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1. 在$△ ABC$中，$2∠ A=2∠ B=∠ C$，则$△ ABC$是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
B
).A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
答案
1. B
解析
【分析】
要判断三角形的类型，需先求出三角形各内角的度数，再根据最大角的类型判断。解题时首先利用题目给出的三个角的数量关系，将三个角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和为180°的定理列方程求解，得到各角度数后即可判断三角形类型。
【解析】
设$∠ A = ∠ B = x$，由$2∠ A=2∠ B=∠ C$可得$∠ C=2x$。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于$180°$，可列方程：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
代入得：$x + x + 2x = 180°$
合并同类项得：$4x=180°$
解得：$x=45°$
因此$∠ C=2x=90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形的分类
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查三角形内角和定理的应用，解题关键是根据已知角的数量关系设未知数，结合内角和定理建立方程求解角度，再判断三角形类型，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的类型，需先求出三角形各内角的度数，再根据最大角的类型判断。解题时首先利用题目给出的三个角的数量关系，将三个角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和为180°的定理列方程求解，得到各角度数后即可判断三角形类型。
【解析】
设$∠ A = ∠ B = x$，由$2∠ A=2∠ B=∠ C$可得$∠ C=2x$。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于$180°$，可列方程：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
代入得：$x + x + 2x = 180°$
合并同类项得：$4x=180°$
解得：$x=45°$
因此$∠ C=2x=90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形的分类
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查三角形内角和定理的应用，解题关键是根据已知角的数量关系设未知数，结合内角和定理建立方程求解角度，再判断三角形类型，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
2. 若AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD长6 cm，则AB与AC的差为(
A.2 cm
B.3 cm
C.6 cm
D.12 cm
C
)。A.2 cm
B.3 cm
C.6 cm
D.12 cm
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：①AD是△ABC的中线，根据中线的定义可得出BD=CD；②△ABD的周长比△ACD长6 cm。接下来我们可以分别写出两个三角形的周长表达式，将两个周长相减，利用BD=CD、AD为公共边的特点消去相等的线段，即可直接求出AB与AC的差值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线
∴BD = CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△ACD的周长 = AC + CD + AD
由题意得：△ABD的周长 - △ACD的周长 = 6 cm
代入周长表达式可得：
(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = 6 cm
化简，消去相等的BD与CD、公共边AD，得：
AB - AC = 6 cm
即AB与AC的差为6 cm，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查对三角形中线概念的应用，解题的核心是找到两个三角形周长中的相等线段，消去公共部分后即可快速得到所求的线段差，是三角形边角关系中的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件出发：①AD是△ABC的中线，根据中线的定义可得出BD=CD；②△ABD的周长比△ACD长6 cm。接下来我们可以分别写出两个三角形的周长表达式，将两个周长相减，利用BD=CD、AD为公共边的特点消去相等的线段，即可直接求出AB与AC的差值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线
∴BD = CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△ACD的周长 = AC + CD + AD
由题意得：△ABD的周长 - △ACD的周长 = 6 cm
代入周长表达式可得：
(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = 6 cm
化简，消去相等的BD与CD、公共边AD，得：
AB - AC = 6 cm
即AB与AC的差为6 cm，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查对三角形中线概念的应用，解题的核心是找到两个三角形周长中的相等线段，消去公共部分后即可快速得到所求的线段差，是三角形边角关系中的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中，$AB=BC$，边$AB$上的中线$CD$将$△ ABC$的周长分为15和6两个部分，则$△ ABC$的三边长分别是(
A.10，10，1
B.4，4，13
C.8，8，5
D.9，9，3
A
).A.10，10，1
B.4，4，13
C.8，8，5
D.9，9，3
答案
3. A
解析
【分析】
这是等腰三角形结合周长分类讨论的题型，解题思路如下：首先根据AB=BC确定三角形为等腰三角形，CD是AB的中线可得AD=BD=½AB，中线分周长为15和6两部分，要分两种情况讨论：①AC+AD=15、BC+BD=6；②AC+AD=6、BC+BD=15。计算出两种情况的边长后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否成立，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
设AB=BC=2x，
∵CD是AB的中线，
∴AD=BD=x，分两种情况讨论：
1. 若AC+AD=15，BC+BD=6
可列方程组：$\begin{cases}AC+x=15 \\2x+x=6 \end{cases}$
解得$x=2$，$AC=13$，此时三边长为AB=BC=4，AC=13
