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14. 如图，已知$△ ACF ≌ △ DBE$，$∠ E = ∠ F$，$AD=9\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，求AB的长。
答案
14. $AB=2\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形的性质可得到对应边AC与DB相等；再观察线段的组成，AC是AB与BC的和，DB是BC与CD的和，通过等式变形可推出AB=CD；最后结合AD的总长是AB+BC+CD，把CD替换为AB，代入已知的AD和BC的长度，即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵$△ ACF ≌ △ DBE$
∴$AC = DB$（全等三角形的对应边相等）
又
∵$AC = AB + BC$，$DB = DC + BC$
∴$AB + BC = DC + BC$
等式两边同时减去BC，得：$AB = DC$
∵$AD = AB + BC + DC$，将$DC$替换为$AB$
∴$AD = 2AB + BC$
已知$AD=9\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，代入得：
$9 = 2AB + 5$
解得$2AB = 4$，即$AB = 2\ \mathrm{cm}$
【答案】
$AB=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形对应边相等的性质得到边的等量关系，再通过线段的和差变形建立方程求解，掌握全等三角形的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形的性质可得到对应边AC与DB相等；再观察线段的组成，AC是AB与BC的和，DB是BC与CD的和，通过等式变形可推出AB=CD；最后结合AD的总长是AB+BC+CD，把CD替换为AB，代入已知的AD和BC的长度，即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵$△ ACF ≌ △ DBE$
∴$AC = DB$（全等三角形的对应边相等）
又
∵$AC = AB + BC$，$DB = DC + BC$
∴$AB + BC = DC + BC$
等式两边同时减去BC，得：$AB = DC$
∵$AD = AB + BC + DC$，将$DC$替换为$AB$
∴$AD = 2AB + BC$
已知$AD=9\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，代入得：
$9 = 2AB + 5$
解得$2AB = 4$，即$AB = 2\ \mathrm{cm}$
【答案】
$AB=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形对应边相等的性质得到边的等量关系，再通过线段的和差变形建立方程求解，掌握全等三角形的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
15. 如图所示，$△ ABE$ 和 $△ ADC$ 是 $△ ABC$ 分别沿着 $AB$，$AC$ 边翻折 $180°$ 形成的，若 $∠ 1:∠ 2:∠ 3=28:5:3$，则 $∠ α$ 的度数为
80°
。答案
15. $80°$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，利用三角形内角和为180°，结合∠1:∠2:∠3的比例关系，求出∠2、∠3的具体度数；第二步，根据翻折的性质，翻折前后的三角形全等、对应角相等，推导得出∠PBC=2∠2、∠PCB=2∠3；第三步，利用三角形外角的性质，即外角等于不相邻两个内角的和，计算∠α的度数。
【解析】
首先计算∠1、∠2、∠3的总份数：$28+5+3=36$
因为三角形内角和为$180°$，所以每份对应度数为：$180°÷36=5°$
因此可得：
$∠2=5×5°=25°$，$∠3=3×5°=15°$
由翻折的性质可知$△ ABE≌△ ABC$，$△ ADC≌△ ABC$，所以：
$∠ ABE=∠2=25°$，$∠ ACD=∠3=15°$
则$∠ PBC=∠ ABE+∠2=2×25°=50°$，$∠ PCB=∠ ACD+∠3=2×15°=30°$
根据三角形外角的性质，$∠α$是$△ PBC$的外角，因此：
$∠α=∠ PBC+∠ PCB=50°+30°=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理、翻折的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将翻折变换与三角形角度计算结合考查，解题核心是抓住翻折前后对应角相等的特点，结合比例运算和角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，利用三角形内角和为180°，结合∠1:∠2:∠3的比例关系，求出∠2、∠3的具体度数；第二步，根据翻折的性质，翻折前后的三角形全等、对应角相等，推导得出∠PBC=2∠2、∠PCB=2∠3；第三步，利用三角形外角的性质，即外角等于不相邻两个内角的和，计算∠α的度数。
【解析】
首先计算∠1、∠2、∠3的总份数：$28+5+3=36$
因为三角形内角和为$180°$，所以每份对应度数为：$180°÷36=5°$
