登录
1. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边AB和AC上的点,$DE// BC$.若$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$,则$\frac{AE}{EC}=$
4
.答案
1.4
解析
【分析】
看到题目中给出$DE// BC$的条件，首先联想到平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，也可推出$△ ADE$与$△ ABC$相似，对应边成比例。已知$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，我们可以先得到$AE$与$AC$的比值，进而求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore$根据平行线分线段成比例定理的推论可得：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{4}{5}$，
设$AE=4k$，$AC=5k$（$k\ne0$），
则$EC=AC-AE=5k-4k=k$，
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{4k}{k}=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.平行线分线段成比例
2.比例线段计算
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行于三角形一边的直线带来的线段比例关系，解题时只要找准对应线段的比例关系就能快速求解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
看到题目中给出$DE// BC$的条件，首先联想到平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，也可推出$△ ADE$与$△ ABC$相似，对应边成比例。已知$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，我们可以先得到$AE$与$AC$的比值，进而求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore$根据平行线分线段成比例定理的推论可得：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{4}{5}$，
设$AE=4k$，$AC=5k$（$k\ne0$），
则$EC=AC-AE=5k-4k=k$，
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{4k}{k}=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.平行线分线段成比例
2.比例线段计算
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行于三角形一边的直线带来的线段比例关系，解题时只要找准对应线段的比例关系就能快速求解，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$上的点，连接$DE$，且$∠ ADE = ∠ ACB$.若$E$是$AC$的中点，$AD=6$，$AB=8$，则$AE$的长为
$2\sqrt{6}$
.答案
2.$2\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时先观察图形中△ADE与△ACB的角的关系：两个三角形有公共角∠A，结合已知∠ADE=∠ACB，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定两三角形相似，得到对应边成比例的关系；再利用E是AC中点的条件，将AC用AE表示，代入已知线段长度建立关于AE的方程，求解即可得到AE的长。
【解析】
在△ADE和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\∠ ADE=∠ ACB\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB \quad (\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
∵E是AC的中点，$\therefore AC=2AE$
已知$AD=6$，$AB=8$，代入比例式得：
$\frac{6}{2AE}=\frac{AE}{8}$
化简得：$AE^2=24$
∵线段长度为正数，$\therefore AE=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形应用的常规基础题，核心是通过角的关系快速判定三角形相似，再利用相似的性质建立比例关系求解，很好地考察了学生对相似三角形基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形中△ADE与△ACB的角的关系：两个三角形有公共角∠A，结合已知∠ADE=∠ACB，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定两三角形相似，得到对应边成比例的关系；再利用E是AC中点的条件，将AC用AE表示，代入已知线段长度建立关于AE的方程，求解即可得到AE的长。
【解析】
在△ADE和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\∠ ADE=∠ ACB\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB \quad (\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
∵E是AC的中点，$\therefore AC=2AE$
已知$AD=6$，$AB=8$，代入比例式得：
$\frac{6}{2AE}=\frac{AE}{8}$
化简得：$AE^2=24$
∵线段长度为正数，$\therefore AE=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形应用的常规基础题，核心是通过角的关系快速判定三角形相似，再利用相似的性质建立比例关系求解，很好地考察了学生对相似三角形基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
3.如图,点A,B,C,D在边长为1的小正方形网格的顶点处,AD与BC相交于点O,则AO的长为
2
。答案
3.2
4. 如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠ACB=90°.
(1)求证:OA·OC=OB·OD;
(2)若∠DAB=55°,∠ABC=65°,求$\frac{DC}{AB}$的值.
(1)求证:OA·OC=OB·OD;
(2)若∠DAB=55°,∠ABC=65°,求$\frac{DC}{AB}$的值.
