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三、解答题
7. 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠C=∠D，F是边CD的中点.求证：AF平分∠BAE.
7. 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠C=∠D，F是边CD的中点.求证：AF平分∠BAE.
答案
7. 提示：连接BF，EF，先证明$△BCF ≌ △EDF$，再证明$△ABF ≌ △AEF$
解析
【分析】
要证明AF平分∠BAE，即需证明∠BAF=∠EAF。观察两角分别在△ABF和△AEF中，已知AB=AE，AF为公共边，因此只需再证明BF=EF，即可通过全等三角形判定得到两三角形全等，进而得到角相等。要证BF=EF，结合已知条件BC=ED、∠C=∠D，F是CD中点可得CF=DF，可先证明△BCF≌△EDF得到BF=EF，因此先连接BF、EF作为辅助线，分两步证明全等即可完成推导。
【解析】
证明：连接BF、EF。
∵F是CD的中点，
∴$CF=DF$。
在$△ BCF$和$△ EDF$中：
$\begin{cases}BC=ED（已知）,\\∠C=∠D（已知）,\\CF=DF（已证）,\end{cases}$
∴$△ BCF ≌ △ EDF$（SAS），
∴$BF=EF$（全等三角形的对应边相等）。
在$△ ABF$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AB=AE（已知）,\\BF=EF（已证）,\\AF=AF（公共边）,\end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ AEF$（SSS），
∴$∠BAF=∠EAF$（全等三角形的对应角相等），
即AF平分$∠ BAE$。
【答案】
AF平分$∠ BAE$，得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题目，解题核心是通过构造辅助线得到两组全等三角形，逐步推导得到对应角相等，考查了对全等判定定理、性质的灵活运用能力，以及几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7
要证明AF平分∠BAE，即需证明∠BAF=∠EAF。观察两角分别在△ABF和△AEF中，已知AB=AE，AF为公共边，因此只需再证明BF=EF，即可通过全等三角形判定得到两三角形全等，进而得到角相等。要证BF=EF，结合已知条件BC=ED、∠C=∠D，F是CD中点可得CF=DF，可先证明△BCF≌△EDF得到BF=EF，因此先连接BF、EF作为辅助线，分两步证明全等即可完成推导。
【解析】
证明：连接BF、EF。
∵F是CD的中点，
∴$CF=DF$。
在$△ BCF$和$△ EDF$中：
$\begin{cases}BC=ED（已知）,\\∠C=∠D（已知）,\\CF=DF（已证）,\end{cases}$
∴$△ BCF ≌ △ EDF$（SAS），
∴$BF=EF$（全等三角形的对应边相等）。
在$△ ABF$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AB=AE（已知）,\\BF=EF（已证）,\\AF=AF（公共边）,\end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ AEF$（SSS），
∴$∠BAF=∠EAF$（全等三角形的对应角相等），
即AF平分$∠ BAE$。
【答案】
AF平分$∠ BAE$，得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题目，解题核心是通过构造辅助线得到两组全等三角形，逐步推导得到对应角相等，考查了对全等判定定理、性质的灵活运用能力，以及几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$AB=CD$，$AC$与$BD$相交于点$O$，且$AC=BD$. 求证：$∠ B=∠ C$.
答案
提示：连接AD，用“SSS”证明$△ABD ≌ △DCA$
解析
【分析】
要证明∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。已知AB=CD、AC=BD，现有图形中没有直接全等的三角形，因此考虑作辅助线构造全等三角形：连接AD后，△ABD和△DCA有公共边AD，此时两个三角形三组对应边均相等，可利用“SSS”判定全等，再根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：连接AD，
在$△ ABD$和$△ DCA$中：
$\begin{cases}AB = DC \quad (\mathrm{已知}) \\BD = CA \quad (\mathrm{已知}) \\AD = DA \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ DCA \ (\mathrm{SSS})$，
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ B = ∠ C$。
【答案】
通过连接AD，用SSS证明$△ ABD ≌ △ DCA$，可证得$\boldsymbol{∠ B = ∠ C}$，完整证明过程见解析。
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；辅助线构造全等
【点评】
本题是全等三角形判定的典型基础题，解题关键是通过作辅助线构造公共边，将分散的已知条件整合到两个三角形中，创造全等的判定条件，这类构造公共边的辅助线作法是几何证明中的常用技巧。
【难度系数】
0.7
要证明∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。已知AB=CD、AC=BD，现有图形中没有直接全等的三角形，因此考虑作辅助线构造全等三角形：连接AD后，△ABD和△DCA有公共边AD，此时两个三角形三组对应边均相等，可利用“SSS”判定全等，再根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：连接AD，
在$△ ABD$和$△ DCA$中：
$\begin{cases}AB = DC \quad (\mathrm{已知}) \\BD = CA \quad (\mathrm{已知}) \\AD = DA \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ DCA \ (\mathrm{SSS})$，
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ B = ∠ C$。
【答案】
通过连接AD，用SSS证明$△ ABD ≌ △ DCA$，可证得$\boldsymbol{∠ B = ∠ C}$，完整证明过程见解析。
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；辅助线构造全等
【点评】
本题是全等三角形判定的典型基础题，解题关键是通过作辅助线构造公共边，将分散的已知条件整合到两个三角形中，创造全等的判定条件，这类构造公共边的辅助线作法是几何证明中的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$AC // BD$，$AE$，$BE$ 分别平分 $∠ CAB$ 和 $∠ DBA$，且交于点 $E$，$CD$ 过点 $E$.求证：$AB = AC + BD$.
