为比较AB+AC与BD+CE+DE的大小。再把AB拆为AD+BD、AC拆为AE+CE，进一步简化为比较AD+AE与DE的大小，结合三角形三边关系或线段的基本性质即可得出结论，第二问直接写出推导过程用到的命题即可。
【解析】
(1) 首先写出两个图形的周长：
△ABC的周长$ m = AB + AC + BC $，
四边形BCED的周长$ n = BD + CE + BC + DE $。
由线段的和可知：$ AB = AD + BD $，$ AC = AE + CE $，代入m的表达式得：
$ m = (AD + BD) + (AE + CE) + BC = AD + AE + BD + CE + BC $。
将两个周长相减：
$ m - n = (AD + AE + BD + CE + BC) - (BD + CE + BC + DE) = AD + AE - DE $。
在△ADE中，根据三角形任意两边之和大于第三边，可得$ AD + AE ＞ DE $，因此$ AD + AE - DE ＞ 0 $，即$ m - n ＞ 0 $，所以$ m ＞ n $。
(2) 推导过程中依据的是“两点之间，线段最短”，该性质和“三角形任意两边之和大于第三边”本质一致。
【答案】
(1) ＞
(2) 两点之间，线段最短(或三角形的任意两边之和大于第三边)
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 线段的基本性质
3. 周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题核心是通过周长作差将复杂的大小比较转化为三角形三边的大小判断，结合基础几何性质即可快速求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.8
13. 我们定义：三角形
= $a^b · a^c$。若$x+2y=3$，则
=
= $a^b · a^c$。若$x+2y=3$，则 = 27
。答案
13. 27
解析
【分析】
首先需正确理解题目给出的新定义运算规则：由三个参数a、b、c组成的三角形运算，结果为$a^b$与$a^c$的乘积。结合已学的同底数幂乘法法则，可先将该新运算化简为$a^{b+c}$的形式。再确定待求的[插图2]对应的参数：底数为3，两个指数分别为x和2y，将其转化为熟悉的幂运算形式后，代入已知条件$x+2y=3$即可计算出结果。
【解析】
根据新定义的运算规则，结合同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）可得：
三角形运算 = $a^b · a^c = a^{b+c}$
观察待求的[插图2]，对应新运算中底数$a=3$，两个指数分别为$x$和$2y$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{[插图2]}&=3^x · 3^{2y}\\&=3^{x+2y}\end{aligned}$
已知$x+2y=3$，将其代入上式得：
原式$=3^3=27$
【答案】
27
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查整式运算的应用，解题核心是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已掌握的同底数幂乘法运算，再代入已知条件计算即可，主要考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先需正确理解题目给出的新定义运算规则：由三个参数a、b、c组成的三角形运算，结果为$a^b$与$a^c$的乘积。结合已学的同底数幂乘法法则，可先将该新运算化简为$a^{b+c}$的形式。再确定待求的[插图2]对应的参数：底数为3，两个指数分别为x和2y，将其转化为熟悉的幂运算形式后，代入已知条件$x+2y=3$即可计算出结果。
【解析】
根据新定义的运算规则，结合同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）可得：
三角形运算 = $a^b · a^c = a^{b+c}$
观察待求的[插图2]，对应新运算中底数$a=3$，两个指数分别为$x$和$2y$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{[插图2]}&=3^x · 3^{2y}\\&=3^{x+2y}\end{aligned}$
已知$x+2y=3$，将其代入上式得：
原式$=3^3=27$
【答案】
27
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查整式运算的应用，解题核心是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已掌握的同底数幂乘法运算，再代入已知条件计算即可，主要考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
14. 观察下面给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义。
