9. [教材 P101 习题 22.3 第 11 题改编]如图，将矩形纸片$ABCD$折叠，使点$A$与点$C$重合，折痕为$EF$.若$AB=4$，$BC=2$，则线段$EF$的长为（）

A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

9.B

【分析】
解题时先结合折叠的性质分析：折叠后点A与点C重合，可知折痕EF是线段AC的垂直平分线，因此可先求出AC的长度，再通过“两角对应相等的两个三角形相似”证明△AOE和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例求出OE的长度，最后结合矩形对边平行的性质证明OE=OF，即可得到EF的长度。
【解析】
连接AC，交EF于点O。
∵ 折叠后点A与点C重合，
∴ EF垂直平分AC，即∠AOE=90°，$AO=\frac{1}{2}AC$。
在矩形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=2，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴ $AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{5}$。
∵ ∠OAE=∠BAC，∠AOE=∠B=90°，
∴ △AOE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，代入数值得$\frac{\sqrt{5}}{4}=\frac{OE}{2}$，
解得 $OE=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
∵ AB//CD，
∴ ∠OAE=∠OCF，
又
∵ OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF，
∴ OE=OF，
∴ $EF=2OE=2×\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；矩形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是利用折叠性质得到EF与AC的位置关系，再结合相似三角形的性质计算线段长度，能较好地考查学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

10. [2024·重庆中考A卷]如图,在$△ ABC$中,延长$AC$至点$D$,使$CD=CA$,过点$D$作$DE// CB$,且$DE=DC$,连接$AE$交$BC$于点$F$.若$∠ CAB=∠ CFA$,$CF=1$,则$BF=$（）

A.$\dfrac{5}{2}$
B.$3$
C.$\dfrac{7}{2}$
D.$4$

10.B

【分析】
解题可分两步思考：第一步，由C是AD中点、DE//CB，可推出CF是△ADE的中位线，结合CF的长度求出DE，再根据DE=DC得到AC的长度；第二步，观察到△ACF和△BCA有公共角∠C，且已知∠CAB=∠CFA，可判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后用BC减去CF即可得到BF的长度。
【解析】
1. 由$CD=CA$可知，C是线段AD的中点，又$\because DE// CB$，$\therefore CF$是$△ ADE$的中位线，根据中位线性质得$CF=\frac{1}{2}DE$。已知$CF=1$，代入得$DE=2CF=2$。
2. $\because DE=DC$，$\therefore DC=DE=2$，故$CA=CD=2$。
3. 在$△ ACF$和$△ BCA$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACF=∠ BCA\quad (\mathrm{公共角})\\∠ CFA=∠ CAB\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ACF ∽ △ BCA$。
4. 由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AC}{BC}=\frac{CF}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=CF· BC$。将$AC=2$，$CF=1$代入得：$2^2=1× BC$，解得$BC=4$。
5. 因此$BF=BC-CF=4-1=3$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是先利用中位线性质求出AC的长度，再通过角的等量关系判定三角形相似，结合相似的比例性质求解线段长度，要求学生熟练掌握相似三角形的判定条件和中位线的性质。
【难度系数】
0.6

11. [2024·德州中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD⊥ AC$,垂足为点$D$,$AE$平分$∠ BAC$,分别交$BD$,$BC$于点$F$,$E$.若$AB:BC=3:4$,则$BF:FD=$.

11.5:3

【分析】解题时可先根据Rt△ABC的边长比例设参数，结合勾股定理求出斜边AC的长度；再利用射影定理求出线段AD的长度；观察到AE是∠BAC的角平分线，即AF是△ABD中∠BAD的角平分线，直接应用角平分线定理即可求出BF与FD的比值。
【解析】解：设$AB=3k$，$BC=4k$（$k＞0$），
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
∵$BD⊥AC$，由射影定理可得$AB^2=AD·AC$，
∴$AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{9k^2}{5k}=\frac{9k}{5}$，
∵$AE$平分$∠BAC$，即$AF$平分$∠BAD$，
在$△ABD$中，根据角平分线定理：角平分线分对边的比等于夹这个角的两边的比，可得：
$\frac{BF}{FD}=\frac{AB}{AD}=\frac{3k}{\frac{9k}{5}}=\frac{5}{3}$，
即$BF:FD=5:3$。
【答案】$5:3$
【知识点】勾股定理；角平分线定理；射影定理
【点评】本题综合考查直角三角形的性质与角平分线定理的应用，通过设参数的方式可消去公共系数简化计算，熟练掌握相关定理能大幅提升解题效率。
【难度系数】0.6

12. 如图，AD是$△ ABC$的中线，且$∠ DAC = ∠ B$，E为AD上一点，$CD=CE$。
(1)求证：$△ ACE ∽ △ BAD$；
(2)若$AB=10$，$BC=6$，求线段AD的长。

12.(1)证明略.
(2)$\because AD$是$△ ABC$的中线,$\therefore CD=BD=CE=\dfrac{1}{2}BC=3$.
$\because ∠ DAC=∠ B,∠ ACD=∠ BCA,\therefore △ ACD∽△ BCA$,
$\therefore \dfrac{AD}{BA}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CD}{CA},\therefore \dfrac{AD}{10}=\dfrac{AC}{6}=\dfrac{3}{AC}$,
$\therefore AC=3\sqrt{2},\therefore AD=\dfrac{3\sqrt{2}}{6}×10=5\sqrt{2}$.

