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8. 不等式$\frac{x-9}{2}+1＜\frac{3x-2}{2}$的负整数解的和是
$-3$
。答案
8. $-3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要按照一元一次不等式的求解步骤求出不等式的解集，再从解集中找出所有的负整数，最后将这些负整数相加即可得到结果。求解不等式时要注意：当不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解不等式$\frac{x-9}{2}+1＜\frac{3x-2}{2}$：
1. 去分母：不等式两边同时乘2（正数，不等号方向不变），得$x-9 + 2 ＜ 3x - 2$；
2. 化简左边：$x - 7 ＜ 3x - 2$；
3. 移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，注意移项变号，得$x - 3x ＜ -2 + 7$；
4. 合并同类项：$-2x ＜ 5$；
5. 系数化为1：两边同时除以$-2$（负数，不等号方向改变），得$x ＞ -\frac{5}{2}$，即$x ＞ -2.5$。
接下来找出该解集内的负整数解：大于$-2.5$的负整数为$-2$、$-1$。
计算负整数解的和：$(-2) + (-1) = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解及整数解的判断，解题时需注意系数化为1时若除以负数要改变不等号方向，避免因不等号方向错误导致解集出错，同时查找负整数解时要注意不要遗漏或多算。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要按照一元一次不等式的求解步骤求出不等式的解集，再从解集中找出所有的负整数，最后将这些负整数相加即可得到结果。求解不等式时要注意：当不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解不等式$\frac{x-9}{2}+1＜\frac{3x-2}{2}$：
1. 去分母：不等式两边同时乘2（正数，不等号方向不变），得$x-9 + 2 ＜ 3x - 2$；
2. 化简左边：$x - 7 ＜ 3x - 2$；
3. 移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，注意移项变号，得$x - 3x ＜ -2 + 7$；
4. 合并同类项：$-2x ＜ 5$；
5. 系数化为1：两边同时除以$-2$（负数，不等号方向改变），得$x ＞ -\frac{5}{2}$，即$x ＞ -2.5$。
接下来找出该解集内的负整数解：大于$-2.5$的负整数为$-2$、$-1$。
计算负整数解的和：$(-2) + (-1) = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解及整数解的判断，解题时需注意系数化为1时若除以负数要改变不等号方向，避免因不等号方向错误导致解集出错，同时查找负整数解时要注意不要遗漏或多算。
【难度系数】
0.8
9.已知$3(5x+2)+5＜4x-6(x+1)$，
化简：$|3x+1|=$
化简：$|3x+1|=$
$-3x-1$
。答案
9. $-3x-1$
解析
【分析】
要化简含绝对值的代数式，首先需要判断绝对值内表达式的正负性，因此第一步需要先求解给出的一元一次不等式，得到x的取值范围，再代入判断3x+1的符号，最后根据绝对值的性质化简即可。
【解析】
1. 先解一元一次不等式$3(5x+2)+5＜4x-6(x+1)$：
去括号：$15x + 6 + 5 ＜ 4x - 6x - 6$
合并同类项：$15x + 11 ＜ -2x - 6$
移项：$15x + 2x ＜ -6 - 11$
合并同类项：$17x ＜ -17$
系数化为1：$x ＜ -1$
2. 判断$3x+1$的符号：
由$x ＜ -1$可得$3x ＜ -3$，因此$3x + 1 ＜ -3 + 1 = -2 ＜ 0$
3. 根据绝对值的性质化简：负数的绝对值是它的相反数，因此$|3x+1| = -(3x+1) = -3x -1$
【答案】
$-3x-1$
【知识点】
一元一次不等式的解法；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元一次不等式求解和绝对值化简结合考查，解题关键是先通过解不等式确定绝对值内代数式的符号，再依据绝对值性质化简，解题时需注意解不等式移项的符号变化，以及负数去绝对值时要添加负号。
【难度系数】
0.7
要化简含绝对值的代数式，首先需要判断绝对值内表达式的正负性，因此第一步需要先求解给出的一元一次不等式，得到x的取值范围，再代入判断3x+1的符号，最后根据绝对值的性质化简即可。
【解析】
1. 先解一元一次不等式$3(5x+2)+5＜4x-6(x+1)$：
去括号：$15x + 6 + 5 ＜ 4x - 6x - 6$
合并同类项：$15x + 11 ＜ -2x - 6$
移项：$15x + 2x ＜ -6 - 11$
合并同类项：$17x ＜ -17$
系数化为1：$x ＜ -1$
2. 判断$3x+1$的符号：
