登录
8. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BD=CD,则∠BAD=∠CAD。请完成下面的说理过程。
解:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=
当把图形沿AD对折时,射线DB与DC
∵BD=CD(
∴点B与点
∴△ADC与△ADB
∴△ADC
∴∠BAD=∠CAD(
解:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=
∠ADC
=90°(垂线的意义)。当把图形沿AD对折时,射线DB与DC
重合
。∵BD=CD(
已知
),∴点B与点
C
重合,∴△ADC与△ADB
重合
,∴△ADC
≌
△ADB(全等三角形的定义),∴∠BAD=∠CAD(
全等三角形的对应角相等
)。答案
8. $∠ADC$ 重合 已知 C 重合 $≌$ 全等三角形的对应角相等
解析
【分析】
本题可结合垂线的定义、轴对称折叠的性质以及全等三角形的相关知识逐步推导：首先根据AD⊥BC的条件确定两个直角相等；再结合折叠的特征，由BD=CD的已知条件判断对折后对应边、对应点的重合关系，进而得到△ADB和△ADC全等；最后根据全等三角形的性质推出对应角相等的结论。
【解析】
1. 由AD⊥BC，根据垂线的意义，可得∠ADB和∠ADC均为直角，因此第一空填$\boldsymbol{∠ADC}$；
2. 沿AD对折图形时，∠ADB和∠ADC均为90°，因此射线DB与DC$\boldsymbol{重合}$；
3. BD=CD是题目直接给出的条件，因此此处标注$\boldsymbol{已知}$；
4. 由于BD和CD长度相等，对折后线段端点重合，因此点B与点$\boldsymbol{C}$重合；
5. 点B与C重合，点A、D为公共点，因此△ADC与△ADB$\boldsymbol{重合}$；
6. 根据全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形全等，因此填$\boldsymbol{≌}$；
7. 两个三角形全等时对应角相等，因此∠BAD=∠CAD的依据是$\boldsymbol{全等三角形的对应角相等}$。
【答案】
$∠ADC$；重合；已知；C；重合；$≌$；全等三角形的对应角相等
【知识点】
垂线的定义；全等三角形的定义；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，结合折叠的直观特征，帮助学生理解全等三角形的判定依据和性质应用，对基础概念的巩固有较好的作用。
【难度系数】
0.9
本题可结合垂线的定义、轴对称折叠的性质以及全等三角形的相关知识逐步推导：首先根据AD⊥BC的条件确定两个直角相等；再结合折叠的特征，由BD=CD的已知条件判断对折后对应边、对应点的重合关系，进而得到△ADB和△ADC全等；最后根据全等三角形的性质推出对应角相等的结论。
【解析】
1. 由AD⊥BC，根据垂线的意义，可得∠ADB和∠ADC均为直角，因此第一空填$\boldsymbol{∠ADC}$；
2. 沿AD对折图形时，∠ADB和∠ADC均为90°，因此射线DB与DC$\boldsymbol{重合}$；
3. BD=CD是题目直接给出的条件，因此此处标注$\boldsymbol{已知}$；
4. 由于BD和CD长度相等，对折后线段端点重合，因此点B与点$\boldsymbol{C}$重合；
5. 点B与C重合，点A、D为公共点，因此△ADC与△ADB$\boldsymbol{重合}$；
6. 根据全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形全等，因此填$\boldsymbol{≌}$；
7. 两个三角形全等时对应角相等，因此∠BAD=∠CAD的依据是$\boldsymbol{全等三角形的对应角相等}$。
【答案】
$∠ADC$；重合；已知；C；重合；$≌$；全等三角形的对应角相等
【知识点】
垂线的定义；全等三角形的定义；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，结合折叠的直观特征，帮助学生理解全等三角形的判定依据和性质应用，对基础概念的巩固有较好的作用。
【难度系数】
0.9
9.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1与∠2的和为
90°
。答案
9. $90°$
解析
【分析】
解题时我们可以先利用方格中边长相等的特点，寻找包含∠1和与∠2相关的直角三角形，通过全等三角形的判定证明两个三角形全等，得到角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质，就能推导出∠1与∠2的和。第一步先设小正方形边长为1，验证两个直角三角形的直角边对应相等，用SAS判定全等；第二步利用全等对应角相等进行角的代换，结合直角锐角互余计算角度和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察可得：∠1所在的直角三角形，与另一个包含∠2邻角的直角三角形，两条直角边长度均分别为1和2，且两边的夹角都是90°。
根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），可判定这两个直角三角形全等。
由全等三角形的对应角相等，可得∠1与第二个三角形中和边长为1的直角边相对的锐角相等，记该锐角为∠3，即∠1=∠3。
又
∵在包含∠2和∠3的直角三角形中，∠3+∠2=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是方格中角度计算的典型题型，解题的核心是结合方格特征找到全等的三角形，通过角的等量代换将未知角的和转化为可直接计算的角度组合，需要同学们熟练掌握全等三角形的判定定理和直角三角形的角的性质。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先利用方格中边长相等的特点，寻找包含∠1和与∠2相关的直角三角形，通过全等三角形的判定证明两个三角形全等，得到角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质，就能推导出∠1与∠2的和。第一步先设小正方形边长为1，验证两个直角三角形的直角边对应相等，用SAS判定全等；第二步利用全等对应角相等进行角的代换，结合直角锐角互余计算角度和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察可得：∠1所在的直角三角形，与另一个包含∠2邻角的直角三角形，两条直角边长度均分别为1和2，且两边的夹角都是90°。