验证：$4+4=8＜13$，不满足三角形三边关系，舍去该情况。
2. 若AC+AD=6，BC+BD=15
可列方程组：$\begin{cases}AC+x=6 \\2x+x=15 \end{cases}$
解得$x=5$，$AC=1$，此时三边长为AB=BC=10，AC=1
验证：$10+1＞10$，$10+10＞1$，满足三角形三边关系，成立。
综上，△ABC三边长为10，10，1。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，中线的定义
【点评】
本题的易错点是遗漏分类讨论，或是计算出边长后忘记用三边关系验证是否能构成三角形，做题时要注意分类讨论的完整性和结果的合理性。
【难度系数】
0.6
这是等腰三角形结合周长分类讨论的题型，解题思路如下：首先根据AB=BC确定三角形为等腰三角形，CD是AB的中线可得AD=BD=½AB，中线分周长为15和6两部分，要分两种情况讨论：①AC+AD=15、BC+BD=6；②AC+AD=6、BC+BD=15。计算出两种情况的边长后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否成立，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
设AB=BC=2x，
∵CD是AB的中线，
∴AD=BD=x，分两种情况讨论：
1. 若AC+AD=15，BC+BD=6
可列方程组：$\begin{cases}AC+x=15 \\2x+x=6 \end{cases}$
解得$x=2$，$AC=13$，此时三边长为AB=BC=4，AC=13
验证：$4+4=8＜13$，不满足三角形三边关系，舍去该情况。
2. 若AC+AD=6，BC+BD=15
可列方程组：$\begin{cases}AC+x=6 \\2x+x=15 \end{cases}$
解得$x=5$，$AC=1$，此时三边长为AB=BC=10，AC=1
验证：$10+1＞10$，$10+10＞1$，满足三角形三边关系，成立。
综上，△ABC三边长为10，10，1。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，中线的定义
【点评】
本题的易错点是遗漏分类讨论，或是计算出边长后忘记用三边关系验证是否能构成三角形，做题时要注意分类讨论的完整性和结果的合理性。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 有长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有
4. 有长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有
3
种，它们分别是① 9，6，5；② 9，6，4；③ 6，5，4
.答案
4. 3 ① 9，6，5；② 9，6，4；③ 6，5，4
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，先枚举从四根木条中任选三根的所有可能组合，避免出现遗漏或重复；其次，回忆三角形三边的判定规则：三角形任意两边之和大于第三边，实际验证时可简化操作——只需比较较短两条边的长度之和与最长边的大小即可，若较短两边之和大于最长边，则该组合能构成三角形，否则不能；最后，对所有组合逐一验证，统计符合要求的组合数量及具体情况即可。
【解析】
首先列出从长为9、6、5、4的四根木条中任选三根的所有组合，共4种：
1. 组合1：9、6、5
最长边为9，较短两边之和为$6+5=11$，$11＞9$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 组合2：9、6、4
最长边为9，较短两边之和为$6+4=10$，$10＞9$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
3. 组合3：9、5、4
最长边为9，较短两边之和为$5+4=9$，$9=9$，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
4. 组合4：6、5、4
最长边为6，较短两边之和为$5+4=9$，$9＞6$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，符合要求的选法共有3种，分别是9、6、5；9、6、4；6、5、4。
【答案】
3；①9，6，5；②9，6，4；③6，5，4
【知识点】
三角形三边关系；分类枚举
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是对三角形三边关系的灵活运用，解题时要注意先完整枚举所有可能的组合，再按规则验证，尤其要注意“两边之和等于第三边”的情况不能构成三角形，避免因粗心判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，先枚举从四根木条中任选三根的所有可能组合，避免出现遗漏或重复；其次，回忆三角形三边的判定规则：三角形任意两边之和大于第三边，实际验证时可简化操作——只需比较较短两条边的长度之和与最长边的大小即可，若较短两边之和大于最长边，则该组合能构成三角形，否则不能；最后，对所有组合逐一验证，统计符合要求的组合数量及具体情况即可。
【解析】
首先列出从长为9、6、5、4的四根木条中任选三根的所有组合，共4种：
1. 组合1：9、6、5
最长边为9，较短两边之和为$6+5=11$，$11＞9$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 组合2：9、6、4
最长边为9，较短两边之和为$6+4=10$，$10＞9$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
3. 组合3：9、5、4
最长边为9，较短两边之和为$5+4=9$，$9=9$，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
4. 组合4：6、5、4
最长边为6，较短两边之和为$5+4=9$，$9＞6$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，符合要求的选法共有3种，分别是9、6、5；9、6、4；6、5、4。
【答案】
3；①9，6，5；②9，6，4；③6，5，4
【知识点】
三角形三边关系；分类枚举
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是对三角形三边关系的灵活运用，解题时要注意先完整枚举所有可能的组合，再按规则验证，尤其要注意“两边之和等于第三边”的情况不能构成三角形，避免因粗心判断错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图，将△ABC沿着DE翻折得到△B'ED，B'E交AC于点G，B'D交AC于点F。若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为
40°
。答案
5. 40°
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合平角的定义建立角度关系式，将两个平角的等式相加，代入已知∠1+∠2=80°求出△BDE中两个底角的和，最后利用三角形内角和定理即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC沿着DE翻折得到△B'ED，