$x^3 + x^2 - 3x + 4 = 0, x^3 + x - 1 = 0,$
$x^3 - 2x^2 + 3 = x, y^3 + 2y^2 - 5y - 1 = 0$
$x^3 + x^2 - 3x + 4 = 0, x^3 + x - 1 = 0,$
$x^3 - 2x^2 + 3 = x, y^3 + 2y^2 - 5y - 1 = 0$
答案
14. 共同特征:都是整式方程,均含有一个未知数,未知数的最高次数均为3次;名称:一元三次方程;定义:含有一个未知数,未知数的最高次数为3的整式方程叫作一元三次方程。
解析
【分析】
解题时可类比已学的一元一次方程、一元二次方程的判断逻辑思考：首先判断给出的方程是否为整式方程，再统计每个方程含有的未知数个数，接着确定未知数的最高次数，梳理出三个核心共同特征后，按照一元n次方程的常规命名规则给出名称，最后将共同特征整合规范表述，即可得到该类方程的定义。
【解析】
1. 梳理共同特征：
① 观察所有方程的左右两边，均为整式，因此都属于整式方程；
② 每个方程中仅含有1个未知数（分别为x或y）；
③ 每个方程里未知数的最高次数均为3次。
2. 确定名称：类比一元一次方程、一元二次方程的命名方式，这类方程命名为一元三次方程。
3. 归纳定义：将三个共同特征整合规范表述，即为一元三次方程的定义。
【答案】
共同特征:都是整式方程,均含有一个未知数,未知数的最高次数均为3次;名称:一元三次方程;定义:含有一个未知数,未知数的最高次数为3的整式方程叫作一元三次方程。
【知识点】
整式方程识别、方程分类、定义归纳
【点评】
本题属于基础探究题，核心考查类比归纳能力，需要结合已学的方程分类知识梳理新方程类型的特征，只要掌握方程分类的三个核心判断要素（是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数）就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时可类比已学的一元一次方程、一元二次方程的判断逻辑思考：首先判断给出的方程是否为整式方程，再统计每个方程含有的未知数个数，接着确定未知数的最高次数，梳理出三个核心共同特征后，按照一元n次方程的常规命名规则给出名称，最后将共同特征整合规范表述，即可得到该类方程的定义。
【解析】
1. 梳理共同特征：
① 观察所有方程的左右两边，均为整式，因此都属于整式方程；
② 每个方程中仅含有1个未知数（分别为x或y）；
③ 每个方程里未知数的最高次数均为3次。
2. 确定名称：类比一元一次方程、一元二次方程的命名方式，这类方程命名为一元三次方程。
3. 归纳定义：将三个共同特征整合规范表述，即为一元三次方程的定义。
【答案】
共同特征:都是整式方程,均含有一个未知数,未知数的最高次数均为3次;名称:一元三次方程;定义:含有一个未知数,未知数的最高次数为3的整式方程叫作一元三次方程。
【知识点】
整式方程识别、方程分类、定义归纳
【点评】
本题属于基础探究题，核心考查类比归纳能力，需要结合已学的方程分类知识梳理新方程类型的特征，只要掌握方程分类的三个核心判断要素（是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数）就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
15. 在数学运算中,除了加、减、乘、除等运算外,还可以定义新的运算。如定义一种“星”运算,“*”是它的运算符号,其运算法则是 $a * b=(a + b)(a - b)$。
于是:
$5 * 3=(5 + 3)×(5 - 3)=16$,
$3 * 5=(3 + 5)×(3 - 5)=-16$,
$5 * 3 * 3=16 * 3=247$。
按以上定义填空:
$2 * 3=$
$2 * 3 * 5=$
请你参照以上方法,也定义一种新的运算,并举几个运算的例子。
于是:
$5 * 3=(5 + 3)×(5 - 3)=16$,
$3 * 5=(3 + 5)×(3 - 5)=-16$,
$5 * 3 * 3=16 * 3=247$。
按以上定义填空:
$2 * 3=$
-5
,$2 * 3 * 5=$
0
。请你参照以上方法,也定义一种新的运算,并举几个运算的例子。
答案
15. -5 0 举例略
解析
【分析】
解决本题的核心是严格遵循题目给出的“星”运算规则，不能默认使用常规运算的交换律、结合律。①计算$2*3$时，直接将$a=2$、$b=3$代入运算法则$a*b=(a+b)(a-b)$计算即可；②计算连运算$2*3*5$时，需按照从左到右的顺序，先算出$2*3$的结果，再将该结果作为新的$a$值，5作为$b$值，再次代入运算法则计算；③自定义新运算时，只需明确写出运算符号和对应的运算规则，再代入数值举2-3个例子即可。
【解析】
1. 计算$2*3$：
根据运算法则$a*b=(a+b)(a-b)$，将$a=2$，$b=3$代入得：
$2*3=(2+3)×(2-3)=5×(-1)=-5$
2. 计算$2*3*5$：
按照从左到右的运算顺序，先算$2*3=-5$，再计算$-5*5$，将$a=-5$，$b=5$代入法则得：
$-5*5=(-5+5)×(-5-5)=0×(-10)=0$