答案
提示：在线段AB上截取$AF = AC$，连接EF，先证明$△ACE ≌ △AFE$，再证明$△BFE ≌ △BDE$
解析
【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用“截长补短法”，本题可使用截长法：在AB上截取AF=AC，只需证明剩下的BF=BD即可。首先利用角平分线的定义得到等角，结合截取的等边和公共边，证明△ACE≌△AFE，得到对应角相等；再结合AC//BD的同旁内角互补，推导出∠EFB=∠D，最后结合BE平分∠DBA的条件，证明△BFE≌△BDE得到BF=BD，结合线段和的关系即可得证。
【解析】
证明：在线段AB上截取$AF = AC$，连接$EF$。
∵$AE$平分$∠CAB$，
∴$∠CAE = ∠FAE$。
在$△ ACE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}AC = AF \\∠CAE = ∠FAE \\AE = AE\end{cases}$
∴$△ ACE ≌ △ AFE$（SAS），
∴$∠C = ∠AFE$。
∵$AC // BD$，
∴$∠C + ∠D = 180°$，
又
∵$∠AFE + ∠EFB = 180°$，
∴$∠EFB = ∠D$。
∵$BE$平分$∠DBA$，
∴$∠FBE = ∠DBE$。
在$△ BFE$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠EFB = ∠D \\∠FBE = ∠DBE \\BE = BE\end{cases}$
∴$△ BFE ≌ △ BDE$（AAS），
∴$BF = BD$。
∵$AB = AF + BF$，
∴$AB = AC + BD$。
【答案】
$AB = AC + BD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题型，解题核心是灵活运用截长补短法构造全等三角形，将待证的线段和关系转化为全等三角形对应边相等的问题，这类解题思路在几何证明中应用广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用“截长补短法”，本题可使用截长法：在AB上截取AF=AC，只需证明剩下的BF=BD即可。首先利用角平分线的定义得到等角，结合截取的等边和公共边，证明△ACE≌△AFE，得到对应角相等；再结合AC//BD的同旁内角互补，推导出∠EFB=∠D，最后结合BE平分∠DBA的条件，证明△BFE≌△BDE得到BF=BD，结合线段和的关系即可得证。
【解析】
证明：在线段AB上截取$AF = AC$，连接$EF$。
∵$AE$平分$∠CAB$，
∴$∠CAE = ∠FAE$。
在$△ ACE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}AC = AF \\∠CAE = ∠FAE \\AE = AE\end{cases}$
∴$△ ACE ≌ △ AFE$（SAS），
∴$∠C = ∠AFE$。
∵$AC // BD$，
∴$∠C + ∠D = 180°$，
又
∵$∠AFE + ∠EFB = 180°$，
∴$∠EFB = ∠D$。
∵$BE$平分$∠DBA$，
∴$∠FBE = ∠DBE$。
在$△ BFE$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠EFB = ∠D \\∠FBE = ∠DBE \\BE = BE\end{cases}$
∴$△ BFE ≌ △ BDE$（AAS），
∴$BF = BD$。
∵$AB = AF + BF$，
∴$AB = AC + BD$。
【答案】
$AB = AC + BD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题型，解题核心是灵活运用截长补短法构造全等三角形，将待证的线段和关系转化为全等三角形对应边相等的问题，这类解题思路在几何证明中应用广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