根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），可判定这两个直角三角形全等。
由全等三角形的对应角相等，可得∠1与第二个三角形中和边长为1的直角边相对的锐角相等，记该锐角为∠3，即∠1=∠3。
又
∵在包含∠2和∠3的直角三角形中，∠3+∠2=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是方格中角度计算的典型题型，解题的核心是结合方格特征找到全等的三角形，通过角的等量代换将未知角的和转化为可直接计算的角度组合，需要同学们熟练掌握全等三角形的判定定理和直角三角形的角的性质。
【难度系数】
0.7
10.如图，已知正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为
8
cm²。答案
10. 8
解析
【分析】
拿到题目先观察图形特征：正方形是轴对称图形，图中所示的对角线是正方形的一条对称轴，对称轴两侧的对应图形全等。我们可以利用轴对称的性质，将分散的阴影部分进行转化，无需分别计算每个阴影图形的面积，直接推导阴影总面积和正方形面积的关系即可快速解题。
【解析】
已知正方形的边长为4cm，首先计算正方形的面积：
$S_{\mathrm{正方形}} = 4 × 4 = 16 \ \mathrm{cm}^2$
因为正方形是轴对称图形，图中对角线所在直线是它的一条对称轴，根据轴对称的性质，对称轴两侧对应的图形全等，因此阴影部分的面积总和等于正方形面积的一半，即：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}} = \frac{1}{2} × 16 = 8 \ \mathrm{cm}^2$
【答案】
8
【知识点】
轴对称的性质、正方形的性质、面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，解题的核心是利用轴对称的性质将零散的阴影部分转化为规则图形求解，避免了繁琐的分步计算，体现了几何计算中的转化思想，掌握该技巧可以大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
拿到题目先观察图形特征：正方形是轴对称图形，图中所示的对角线是正方形的一条对称轴，对称轴两侧的对应图形全等。我们可以利用轴对称的性质，将分散的阴影部分进行转化，无需分别计算每个阴影图形的面积，直接推导阴影总面积和正方形面积的关系即可快速解题。
【解析】
已知正方形的边长为4cm，首先计算正方形的面积：
$S_{\mathrm{正方形}} = 4 × 4 = 16 \ \mathrm{cm}^2$
因为正方形是轴对称图形，图中对角线所在直线是它的一条对称轴，根据轴对称的性质，对称轴两侧对应的图形全等，因此阴影部分的面积总和等于正方形面积的一半，即：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}} = \frac{1}{2} × 16 = 8 \ \mathrm{cm}^2$
【答案】
8
【知识点】
轴对称的性质、正方形的性质、面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，解题的核心是利用轴对称的性质将零散的阴影部分转化为规则图形求解，避免了繁琐的分步计算，体现了几何计算中的转化思想，掌握该技巧可以大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，已知$△ ABC ≌ △ DCB$，AB与DC是对应边，$∠ ABC = 55°$，$∠ ACB = 20°$，则$∠ ABE$的度数为
35°
。答案
11. $35°$
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等。首先结合已知△ABC≌△DCB、AB与DC是对应边，结合公共边BC是两个三角形的对应边，可确定∠ACB的对应角为∠DBC，由此得到∠DBC的度数；再观察图形，∠ABE是∠ABC减去∠DBC得到的差，代入已知角度计算即可求出结果。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DCB，AB与DC是对应边
∴根据全等三角形对应角相等，可得∠DBC = ∠ACB = 20°
又
∵∠ABC = 55°
∴∠ABE = ∠ABC - ∠DBC = 55° - 20° = 35°
【答案】
35°
【知识点】
全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应角，注意公共边为对应边这一隐含条件，结合角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等。首先结合已知△ABC≌△DCB、AB与DC是对应边，结合公共边BC是两个三角形的对应边，可确定∠ACB的对应角为∠DBC，由此得到∠DBC的度数；再观察图形，∠ABE是∠ABC减去∠DBC得到的差，代入已知角度计算即可求出结果。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DCB，AB与DC是对应边
∴根据全等三角形对应角相等，可得∠DBC = ∠ACB = 20°
又
∵∠ABC = 55°
∴∠ABE = ∠ABC - ∠DBC = 55° - 20° = 35°
【答案】
35°
【知识点】
全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应角，注意公共边为对应边这一隐含条件，结合角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12.已知:如图,在$△ ABC$中,点D,E在边BC上,若$△ ABE ≌ △ ACD$。求证:$∠ BAD = ∠ CAE$。