由$x ＜ -1$可得$3x ＜ -3$，因此$3x + 1 ＜ -3 + 1 = -2 ＜ 0$
3. 根据绝对值的性质化简：负数的绝对值是它的相反数，因此$|3x+1| = -(3x+1) = -3x -1$
【答案】
$-3x-1$
【知识点】
一元一次不等式的解法；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元一次不等式求解和绝对值化简结合考查，解题关键是先通过解不等式确定绝对值内代数式的符号，再依据绝对值性质化简，解题时需注意解不等式移项的符号变化，以及负数去绝对值时要添加负号。
【难度系数】
0.7
10. 若不等式$3(x-\dfrac{2}{3})-3m≤ -2$的正整数解为1,2,3，则m的取值范围为
$3≤m＜4$
。答案
10. $3≤m＜4$
解析
【分析】
本题属于已知一元一次不等式的正整数解求参数范围的题型，解题思路如下：第一步先求解关于x的一元一次不等式，将x的解集用含m的代数式表示；第二步结合正整数解只有1、2、3的条件，确定解集上限的取值区间：x的最大值要能包含3，但不能包含4，据此列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围。
【解析】
解不等式$3(x-\dfrac{2}{3})-3m≤ -2$：
1. 去括号，得：$3x - 2 - 3m ≤ -2$
2. 移项、合并同类项，得：$3x ≤ 3m$
3. 系数化为1，得：$x ≤ m$
∵ 不等式的正整数解为1,2,3
∴ m需要满足：$m≥3$（保证x能取到正整数3），且$m＜4$（避免x取到正整数4，导致正整数解超出范围）
综上可得m的取值范围是$3≤m＜4$
【答案】
$3≤m＜4$
【知识点】
一元一次不等式的解法，根据整数解求参数范围，不等式的性质
【点评】
本题的易错点是端点值的判断，解题时要注意结合整数解的要求验证端点是否可取，避免出现把$m＜4$误写为$m≤4$的错误。
【难度系数】
0.6
本题属于已知一元一次不等式的正整数解求参数范围的题型，解题思路如下：第一步先求解关于x的一元一次不等式，将x的解集用含m的代数式表示；第二步结合正整数解只有1、2、3的条件，确定解集上限的取值区间：x的最大值要能包含3，但不能包含4，据此列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围。
【解析】
解不等式$3(x-\dfrac{2}{3})-3m≤ -2$：
1. 去括号，得：$3x - 2 - 3m ≤ -2$
2. 移项、合并同类项，得：$3x ≤ 3m$
3. 系数化为1，得：$x ≤ m$
∵ 不等式的正整数解为1,2,3
∴ m需要满足：$m≥3$（保证x能取到正整数3），且$m＜4$（避免x取到正整数4，导致正整数解超出范围）
综上可得m的取值范围是$3≤m＜4$
【答案】
$3≤m＜4$
【知识点】
一元一次不等式的解法，根据整数解求参数范围，不等式的性质
【点评】
本题的易错点是端点值的判断，解题时要注意结合整数解的要求验证端点是否可取，避免出现把$m＜4$误写为$m≤4$的错误。
【难度系数】
0.6
11. 若不等式$\frac{2x - a}{3} ≥ 4x + 6$的解集是$x ≤ -4$，则$a$的值是（
A.34
B.22
C.$-3$
D.0
B
）A.34
B.22
C.$-3$
D.0
答案
11. B
解析
【分析】
解题思路：本题是已知一元一次不等式的解集求参数值的问题，可按两步求解：第一步，将a看作常数，按照解一元一次不等式的步骤，求出用含a的代数式表示的不等式解集；第二步，将求出的解集与题目给出的解集x≤-4对应相等，列出关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值。
【解析】
首先解不等式$\frac{2x - a}{3} ≥ 4x + 6$：
1. 去分母：不等式两边同时乘3，得$2x - a ≥ 3(4x + 6)$，即$2x - a ≥ 12x + 18$；
2. 移项：将含x的项移到左边，常数项移到右边，得$2x - 12x ≥ a + 18$；
3. 合并同类项：得$-10x ≥ a + 18$；
4. 系数化为1：两边同时除以$-10$，不等号方向改变，得$x ≤ -\frac{a + 18}{10}$。
已知不等式的解集为$x ≤ -4$，因此可得方程：
$-\frac{a + 18}{10} = -4$
解方程：
两边同时乘10，得$-(a + 18) = -40$
去括号得$-a - 18 = -40$
移项、合并同类项得$-a = -22$
系数化为1得$a = 22$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式解集的概念
3. 一元一次方程的求解
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础常考题，核心考查解一元一次不等式的掌握程度，解题时需注意系数为负数时，系数化为1要改变不等号方向，再通过解集的对应关系建立方程求解即可，整体难度不高。
【难度系数】
0.75