因此可得：
$∠2=5×5°=25°$，$∠3=3×5°=15°$
由翻折的性质可知$△ ABE≌△ ABC$，$△ ADC≌△ ABC$，所以：
$∠ ABE=∠2=25°$，$∠ ACD=∠3=15°$
则$∠ PBC=∠ ABE+∠2=2×25°=50°$，$∠ PCB=∠ ACD+∠3=2×15°=30°$
根据三角形外角的性质，$∠α$是$△ PBC$的外角，因此：
$∠α=∠ PBC+∠ PCB=50°+30°=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理、翻折的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将翻折变换与三角形角度计算结合考查，解题核心是抓住翻折前后对应角相等的特点，结合比例运算和角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
16.如图，CD⊥AB于点D，△ABE≌△ACD，∠C=20°，AB=10，AD=4，G为AB延长线上一点。求∠EBG的度数和CE的长。
（第16题）
（第16题）答案
16. $∠EBG=160°,CE=6$
解析
【分析】
解题时先利用全等三角形的性质获取对应角、对应边的等量关系：①求∠EBG时，先由全等得到∠ABE与已知∠C相等，再根据邻补角之和为180°即可计算∠EBG的度数；②求CE的长时，先由全等得到AC=AB、AE=AD，再通过CE=AC-AE的线段差关系计算结果。
【解析】
解：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠C=20°，AC=AB=10，AE=AD=4，
∵∠ABE与∠EBG互为邻补角，即∠ABE+∠EBG=180°，
∴∠EBG=180°-20°=160°；
又
∵CE=AC-AE，
代入AC=10，AE=4得：
CE=10-4=6。
【答案】
∠EBG=160°，CE=6
【知识点】
全等三角形的性质、邻补角的性质、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别全等三角形的对应顶点，正确匹配对应角和对应边，再结合简单的角度、线段运算即可得出结果，是对全等基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时先利用全等三角形的性质获取对应角、对应边的等量关系：①求∠EBG时，先由全等得到∠ABE与已知∠C相等，再根据邻补角之和为180°即可计算∠EBG的度数；②求CE的长时，先由全等得到AC=AB、AE=AD，再通过CE=AC-AE的线段差关系计算结果。
【解析】
解：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠C=20°，AC=AB=10，AE=AD=4，
∵∠ABE与∠EBG互为邻补角，即∠ABE+∠EBG=180°，
∴∠EBG=180°-20°=160°；
又
∵CE=AC-AE，
代入AC=10，AE=4得：
CE=10-4=6。
【答案】
∠EBG=160°，CE=6
【知识点】
全等三角形的性质、邻补角的性质、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别全等三角形的对应顶点，正确匹配对应角和对应边，再结合简单的角度、线段运算即可得出结果，是对全等基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
17.如图,把大小为$4×4$的正方形方格图分割成两个全等图形,例如
。请在下图中沿着虚线画出四种不同的方法,把$4×4$的正方形方格图分割成两个全等图形。
画法1 画法2 画法3 画法4
图2(备用图)
。请在下图中沿着虚线画出四种不同的方法,把$4×4$的正方形方格图分割成两个全等图形。画法1 画法2 画法3 画法4图2(备用图)
答案
解：
四种不同的分割方法如下（所有分割线均沿方格虚线绘制，分割得到的两个图形均由8个小方格组成，形状、大小完全相同，满足全等要求）：
画法1：沿竖直方向第2列与第3列之间的整段虚线分割，将4×4方格分为左右两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形全等。
画法2：沿水平方向第2行与第3行之间的整段虚线分割，将4×4方格分为上下两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形全等。
画法3：绘制中心对称折线：从大正方形上边中点出发，依次向下走1格、向左走1格、向下走2格、向右走1格、向下走1格，到达大正方形下边中点，折线两侧的两个图形全等。
画法4：绘制阶梯状折线：从大正方形左上角顶点右侧1单位处的上边框点出发，依次向下走2格、向右走1格、向下走1格、向右走1格、向上走2格、向右走1格、向上走1格，到达大正方形右上角左侧1单位处的上边框点，折线两侧的两个图形全等。
（注：其余符合全等要求、分割方式不重复的合法画法也均正确）
四种不同的分割方法如下（所有分割线均沿方格虚线绘制，分割得到的两个图形均由8个小方格组成，形状、大小完全相同，满足全等要求）：
画法1：沿竖直方向第2列与第3列之间的整段虚线分割，将4×4方格分为左右两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形全等。
画法2：沿水平方向第2行与第3行之间的整段虚线分割，将4×4方格分为上下两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形全等。