答案
证明：
∵ $△ ABE ≌ △ ACD$，
∴ $∠ BAE = ∠ CAD$（全等三角形的对应角相等），
∴ $∠ BAE - ∠ DAE = ∠ CAD - ∠ DAE$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
∵ $△ ABE ≌ △ ACD$，
∴ $∠ BAE = ∠ CAD$（全等三角形的对应角相等），
∴ $∠ BAE - ∠ DAE = ∠ CAD - ∠ DAE$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
解析
【分析】
要证明∠BAD=∠CAE，首先结合已知条件△ABE≌△ACD，我们可以先利用全等三角形的性质得到对应角相等，即∠BAE=∠CAD。再观察角的组成：∠BAE是∠BAD与∠DAE的和，∠CAD是∠CAE与∠DAE的和，两个相等的角同时减去公共角∠DAE，剩余的角也相等，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ $△ ABE ≌ △ ACD$，
∴ $∠ BAE = ∠ CAD$（全等三角形的对应角相等），
∴ $∠ BAE - ∠ DAE = ∠ CAD - ∠ DAE$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
【答案】
证明过程如上，$∠ BAD = ∠ CAE$得证。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 角的和差运算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题，解题关键是准确找到全等三角形的对应角，再结合角的和差关系推导待证结论，熟练掌握全等三角形的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要证明∠BAD=∠CAE，首先结合已知条件△ABE≌△ACD，我们可以先利用全等三角形的性质得到对应角相等，即∠BAE=∠CAD。再观察角的组成：∠BAE是∠BAD与∠DAE的和，∠CAD是∠CAE与∠DAE的和，两个相等的角同时减去公共角∠DAE，剩余的角也相等，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ $△ ABE ≌ △ ACD$，
∴ $∠ BAE = ∠ CAD$（全等三角形的对应角相等），
∴ $∠ BAE - ∠ DAE = ∠ CAD - ∠ DAE$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
【答案】
证明过程如上，$∠ BAD = ∠ CAE$得证。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 角的和差运算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题，解题关键是准确找到全等三角形的对应角，再结合角的和差关系推导待证结论，熟练掌握全等三角形的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
13. 如图，$△ ABD ≌ △ ACE$，$∠ A = 37°$，$∠ B = 28°$，求$∠ C$，$∠ CDB$的度数。
答案
13. $∠C=28°;∠CDB=65°$
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形条件入手：①根据全等三角形的对应角相等，可直接得到∠C与已知∠B的等量关系，求出∠C的度数；②求∠CDB的度数时，可利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠CDB转化为∠A与∠B的和，代入数值计算即可，也可通过三角形内角和先求∠ADB，再利用平角定义求∠CDB，两种方法均可。
【解析】
解：
∵△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应角相等，
∴∠C=∠B，
又
∵∠B=28°，
∴∠C=28°；
∵∠CDB是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠CDB=∠A+∠B，
代入∠A=37°，∠B=28°，得：
∠CDB=37°+28°=65°。
【答案】
∠C=28°，∠CDB=65°
【知识点】
全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用全等三角形的对应角相等得到未知角和已知角的关系，再结合三角形外角的性质计算，掌握全等三角形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的全等三角形条件入手：①根据全等三角形的对应角相等，可直接得到∠C与已知∠B的等量关系，求出∠C的度数；②求∠CDB的度数时，可利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠CDB转化为∠A与∠B的和，代入数值计算即可，也可通过三角形内角和先求∠ADB，再利用平角定义求∠CDB，两种方法均可。
【解析】
解：
∵△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应角相等，
∴∠C=∠B，
又
∵∠B=28°，
∴∠C=28°；
∵∠CDB是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠CDB=∠A+∠B，
代入∠A=37°，∠B=28°，得：
∠CDB=37°+28°=65°。
【答案】
∠C=28°，∠CDB=65°
【知识点】
全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用全等三角形的对应角相等得到未知角和已知角的关系，再结合三角形外角的性质计算，掌握全等三角形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