解题思路：本题是已知一元一次不等式的解集求参数值的问题，可按两步求解：第一步，将a看作常数，按照解一元一次不等式的步骤，求出用含a的代数式表示的不等式解集；第二步，将求出的解集与题目给出的解集x≤-4对应相等，列出关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值。
【解析】
首先解不等式$\frac{2x - a}{3} ≥ 4x + 6$：
1. 去分母：不等式两边同时乘3，得$2x - a ≥ 3(4x + 6)$，即$2x - a ≥ 12x + 18$；
2. 移项：将含x的项移到左边，常数项移到右边，得$2x - 12x ≥ a + 18$；
3. 合并同类项：得$-10x ≥ a + 18$；
4. 系数化为1：两边同时除以$-10$，不等号方向改变，得$x ≤ -\frac{a + 18}{10}$。
已知不等式的解集为$x ≤ -4$，因此可得方程：
$-\frac{a + 18}{10} = -4$
解方程：
两边同时乘10，得$-(a + 18) = -40$
去括号得$-a - 18 = -40$
移项、合并同类项得$-a = -22$
系数化为1得$a = 22$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式解集的概念
3. 一元一次方程的求解
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础常考题，核心考查解一元一次不等式的掌握程度，解题时需注意系数为负数时，系数化为1要改变不等号方向，再通过解集的对应关系建立方程求解即可，整体难度不高。
【难度系数】
0.75
12.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x+y=1+a, \\x+3y=3\end{cases}$的解满足$x+y＜2$，则$a$的取值范围为（ ）
A.$a＜4$
B.$a＞4$
C.$a＜-4$
D.$a＞-4$
A.$a＜4$
B.$a＞4$
C.$a＜-4$
D.$a＞-4$
答案
12. A
解析
【分析】
观察给定的二元一次方程组的系数特征，两个方程中x的系数之和为4、y的系数之和也为4，因此可以将两个方程左右两边直接相加，得到x+y的整体表达式，无需单独求解x、y的值，再将该表达式代入已知的不等式x+y＜2，解关于a的一元一次不等式即可得到a的取值范围。如果没有想到整体法，也可以先解出用a表示的x、y的值，再求和后代入不等式求解，两种方法都符合学段要求。
【解析】
解：记方程组为
$\begin{cases}3x+y=1+a&① \\x+3y=3&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$3x+y+x+3y=1+a+3$
整理得：$4x+4y=4+a$
两边同时除以4，得：$x+y=\frac{4+a}{4}$
∵ 方程组的解满足$x+y＜2$
∴ 代入得$\frac{4+a}{4}＜2$
解该不等式：
两边同乘4得$4+a＜8$
移项化简得$a＜4$
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，解题时运用整体思想直接求x+y的表达式可有效简化计算步骤，是这类题型的常用解题技巧，掌握该技巧能明显提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察给定的二元一次方程组的系数特征，两个方程中x的系数之和为4、y的系数之和也为4，因此可以将两个方程左右两边直接相加，得到x+y的整体表达式，无需单独求解x、y的值，再将该表达式代入已知的不等式x+y＜2，解关于a的一元一次不等式即可得到a的取值范围。如果没有想到整体法，也可以先解出用a表示的x、y的值，再求和后代入不等式求解，两种方法都符合学段要求。
【解析】
解：记方程组为
$\begin{cases}3x+y=1+a&① \\x+3y=3&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$3x+y+x+3y=1+a+3$
整理得：$4x+4y=4+a$
两边同时除以4，得：$x+y=\frac{4+a}{4}$
∵ 方程组的解满足$x+y＜2$
∴ 代入得$\frac{4+a}{4}＜2$
解该不等式：
两边同乘4得$4+a＜8$
移项化简得$a＜4$
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，解题时运用整体思想直接求x+y的表达式可有效简化计算步骤，是这类题型的常用解题技巧，掌握该技巧能明显提升解题效率。
【难度系数】
0.8
13. 解不等式：$\dfrac{2 - 0.3x}{0.4} ≤ \dfrac{0.2x}{0.3} - 1$。
答案
13. $x≥\frac{72}{17}$
解析
【分析】
观察到不等式两边的分母均为小数，首先可利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，简化计算；再按照解一元一次不等式的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解，计算过程中需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，系数化为1时若系数为负数要改变不等号方向。
【解析】
