登录
例1 (1)甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？设应从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是 (
A. $432 - x = 2(96 + x)$
B. $2(432 - x) = 96 + x$
C. $432 + x = 2(96 - x)$
D. $2(432 + x) = 96 - x$
(2)如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框(阴影部分)。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩(接缝忽略不计)，问：该日晷基座的底面边长是多少米？若设该日晷基座的底面边长是x米，则下列方程中正确的是 (
A. $4×3.2(x + 3.2×2) = 0.8^2×144$
B. $4×3.2(x + x + 3.2×2) = 0.8^2×144$
C. $2×3.2(x + 3.2) + 2×3.2x = 0.8^2×144$
D. $4×3.2^2 + 4×3.2×x = 0.8^2×144$
(3)某商店将某物品按进价提高40%后标价，再优惠150元销售，能获得20%的毛利率$(毛利率=\frac{售价 - 进价}{售价})$。则销售该物品所得的利润为 (
A. 200元
B. 250元
C. 300元
D. 350元
(4)小华带x元钱去买甜点，若全买红豆汤圆，刚好可买30杯；若全买豆花，刚好可买40杯。已知豆花每杯比红豆汤圆便宜1元，依据题意可列出的方程是
(5)某班有学生45名，若要选择甲、乙两人作为班干部，结果有40人赞成甲做班干部，有37人赞成乙做班干部，对甲、乙两人都不赞成的人数是都赞成人数的$\frac{1}{9}$，对甲、乙两人都赞成的人数是
(6)如图，数轴上点A，B表示的数分别是-12和6，O为原点。点A，B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度匀速相向而行，点P从原点O以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动。若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动。在此运动过程中，设运动时间为t秒，若$PA = 3PB$，则t的值是
【反思】列一元一次方程解应用题的关键在于寻找未知量与已知量之间的一个相等关系。然后根据这个相等关系，设相应的未知量为未知数，列出一元一次方程。往往设未知数的方法有两种：一种是直接设法，还有一种是间接设法。
A
)A. $432 - x = 2(96 + x)$
B. $2(432 - x) = 96 + x$
C. $432 + x = 2(96 - x)$
D. $2(432 + x) = 96 - x$
(2)如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框(阴影部分)。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩(接缝忽略不计)，问：该日晷基座的底面边长是多少米？若设该日晷基座的底面边长是x米，则下列方程中正确的是 (
D
)A. $4×3.2(x + 3.2×2) = 0.8^2×144$
B. $4×3.2(x + x + 3.2×2) = 0.8^2×144$
C. $2×3.2(x + 3.2) + 2×3.2x = 0.8^2×144$
D. $4×3.2^2 + 4×3.2×x = 0.8^2×144$
(3)某商店将某物品按进价提高40%后标价，再优惠150元销售，能获得20%的毛利率$(毛利率=\frac{售价 - 进价}{售价})$。则销售该物品所得的利润为 (
B
)A. 200元
B. 250元
C. 300元
D. 350元
(4)小华带x元钱去买甜点，若全买红豆汤圆，刚好可买30杯；若全买豆花，刚好可买40杯。已知豆花每杯比红豆汤圆便宜1元，依据题意可列出的方程是
$\frac{x}{30}=\frac{x}{40}+1$