3. 自定义新运算示例（答案不唯一）：
可定义“&”运算，运算法则为$a\&b=2a+3b$，举例：$1\&2=2×1+3×2=8$，$3\&1=2×3+3×1=9$。
【答案】
$-5$；$0$；举例略
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题时需注意严格按照给定规则计算，连运算时要遵循从左到右的顺序，不可随意套用常规运算律，自定义运算只要规则清晰合理即可。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是严格遵循题目给出的“星”运算规则，不能默认使用常规运算的交换律、结合律。①计算$2*3$时，直接将$a=2$、$b=3$代入运算法则$a*b=(a+b)(a-b)$计算即可；②计算连运算$2*3*5$时，需按照从左到右的顺序，先算出$2*3$的结果，再将该结果作为新的$a$值，5作为$b$值，再次代入运算法则计算；③自定义新运算时，只需明确写出运算符号和对应的运算规则，再代入数值举2-3个例子即可。
【解析】
1. 计算$2*3$：
根据运算法则$a*b=(a+b)(a-b)$，将$a=2$，$b=3$代入得：
$2*3=(2+3)×(2-3)=5×(-1)=-5$
2. 计算$2*3*5$：
按照从左到右的运算顺序，先算$2*3=-5$，再计算$-5*5$，将$a=-5$，$b=5$代入法则得：
$-5*5=(-5+5)×(-5-5)=0×(-10)=0$
3. 自定义新运算示例（答案不唯一）：
可定义“&”运算，运算法则为$a\&b=2a+3b$，举例：$1\&2=2×1+3×2=8$，$3\&1=2×3+3×1=9$。
【答案】
$-5$；$0$；举例略
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题时需注意严格按照给定规则计算，连运算时要遵循从左到右的顺序，不可随意套用常规运算律，自定义运算只要规则清晰合理即可。
【难度系数】
0.85
16.【数学了解】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如 $12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，$28=8^2 - 6^2$，因此12，20，28都是“神秘数”。
【深入探究】76是“神秘数”吗？为什么？
【深入探究】76是“神秘数”吗？为什么？
答案
16. 76是神秘数,因为76=20²−18²
解析
【分析】
要判断76是不是“神秘数”，首先明确“神秘数”的定义：能表示为两个连续偶数的平方差的正整数。解题时我们可以先设两个连续偶数中较小的为2k（k为正整数），则较大的连续偶数为2k+2，再根据平方差公式计算两者的平方差，令其等于76，若解出的k是正整数，说明存在这样的两个连续偶数，76就是神秘数，反之则不是。
【解析】
解：设两个连续偶数分别为$2k$、$2k+2$（$k$为正整数），若76是神秘数，则满足：
$(2k+2)^2 - (2k)^2 = 76$
利用平方差公式展开左边得：
$(2k+2-2k)(2k+2+2k) = 76$
化简得：
$2×(4k+2) = 76$
$8k + 4 = 76$
移项计算得：
$8k = 72 \implies k=9$
$k=9$是正整数，符合要求，对应的两个连续偶数为$2×9=18$，$2×9+2=20$，即$76=20^2 - 18^2$。
【答案】
76是神秘数,因为76=20²−18²
【知识点】
1. 平方差公式
2. 新定义问题
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查对新定义的理解和整式公式的应用，解题核心是紧扣新定义列出方程，判断解的合理性即可，属于新定义类基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断76是不是“神秘数”，首先明确“神秘数”的定义：能表示为两个连续偶数的平方差的正整数。解题时我们可以先设两个连续偶数中较小的为2k（k为正整数），则较大的连续偶数为2k+2，再根据平方差公式计算两者的平方差，令其等于76，若解出的k是正整数，说明存在这样的两个连续偶数，76就是神秘数，反之则不是。
【解析】
解：设两个连续偶数分别为$2k$、$2k+2$（$k$为正整数），若76是神秘数，则满足：
$(2k+2)^2 - (2k)^2 = 76$
利用平方差公式展开左边得：
$(2k+2-2k)(2k+2+2k) = 76$
化简得：
$2×(4k+2) = 76$
$8k + 4 = 76$
移项计算得：
$8k = 72 \implies k=9$
$k=9$是正整数，符合要求，对应的两个连续偶数为$2×9=18$，$2×9+2=20$，即$76=20^2 - 18^2$。
【答案】
76是神秘数,因为76=20²−18²
【知识点】
1. 平方差公式
2. 新定义问题
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查对新定义的理解和整式公式的应用，解题核心是紧扣新定义列出方程，判断解的合理性即可，属于新定义类基础题型。
【难度系数】
0.8