解：首先利用分数的基本性质，将不等式两边的分母化为整数，得：
$\dfrac{20 - 3x}{4} ≤ \dfrac{2x}{3} - 1$
去分母，两边同时乘分母的最小公倍数12，得：
$3(20 - 3x) ≤ 4×2x - 12$
去括号，得：
$60 - 9x ≤ 8x - 12$
移项，得：
$-9x - 8x ≤ -12 - 60$
合并同类项，得：
$-17x ≤ -72$
系数化为1，两边同时除以-17，不等号方向改变，得：
$x ≥ \dfrac{72}{17}$
【答案】
$x≥\frac{72}{17}$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 一元一次不等式的解法
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础计算题型，解题的核心是先把小数分母转化为整数，再严格按照解不等式的步骤计算，需特别注意去分母时不要漏乘常数项，系数为负数时不等号方向要改变，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
观察到不等式两边的分母均为小数，首先可利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，简化计算；再按照解一元一次不等式的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解，计算过程中需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，系数化为1时若系数为负数要改变不等号方向。
【解析】
解：首先利用分数的基本性质，将不等式两边的分母化为整数，得：
$\dfrac{20 - 3x}{4} ≤ \dfrac{2x}{3} - 1$
去分母，两边同时乘分母的最小公倍数12，得：
$3(20 - 3x) ≤ 4×2x - 12$
去括号，得：
$60 - 9x ≤ 8x - 12$
移项，得：
$-9x - 8x ≤ -12 - 60$
合并同类项，得：
$-17x ≤ -72$
系数化为1，两边同时除以-17，不等号方向改变，得：
$x ≥ \dfrac{72}{17}$
【答案】
$x≥\frac{72}{17}$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 一元一次不等式的解法
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础计算题型，解题的核心是先把小数分母转化为整数，再严格按照解不等式的步骤计算，需特别注意去分母时不要漏乘常数项，系数为负数时不等号方向要改变，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
14. (1)解不等式：$\frac{3x + 14}{4} ＞ 2x - 9$。
(2)若(1)中的不等式的最大整数解是方程$2x = ax + 18$的解，求$a$的值。
(2)若(1)中的不等式的最大整数解是方程$2x = ax + 18$的解，求$a$的值。
答案
14. (1)$x＜10$ (2)$a=0$
解析
【分析】
第(1)问是求解一元一次不等式，按照解一元一次不等式的常规步骤思考：先去分母去掉分数形式，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，注意系数为负时不等号方向要改变。第(2)问先从(1)的解集中找出最大整数解，再将该整数解代入方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{3x + 14}{4} ＞ 2x - 9$：
① 去分母，两边同时乘4，不等号方向不变：$3x + 14 ＞ 4(2x - 9)$
② 去括号：$3x + 14 ＞ 8x - 36$
③ 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，移项变号：$3x - 8x ＞ -36 - 14$
④ 合并同类项：$-5x ＞ -50$
⑤ 系数化为1，两边同时除以-5，不等号方向改变：$x ＜ 10$
(2) 求a的值：
由(1)可知不等式的解集为$x ＜ 10$，因此不等式的最大整数解为$x=9$。
将$x=9$代入方程$2x = ax + 18$，得：
$2×9 = 9a + 18$
计算化简得：$18 = 9a + 18$
移项得：$9a = 18 - 18$
即$9a = 0$，解得$a=0$
【答案】
(1)$x＜10$ (2)$a=0$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的整数解，一元一次方程求解
【点评】
本题是常规基础题型，重点考察一元一次不等式、一元一次方程的基本运算能力，解题核心是准确求解不等式的解集，正确提取对应整数解后代入方程计算即可。
【难度系数】
0.8
第(1)问是求解一元一次不等式，按照解一元一次不等式的常规步骤思考：先去分母去掉分数形式，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，注意系数为负时不等号方向要改变。第(2)问先从(1)的解集中找出最大整数解，再将该整数解代入方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{3x + 14}{4} ＞ 2x - 9$：