。(5)某班有学生45名，若要选择甲、乙两人作为班干部，结果有40人赞成甲做班干部，有37人赞成乙做班干部，对甲、乙两人都不赞成的人数是都赞成人数的$\frac{1}{9}$，对甲、乙两人都赞成的人数是
36
。(6)如图，数轴上点A，B表示的数分别是-12和6，O为原点。点A，B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度匀速相向而行，点P从原点O以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动。若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动。在此运动过程中，设运动时间为t秒，若$PA = 3PB$，则t的值是
$\frac{6}{7}$或$\frac{22}{7}$
。【反思】列一元一次方程解应用题的关键在于寻找未知量与已知量之间的一个相等关系。然后根据这个相等关系，设相应的未知量为未知数，列出一元一次方程。往往设未知数的方法有两种：一种是直接设法，还有一种是间接设法。
答案
(1)A (2)D (3)B (4)$\frac{x}{30}=\frac{x}{40}+1$ (5)36 (6)$\frac{6}{7}$或$\frac{22}{7}$
解析
【分析】
这组题均为一元一次方程的实际应用类题目，解题核心是从题干中提取等量关系，结合设出的未知数列方程求解：
(1)调配问题：抓住“调配后甲煤场存煤量=乙煤场存煤量×2”的等量关系；
(2)面积问题：抓住“阴影部分面积=144块花岗岩的总面积”的等量关系，阴影面积可通过大正方形面积减基座正方形面积计算；
(3)利润问题：紧扣毛利率的计算公式，先设进价为中间量，结合售价、进价、利润的关系列方程；
(4)购买问题：抓住“红豆汤圆单价-豆花单价=1元”的等量关系，单价=总钱数÷购买数量；
(5)容斥问题：总人数=赞成甲人数+赞成乙人数-都赞成人数+都不赞成人数，结合都赞成和都不赞成的数量关系列方程；
(6)动点问题：先确定各点运动过程中的坐标表达式，分点P遇到点B前、遇到点B后两种情况，根据PA=3PB列方程，注意验证解是否符合运动时间范围。
【解析】
(1) 设从甲运x吨到乙，调配后甲存煤$(432-x)$吨，乙存煤$(96+x)$吨，由甲是乙的2倍得：$432 - x = 2(96 + x)$，故选A。
(2) 设基座边长为x米，阴影部分面积=大正方形面积-基座面积$=(x+3.2×2)^2 - x^2 = 4×3.2^2 + 4×3.2x$；花岗岩总面积$=0.8^2×144$，所以方程为$4×3.2^2 + 4×3.2×x = 0.8^2×144$，故选D。
(3) 设物品进价为a元，标价为$(1+40\%)a=1.4a$，售价为$1.4a - 150$，根据毛利率公式得：
$\frac{(1.4a - 150) - a}{1.4a - 150} = 20\%$
解得$a=1000$，售价为$1.4×1000 - 150=1250$元，利润$=1250-1000=250$元，故选B。
(4) 红豆汤圆单价为$\frac{x}{30}$元/杯，豆花单价为$\frac{x}{40}$元/杯，由豆花比汤圆便宜1元得：$\frac{x}{30}=\frac{x}{40}+1$。
(5) 设对甲乙都赞成的人数为a，都不赞成的人数为$\frac{1}{9}a$，根据总人数关系：
$40 + 37 - a + \frac{1}{9}a = 45$
解得$a=36$。
(6) 先求各点坐标：A的坐标为$-12+3t$，B的坐标为$6-2t$，A、B相遇时间为$\frac{|-12-6|}{3+2}=\frac{18}{5}=3.6$s；点P遇到B的时间满足$t=6-2t$，得$t=2$s，分两种情况：
①当$0≤t≤2$时，P坐标为t，$PA=t - (-12+3t)=12-2t$，$PB=6-2t - t=6-3t$，由$PA=3PB$得：
$12-2t=3(6-3t)$，解得$t=\frac{6}{7}$，符合范围；
②当$2＜t≤3.6$时，P遇到B后向左运动，坐标为$2 - (t-2)=4-t$，$PA=4-t - (-12+3t)=16-4t$，$PB=6-2t - (4-t)=t-2$，由$PA=3PB$得：
$16-4t=3(t-2)$，解得$t=\frac{22}{7}$，符合范围。