【分析】
(1) 要证明△ACE∽△BAD，可利用“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理推导：首先由CD=CE可得等腰三角形两底角相等，通过补角的性质得到∠AEC=∠ADB，再结合已知∠DAC=∠B，即可证明两三角形相似。
(2) 要求AD的长，先由AD是中线得到CD=BD=3，再观察到∠DAC=∠B，且∠ACD是△ACD和△BCA的公共角，可先证明△ACD∽△BCA，利用相似三角形对应边成比例列等式，先求出AC的长度，再代入比例式计算AD即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD=CE，
∴ ∠CDE=∠CED，
∵ ∠CDE + ∠ADB = 180°，∠CED + ∠AEC = 180°，
∴ ∠AEC=∠ADB，
又
∵ ∠DAC=∠B，
∴ △ACE ∽ △BAD（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
∵ AD是△ABC的中线，BC=6，
∴ CD=BD=CE=$\frac{1}{2}$BC=3。
∵ ∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA（公共角），
∴ △ACD∽△BCA（两角对应相等，两三角形相似），
∴ $\frac{AD}{BA}=\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CA}$，
代入AB=10，BC=6，CD=3得：$\frac{AD}{10}=\frac{AC}{6}=\frac{3}{AC}$，
由$\frac{AC}{6}=\frac{3}{AC}$得$AC^2=18$，解得AC=$3\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负解），
将AC=$3\sqrt{2}$代入$\frac{AD}{10}=\frac{3\sqrt{2}}{6}$，
解得AD=$\frac{3\sqrt{2}}{6}×10=5\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AD=5\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合基础题，解题核心是找准相等的角判定三角形相似，再结合相似三角形的性质列比例式求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

13. [新课标—探究题]已知△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°。
(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD，PE分别与AC，AB相交于点F，G。求证：△BPG∽△CFP。
(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD，PE分别与BC相交于点F，G。试问(1)中的结论还成立吗？请说明理由。

13.(1)$\because △ ABC,△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DPE=45°,\therefore ∠ BPG+∠ CPF=135°$.
$\because ∠ BPG+∠ BGP=180°-∠ B=135°$,
$\therefore ∠ BGP=∠ CPF$.
又$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ BPG∽△ CFP$.
(2)(1)中的结论成立.
理由:$\because △ ABC,△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DPE=45°$.
$\because ∠ BGP=∠ C+∠ CAG=45°+∠ CAG$,
$∠ CPF=∠ FPG+∠ CAG=45°+∠ CAG$,
$\therefore ∠ BGP=∠ CPF$.
又$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ BPG∽△ CFP$.

【分析】
（1）要证明△BPG∽△CFP，可选用两角对应相等的相似三角形判定定理。先结合全等等腰直角三角形的性质，得到∠B=∠C=∠DPE=45°，再通过三角形内角和推导∠BGP与∠CPF相等，即可完成证明。
（2）判断结论是否成立仍沿用两角对应相等的判定思路：先利用等腰直角三角形性质得到∠B=∠C=∠DPE=45°，再借助三角形外角的性质，分别推导∠BGP和∠CPF的表达式，证明二者相等，结合已知的∠B=∠C，即可验证结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°，
∴∠BPG+∠CPF=180°-∠DPE=135°，
在△BPG中，∠BPG+∠BGP=180°-∠B=135°，
∴∠BGP=∠CPF，
又
∵∠B=∠C，
∴△BPG∽△CFP。
(2) (1)中的结论还成立，理由如下：
∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°，
根据三角形外角的性质可得：
∠BGP=∠C+∠CAG=45°+∠CAG，
∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，
∴∠BGP=∠CPF，
又
∵∠B=∠C，
∴△BPG∽△CFP。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) (1)中的结论成立，理由如上。
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何探究题，围绕相似三角形的判定展开，解题核心是结合等腰直角三角形的角的特征，通过等量代换找到两组对应相等的角。题目设置了图形位置变化的情境，本质判定逻辑不变，能有效锻炼几何推理能力和图形变换分析能力。
【难度系数】
0.7