① 去分母，两边同时乘4，不等号方向不变：$3x + 14 ＞ 4(2x - 9)$
② 去括号：$3x + 14 ＞ 8x - 36$
③ 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，移项变号：$3x - 8x ＞ -36 - 14$
④ 合并同类项：$-5x ＞ -50$
⑤ 系数化为1，两边同时除以-5，不等号方向改变：$x ＜ 10$
(2) 求a的值：
由(1)可知不等式的解集为$x ＜ 10$，因此不等式的最大整数解为$x=9$。
将$x=9$代入方程$2x = ax + 18$，得：
$2×9 = 9a + 18$
计算化简得：$18 = 9a + 18$
移项得：$9a = 18 - 18$
即$9a = 0$，解得$a=0$
【答案】
(1)$x＜10$ (2)$a=0$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的整数解，一元一次方程求解
【点评】
本题是常规基础题型，重点考察一元一次不等式、一元一次方程的基本运算能力，解题核心是准确求解不等式的解集，正确提取对应整数解后代入方程计算即可。
【难度系数】
0.8
15.已知关于$x$的方程$\frac{x+m}{3} - \frac{2x-1}{2} = m$的解为非正数，求$m$的取值范围。
答案
15. $m≥\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题时先把参数$m$当作已知数，求解关于$x$的一元一次方程，得到用含$m$的代数式表示的$x$；再根据“方程的解为非正数”即$x≤0$的条件，列出关于$m$的一元一次不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。过程中要注意去分母不要漏乘项，解不等式时若两边除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：先求解方程$\frac{x+m}{3} - \frac{2x-1}{2} = m$：
1. 去分母，两边同时乘以6得：
$2(x+m) - 3(2x-1) = 6m$
2. 去括号得：
$2x + 2m - 6x + 3 = 6m$
3. 移项、合并同类项得：
$-4x = 4m - 3$
4. 系数化为1得：
$x = \frac{3 - 4m}{4}$
∵ 方程的解为非正数，即$x ≤ 0$
∴ $\frac{3 - 4m}{4} ≤ 0$
解该不等式：
两边同乘4得：$3 - 4m ≤ 0$
移项得：$-4m ≤ -3$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$m ≥ \frac{3}{4}$
【答案】
$m≥\frac{3}{4}$
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式解法，不等式的性质
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，核心解题思路是先将参数视为已知数求方程的解，再结合解的限制条件列不等式求解，易错点为去分母漏乘常数项、不等式两边除以负数时忘改不等号方向。
【难度系数】
0.7
解题时先把参数$m$当作已知数，求解关于$x$的一元一次方程，得到用含$m$的代数式表示的$x$；再根据“方程的解为非正数”即$x≤0$的条件，列出关于$m$的一元一次不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。过程中要注意去分母不要漏乘项，解不等式时若两边除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：先求解方程$\frac{x+m}{3} - \frac{2x-1}{2} = m$：
1. 去分母，两边同时乘以6得：
$2(x+m) - 3(2x-1) = 6m$
2. 去括号得：
$2x + 2m - 6x + 3 = 6m$
3. 移项、合并同类项得：
$-4x = 4m - 3$
4. 系数化为1得：
$x = \frac{3 - 4m}{4}$
∵ 方程的解为非正数，即$x ≤ 0$
∴ $\frac{3 - 4m}{4} ≤ 0$
解该不等式：
两边同乘4得：$3 - 4m ≤ 0$
移项得：$-4m ≤ -3$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$m ≥ \frac{3}{4}$
【答案】
$m≥\frac{3}{4}$
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式解法，不等式的性质
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，核心解题思路是先将参数视为已知数求方程的解，再结合解的限制条件列不等式求解，易错点为去分母漏乘常数项、不等式两边除以负数时忘改不等号方向。
【难度系数】
0.7
