6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为边BC上一点，E为边AC上一点，且∠ADE=30°，求证：AB·DE=AD·DC.

证明：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{180° - 120°}{2}$ = 30°，
∵ ∠ADE = 30°，
∴ ∠ADE = ∠C = 30°，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 30° + ∠BAD，
又∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = 30° + ∠EDC，
∴ ∠BAD = ∠EDC，
在△ABD和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\∠BAD = ∠CDE\end{array} $
∴ △ABD ∽ △DCE，
∴ $\frac{AB}{DC} = \frac{AD}{DE}$，
交叉相乘可得：$AB · DE = AD · DC$，原式得证。

【分析】
要证明等积式$AB·DE=AD·DC$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{DC}=\frac{AD}{DE}$，因此需证明包含这四条边的两个三角形相似。首先根据等腰三角形的性质求出$△ ABC$的底角$∠ B$、$∠ C$的度数，结合已知$∠ ADE=30°$可得$∠ ADE=∠ C$，再利用三角形外角的性质推导得到$∠ BAD=∠ EDC$，即可证明$△ ABD ∽ △ DCE$，最后根据相似三角形对应边成比例即可得到待证结论。
【解析】
证明：
$\because$ 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
$\because ∠ ADE = 30°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ C = 30°$，
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 30° + ∠ BAD$，
又$\because ∠ ADC = ∠ ADE + ∠ EDC = 30° + ∠ EDC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ EDC$，
在$△ ABD$和$△ DCE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ C \\∠ BAD = ∠ CDE\end{array} $
$\therefore △ ABD ∽ △ DCE$，
$\therefore \frac{AB}{DC} = \frac{AD}{DE}$，
交叉相乘可得：$AB · DE = AD · DC$，原式得证。
【答案】
$AB·DE=AD·DC$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是利用相似三角形证明等积式的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，通过寻找两组对应角相等证明三角形相似，侧重对基础几何性质和相似判定方法的考查。
【难度系数】
0.7

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D. 若 AD = 2，BD = 6，则 CD 的长为

7.$2\sqrt{3}$

【分析】
首先观察图形，属于直角三角形斜边上作高的“母子型”相似结构，解题思路如下：1. 先根据直角三角形的性质，得到两组互余的角，利用同角的余角相等推出一组相等的锐角；2. 结合两个直角相等，用“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD和△CBD相似；3. 根据相似三角形对应边成比例列出比例式，变形得到$CD^2=AD·BD$，代入已知数值即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于D
∴ $∠ ADC=∠ CDB=90°$
∴ $∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ ACD + ∠ BCD = 90°$
∴ $∠ A = ∠ BCD$
∴ $△ ACD ∽ △ CBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即 $CD^2 = AD · BD$
代入$AD=2$，$BD=6$，得：
$CD^2 = 2 × 6 = 12$
∵ CD为线段长度，取正值
∴ $CD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形基本模型“母子型”的典型应用，解题核心是通过同角的余角相等推导等角，进而证明三角形相似，再利用相似的性质建立比例关系求解线段，是相似章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$于点$D$，$E$为$AC$的中点，$ED$的延长线交$AB$的延长线于点$F$。求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$。

8. 证明:$\because ∠BAC=90°,AD⊥BC,\therefore ∠BAC=∠BDA.$
又$\because ∠CBA=∠ABD,\therefore △ABC∽△DBA,$
$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DA},即\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DA},∠BAD=∠C.$
$\because AD⊥BC,E 为 AC 的中点,\therefore DE=EC,$
$\therefore ∠BDF=∠CDE=∠C,\therefore ∠BDF=∠BAD.$
又$\because ∠F=∠F,\therefore △DBF∽△ADF,$
$\therefore \frac{DB}{AD}=\frac{DF}{AF},即\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}.$

【分析】
要证$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$，可通过两次相似三角形的证明完成等量代换：首先利用$∠ BAC=90°$、$AD⊥ BC$的条件，结合公共角$∠ ABC$证明$△ ABC ∽ △ DBA$，将待证式左侧的$\frac{AB}{AC}$转化为$\frac{DB}{DA}$，同时得到$∠ BAD=∠ C$；再利用直角三角形斜边中线的性质推导角的等量关系，结合公共角$∠ F$证明$△ DBF ∽ △ ADF$，得到$\frac{DB}{AD}=\frac{DF}{AF}$，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
$\because ∠BAC=90°,AD⊥BC$，
$\therefore ∠BAC=∠BDA$，
又$\because ∠CBA=∠ABD$，
$\therefore △ABC∽△DBA$，
$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DA}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DA}$，且$∠BAD=∠C$。
$\because AD⊥BC$，E为AC的中点，
$\therefore DE=EC$，
$\therefore ∠BDF=∠CDE=∠C$，
$\therefore ∠BDF=∠BAD$。
又$\because ∠F=∠F$，
$\therefore △DBF∽△ADF$，
$\therefore \frac{DB}{AD}=\frac{DF}{AF}$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$。
【答案】
$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题的核心是合理转化待证比例式，利用双垂直模型和直角三角形的特殊性质推导角的等量关系，进而证明三角形相似，能够锻炼学生的逻辑推理和等量代换能力。
【难度系数】
0.6