综上t的值为$\frac{6}{7}$或$\frac{22}{7}$。
【答案】
(1)A (2)D (3)B (4)$\frac{x}{30}=\frac{x}{40}+1$ (5)36 (6)$\frac{6}{7}$或$\frac{22}{7}$
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系构建，分类讨论思想
【点评】
本组题目覆盖了一元一次方程的高频应用题型，既考查基础等量关系的提取能力，又通过动点题考查分类讨论的逻辑思维，难度梯度设置合理，能有效检验方程应用的掌握程度。
【难度系数】
0.6
这组题均为一元一次方程的实际应用类题目，解题核心是从题干中提取等量关系，结合设出的未知数列方程求解：
(1)调配问题：抓住“调配后甲煤场存煤量=乙煤场存煤量×2”的等量关系；
(2)面积问题：抓住“阴影部分面积=144块花岗岩的总面积”的等量关系，阴影面积可通过大正方形面积减基座正方形面积计算；
(3)利润问题：紧扣毛利率的计算公式，先设进价为中间量，结合售价、进价、利润的关系列方程；
(4)购买问题：抓住“红豆汤圆单价-豆花单价=1元”的等量关系，单价=总钱数÷购买数量；
(5)容斥问题：总人数=赞成甲人数+赞成乙人数-都赞成人数+都不赞成人数，结合都赞成和都不赞成的数量关系列方程；
(6)动点问题：先确定各点运动过程中的坐标表达式，分点P遇到点B前、遇到点B后两种情况，根据PA=3PB列方程，注意验证解是否符合运动时间范围。
【解析】
(1) 设从甲运x吨到乙，调配后甲存煤$(432-x)$吨，乙存煤$(96+x)$吨，由甲是乙的2倍得：$432 - x = 2(96 + x)$，故选A。
(2) 设基座边长为x米，阴影部分面积=大正方形面积-基座面积$=(x+3.2×2)^2 - x^2 = 4×3.2^2 + 4×3.2x$；花岗岩总面积$=0.8^2×144$，所以方程为$4×3.2^2 + 4×3.2×x = 0.8^2×144$，故选D。
(3) 设物品进价为a元，标价为$(1+40\%)a=1.4a$，售价为$1.4a - 150$，根据毛利率公式得：
$\frac{(1.4a - 150) - a}{1.4a - 150} = 20\%$
解得$a=1000$，售价为$1.4×1000 - 150=1250$元，利润$=1250-1000=250$元，故选B。
(4) 红豆汤圆单价为$\frac{x}{30}$元/杯，豆花单价为$\frac{x}{40}$元/杯，由豆花比汤圆便宜1元得：$\frac{x}{30}=\frac{x}{40}+1$。
(5) 设对甲乙都赞成的人数为a，都不赞成的人数为$\frac{1}{9}a$，根据总人数关系：
$40 + 37 - a + \frac{1}{9}a = 45$
解得$a=36$。
(6) 先求各点坐标：A的坐标为$-12+3t$，B的坐标为$6-2t$，A、B相遇时间为$\frac{|-12-6|}{3+2}=\frac{18}{5}=3.6$s；点P遇到B的时间满足$t=6-2t$，得$t=2$s，分两种情况：
①当$0≤t≤2$时，P坐标为t，$PA=t - (-12+3t)=12-2t$，$PB=6-2t - t=6-3t$，由$PA=3PB$得：
$12-2t=3(6-3t)$，解得$t=\frac{6}{7}$，符合范围；
②当$2＜t≤3.6$时，P遇到B后向左运动，坐标为$2 - (t-2)=4-t$，$PA=4-t - (-12+3t)=16-4t$，$PB=6-2t - (4-t)=t-2$，由$PA=3PB$得：
$16-4t=3(t-2)$，解得$t=\frac{22}{7}$，符合范围。
综上t的值为$\frac{6}{7}$或$\frac{22}{7}$。
【答案】
(1)A (2)D (3)B (4)$\frac{x}{30}=\frac{x}{40}+1$ (5)36 (6)$\frac{6}{7}$或$\frac{22}{7}$
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系构建，分类讨论思想
【点评】
本组题目覆盖了一元一次方程的高频应用题型，既考查基础等量关系的提取能力，又通过动点题考查分类讨论的逻辑思维，难度梯度设置合理，能有效检验方程应用的掌握程度。
【难度系数】
0.6