画法3：绘制中心对称折线：从大正方形上边中点出发，依次向下走1格、向左走1格、向下走2格、向右走1格、向下走1格，到达大正方形下边中点，折线两侧的两个图形全等。
画法4：绘制阶梯状折线：从大正方形左上角顶点右侧1单位处的上边框点出发，依次向下走2格、向右走1格、向下走1格、向右走1格、向上走2格、向右走1格、向上走1格，到达大正方形右上角左侧1单位处的上边框点，折线两侧的两个图形全等。
（注：其余符合全等要求、分割方式不重复的合法画法也均正确）
解析
【分析】
解决本题首先要明确全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等图形，它们的形状、大小完全相同。4×4的正方形方格共有16个小方格，因此分割后的两个图形各需要包含8个小方格。我们可以结合正方形的轴对称性和中心对称性设计分割线：①最简单的是沿正方形的对称轴分割，比如竖直或水平的中线；②也可以设计过正方形对称中心的折线，保证分割线关于中心对称，即可得到两个全等的图形，注意所有分割线都要沿方格的虚线绘制。
【解析】
1. 明确分割要求：分割得到的两个图形需全等，每个图形含8个小方格，分割线沿方格虚线绘制。
2. 画法1：沿竖直方向第2列和第3列之间的整段竖直虚线分割，得到左右两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形满足全等要求。
3. 画法2：沿水平方向第2行和第3行之间的整段水平虚线分割，得到上下两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形满足全等要求。
4. 画法3：绘制中心对称折线：从大正方形上边中点出发，依次向下走1格、向左走1格、向下走2格、向右走1格、向下走1格，到达大正方形下边中点，折线两侧的图形各含8个小方格，形状大小完全一致，为全等图形。
5. 画法4：绘制阶梯状折线：从大正方形左上角顶点右侧1单位处的上边框点出发，依次向下走2格、向右走1格、向下走1格、向右走1格、向上走2格、向右走1格、向上走1格，到达大正方形右上角左侧1单位处的上边框点，折线两侧的图形满足全等要求。
其余符合全等要求、分割方式不重复的画法也均正确。
【答案】
四种不同的分割方法如下：
1. 沿竖直方向第2列与第3列之间的整段虚线分割，得到左右两个全等的4×2矩形；
2. 沿水平方向第2行与第3行之间的整段虚线分割，得到上下两个全等的4×2矩形；
3. 过上下边中点作中心对称折线（路径：上边中点→向下1格→向左1格→向下2格→向右1格→向下1格→下边中点），折线两侧图形全等；
4. 作阶梯状折线（路径：上边框左数第1格右点→向下2格→向右1格→向下1格→向右1格→向上2格→向右1格→向上1格→上边框左数第3格右点），折线两侧图形全等。
（其他符合要求的分割方法均正确）
【知识点】
1. 全等图形的定义
2. 正方形的对称性
【点评】
本题是开放性操作类题目，解法不唯一，主要考查对全等图形概念的理解和动手实践能力，能够锻炼发散思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等图形，它们的形状、大小完全相同。4×4的正方形方格共有16个小方格，因此分割后的两个图形各需要包含8个小方格。我们可以结合正方形的轴对称性和中心对称性设计分割线：①最简单的是沿正方形的对称轴分割，比如竖直或水平的中线；②也可以设计过正方形对称中心的折线，保证分割线关于中心对称，即可得到两个全等的图形，注意所有分割线都要沿方格的虚线绘制。
【解析】
1. 明确分割要求：分割得到的两个图形需全等，每个图形含8个小方格，分割线沿方格虚线绘制。
2. 画法1：沿竖直方向第2列和第3列之间的整段竖直虚线分割，得到左右两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形满足全等要求。
3. 画法2：沿水平方向第2行和第3行之间的整段水平虚线分割，得到上下两个长为4、宽为2的矩形，两个矩形满足全等要求。
4. 画法3：绘制中心对称折线：从大正方形上边中点出发，依次向下走1格、向左走1格、向下走2格、向右走1格、向下走1格，到达大正方形下边中点，折线两侧的图形各含8个小方格，形状大小完全一致，为全等图形。
5. 画法4：绘制阶梯状折线：从大正方形左上角顶点右侧1单位处的上边框点出发，依次向下走2格、向右走1格、向下走1格、向右走1格、向上走2格、向右走1格、向上走1格，到达大正方形右上角左侧1单位处的上边框点，折线两侧的图形满足全等要求。
其余符合全等要求、分割方式不重复的画法也均正确。
【答案】
四种不同的分割方法如下：
1. 沿竖直方向第2列与第3列之间的整段虚线分割，得到左右两个全等的4×2矩形；
2. 沿水平方向第2行与第3行之间的整段虚线分割，得到上下两个全等的4×2矩形；
3. 过上下边中点作中心对称折线（路径：上边中点→向下1格→向左1格→向下2格→向右1格→向下1格→下边中点），折线两侧图形全等；
4. 作阶梯状折线（路径：上边框左数第1格右点→向下2格→向右1格→向下1格→向右1格→向上2格→向右1格→向上1格→上边框左数第3格右点），折线两侧图形全等。
（其他符合要求的分割方法均正确）
【知识点】
1. 全等图形的定义
2. 正方形的对称性
【点评】
本题是开放性操作类题目，解法不唯一，主要考查对全等图形概念的理解和动手实践能力，能够锻炼发散思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