9. 如图，在$△ ABC$与$△ ADE$中，点$D$在边$BC$上，$∠1=∠2=∠3$.若$AB=3$，$AD=2$，$AC=\dfrac{5}{2}$，则$AE$的长为.

9. $\frac{5}{3}$

【分析】
解题时先从已知的等角关系入手：首先由∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到△ABC和△ADE的一组对应角∠BAC=∠DAE；再结合∠2=∠3和对顶角相等的性质，利用三角形内角和定理可推出两个三角形的另一组对应角∠C=∠E，即可证明两个三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例的性质代入已知边长计算AE的长度即可。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即$∠ BAC=∠ DAE$，
设AC与DE的交点为F，
∵∠2=∠3，$∠ AFE=∠ DFC$（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得$∠ E=∠ C$，
∴$△ ABC ∽ △ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
将$AB=3$，$AD=2$，$AC=\frac{5}{2}$代入比例式得：
$\frac{3}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{AE}$，
交叉相乘得：$3AE=2× \frac{5}{2}=5$，
解得$AE=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，核心是通过角度的等量转换得到相似三角形的判定条件，再利用相似的性质求解线段长度，要求同学们熟练掌握角度转换技巧和相似三角形的相关定理。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ADE=∠ B,∠ DAE=∠ BAC$.
(1)求证:$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$;
(2)当$∠ BAC=90°$时,求证:$EC⊥ BC$.

10. 证明:(1)$\because ∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,$
$\therefore △DAE∽△BAC,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$
(2)$\because ∠BAC=∠DAE,\therefore ∠BAD=∠CAE,$
由(1)可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},\therefore △ABD∽△ACE,\therefore ∠ACE=∠B.$
$\because ∠BAC=90°,\therefore ∠B+∠ACB=90°,$
$\therefore ∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°,\therefore EC⊥BC.$

【分析】
（1）要证明比例式$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，可通过证明包含这四条边的两个三角形相似求解。题目已给出两组对应角相等：$∠ ADE=∠ B$、$∠ DAE=∠ BAC$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，先证$△ DAE ∽ △ BAC$，再根据相似三角形对应边成比例即可得到待证结论。
（2）要证明$EC ⊥ BC$，即需证$∠ ECB=90°$。已知$∠ BAC=90°$，在$Rt△ ABC$中可得$∠ B+∠ ACB=90°$，因此只需推导得到$∠ ACE=∠ B$，即可证得$∠ ACE+∠ ACB=90°$。首先由$∠ BAC=∠ DAE$，两边同时减去公共角$∠ DAC$可得$∠ BAD=∠ CAE$，再将（1）中的比例式变形得到$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，证得$△ ABD ∽ △ ACE$后即可得到$∠ ACE=∠ B$，代入角的和差关系即可完成垂直的证明。
【解析】
(1) 由已知角的等量关系，根据两角分别相等的相似三角形判定定理，证得$△ DAE ∽ △ BAC$，再根据相似三角形对应边成比例，即可得到$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
(2) 先推导得到$∠ BAD=∠ CAE$，结合（1）的比例式变形结果，根据两边对应成比例且夹角相等的相似三角形判定定理，证得$△ ABD ∽ △ ACE$，得到$∠ ACE=∠ B$，再结合直角三角形两锐角互余的性质，代换得到$∠ ECB=90°$，即可证明$EC ⊥ BC$。
【答案】
(1) 证明：$\because ∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,$
$\therefore △DAE∽△BAC,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$
(2) 证明：$\because ∠BAC=∠DAE,\therefore ∠BAD=∠CAE,$
由(1)可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},\therefore △ABD∽△ACE,\therefore ∠ACE=∠B.$
$\because ∠BAC=90°,\therefore ∠B+∠ACB=90°,$
$\therefore ∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°,\therefore EC⊥BC.$
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、直角三角形性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题型，核心考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是结合已知角的相等关系找到对应相似三角形，利用相似的性质得到边、角的等量关系完成证明，是巩固相似相关定理的典型习题。
【难度系数】
0.7