答案
4.(1)证明略. (2)$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$OA·OC=OB·OD$，可先将其转化为比例式$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，只需证明包含这四条线段的两个三角形相似即可。已知$∠ ADB=∠ ACB=90°$，结合对顶角$∠ AOD=∠ BOC$，可证$△ AOD ∽ △ BOC$，得到对应边成比例后交叉相乘即可得证。
(2) 要求$\frac{DC}{AB}$的值，可先通过(1)的比例关系和对顶角相等证明$△ DOC ∽ △ AOB$，将$\frac{DC}{AB}$转化为$\frac{OD}{OA}$；再利用直角三角形两锐角互余求出相关角度，得到$△ AOD$内角的度数，最后利用特殊角的三角函数求出$\frac{OD}{OA}$的值即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ ADB=∠ ACB=90°$，$∠ AOD=∠ BOC$（对顶角相等）
$\therefore △ AOD ∽ △ BOC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$
交叉相乘得：$OA·OC=OB·OD$，原式得证。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$∠ DAB=55°$
$\therefore ∠ ABD=90°-∠ DAB=90°-55°=35°$
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=65°$
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-65°=25°$
由(1)得$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，又$\because ∠ DOC=∠ AOB$（对顶角相等）
$\therefore △ DOC ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{DC}{AB}=\frac{OD}{OA}$
$\because ∠ ADB=∠ ACB=90°$，$\therefore A、B、C、D$四点在以$AB$为直径的圆上
$\therefore ∠ OAD=∠ DAB-∠ BAC=55°-25°=30°$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$\sin∠ OAD=\frac{OD}{OA}=\sin30°=\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是相似三角形的典型应用，解题关键是掌握等积式和比例式的转化方法，结合图形中的对顶角、直角找到相似三角形，再通过角度关系求出线段比值，对综合运用几何知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明等积式$OA·OC=OB·OD$，可先将其转化为比例式$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，只需证明包含这四条线段的两个三角形相似即可。已知$∠ ADB=∠ ACB=90°$，结合对顶角$∠ AOD=∠ BOC$，可证$△ AOD ∽ △ BOC$，得到对应边成比例后交叉相乘即可得证。
(2) 要求$\frac{DC}{AB}$的值，可先通过(1)的比例关系和对顶角相等证明$△ DOC ∽ △ AOB$，将$\frac{DC}{AB}$转化为$\frac{OD}{OA}$；再利用直角三角形两锐角互余求出相关角度，得到$△ AOD$内角的度数，最后利用特殊角的三角函数求出$\frac{OD}{OA}$的值即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ ADB=∠ ACB=90°$，$∠ AOD=∠ BOC$（对顶角相等）
$\therefore △ AOD ∽ △ BOC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$
交叉相乘得：$OA·OC=OB·OD$，原式得证。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$∠ DAB=55°$
$\therefore ∠ ABD=90°-∠ DAB=90°-55°=35°$
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=65°$
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-65°=25°$
由(1)得$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，又$\because ∠ DOC=∠ AOB$（对顶角相等）
$\therefore △ DOC ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{DC}{AB}=\frac{OD}{OA}$
$\because ∠ ADB=∠ ACB=90°$，$\therefore A、B、C、D$四点在以$AB$为直径的圆上
$\therefore ∠ OAD=∠ DAB-∠ BAC=55°-25°=30°$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$\sin∠ OAD=\frac{OD}{OA}=\sin30°=\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是相似三角形的典型应用，解题关键是掌握等积式和比例式的转化方法，结合图形中的对顶角、直角找到相似三角形，再通过角度关系求出线段比值，对综合运用几何知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
5. 如图，$∠ B=∠ D=90°$，E是线段BD上一点，且$AE⊥ CE$.若$AB=3$，$BE=2$，$CD=6$，则线段CE的长度为
$3\sqrt{13}$
.答案
5. $3\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先根据已知的直角条件，利用同角的余角相等得到一组相等的锐角，结合两个直角相等证明△ABE∽△EDC；再利用相似三角形对应边成比例求出线段ED的长度；最后在Rt△CDE中运用勾股定理即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴∠A + ∠AEB = 90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB + ∠CED = 180° - 90° = 90°，
∴∠A = ∠CED，
又
∵∠B = ∠D = 90°，
∴△ABE ∽ △EDC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BE}{CD}$，
将AB=3，BE=2，CD=6代入得：$\frac{3}{ED}=\frac{2}{6}$，
解得ED=9，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2 + ED^2}=\sqrt{6^2 + 9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$。
【答案】
$3\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与勾股定理结合的基础题型，解题的突破口是利用直角的性质推导等角，进而证明三角形相似，再结合勾股定理计算线段长，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的直角条件，利用同角的余角相等得到一组相等的锐角，结合两个直角相等证明△ABE∽△EDC；再利用相似三角形对应边成比例求出线段ED的长度；最后在Rt△CDE中运用勾股定理即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴∠A + ∠AEB = 90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB + ∠CED = 180° - 90° = 90°，
∴∠A = ∠CED，
又
∵∠B = ∠D = 90°，
∴△ABE ∽ △EDC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BE}{CD}$，
将AB=3，BE=2，CD=6代入得：$\frac{3}{ED}=\frac{2}{6}$，
解得ED=9，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2 + ED^2}=\sqrt{6^2 + 9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$。
【答案】
$3\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与勾股定理结合的基础题型，解题的突破口是利用直角的性质推导等角，进而证明三角形相似，再结合勾股定理计算线段长，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