∴∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，
由平角的定义可得：
$∠1 + 2∠ BED = 180°$ ①
$∠2 + 2∠ BDE = 180°$ ②
①+②得：$∠1 + ∠2 + 2(∠ BED + ∠ BDE) = 360°$，
把$∠1+∠2=80°$代入上式：
$80° + 2(∠ BED + ∠ BDE) = 360°$，
解得：$∠ BED + ∠ BDE = 140°$，
在△BDE中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ B = 180° - (∠ BED + ∠ BDE) = 180° - 140° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角定义
【点评】
本题是三角形折叠类的基础题型，核心考查折叠前后对应角相等的性质，只要能梳理清楚折叠后角度的数量关系，结合内角和定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合平角的定义建立角度关系式，将两个平角的等式相加，代入已知∠1+∠2=80°求出△BDE中两个底角的和，最后利用三角形内角和定理即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC沿着DE翻折得到△B'ED，
∴∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，
由平角的定义可得：
$∠1 + 2∠ BED = 180°$ ①
$∠2 + 2∠ BDE = 180°$ ②
①+②得：$∠1 + ∠2 + 2(∠ BED + ∠ BDE) = 360°$，
把$∠1+∠2=80°$代入上式：
$80° + 2(∠ BED + ∠ BDE) = 360°$，
解得：$∠ BED + ∠ BDE = 140°$，
在△BDE中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ B = 180° - (∠ BED + ∠ BDE) = 180° - 140° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角定义
【点评】
本题是三角形折叠类的基础题型，核心考查折叠前后对应角相等的性质，只要能梳理清楚折叠后角度的数量关系，结合内角和定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，AD是中线，$DE ⊥ AB$于点E，$DF ⊥ AC$于点F，若$AB = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，则$\frac{DE}{DF}$的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
6. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先，AD是△ABC的中线，根据中线的性质可知中线可将三角形分为面积相等的两个小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。其次，DE⊥AB、DF⊥AC，我们可以分别以AB、DE为底和高表示△ABD的面积，以AC、DF为底和高表示△ACD的面积，利用两个三角形面积相等建立关于DE、DF的等式，代入已知边长即可求出二者的比值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$ S_{△ ABD}=S_{△ ACD} $。
又
∵$ DE ⊥ AB $，$ DF ⊥ AC $，
∴$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE $，$ S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF $，
代入AB=6cm，AC=4cm可得：
$ \frac{1}{2}×6× DE=\frac{1}{2}×4× DF $，
化简得$ 6DE=4DF $，
因此$ \frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} $。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是三角形性质应用的基础题型，核心考查面积法求解线段比值，解题关键是掌握中线等分三角形面积的特点，通过面积相等建立未知线段的等量关系，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
首先，AD是△ABC的中线，根据中线的性质可知中线可将三角形分为面积相等的两个小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。其次，DE⊥AB、DF⊥AC，我们可以分别以AB、DE为底和高表示△ABD的面积，以AC、DF为底和高表示△ACD的面积，利用两个三角形面积相等建立关于DE、DF的等式，代入已知边长即可求出二者的比值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$ S_{△ ABD}=S_{△ ACD} $。
又
∵$ DE ⊥ AB $，$ DF ⊥ AC $，
∴$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE $，$ S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF $，
代入AB=6cm，AC=4cm可得：
$ \frac{1}{2}×6× DE=\frac{1}{2}×4× DF $，
化简得$ 6DE=4DF $，
因此$ \frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} $。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是三角形性质应用的基础题型，核心考查面积法求解线段比值，解题关键是掌握中线等分三角形面积的特点，通过面积相等建立未知线段的等量关系，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 如图，在$△ ABC$中，$BE$，$CF$分别是$△ ABC$的两条高，且相交于点$D$.
(1) 若$∠ A = 70°$，求$∠ BDC$的度数；
(2) 若$∠ BDC = 120°$，求$∠ A$的度数.
7. 如图，在$△ ABC$中，$BE$，$CF$分别是$△ ABC$的两条高，且相交于点$D$.
(1) 若$∠ A = 70°$，求$∠ BDC$的度数；
(2) 若$∠ BDC = 120°$，求$∠ A$的度数.
答案
7. (1) 110° (2) 60°
解析
【分析】
解题思路如下：1. 由BE、CF是△ABC的高，可得∠AFC=∠CEB=90°；2. 求∠BDC时，观察到∠BDC是△CDE的外角，根据三角形外角性质，∠BDC=∠CEB+∠ACD，因此只需先在Rt△AFC中求出∠ACD的度数，即可算出∠BDC；3. 若已知∠BDC，可先利用外角性质反推∠ACD的度数，再在Rt△AFC中利用三角形内角和求出∠A的度数。
【解析】
(1) 解：
∵BE、CF分别是△ABC的高，
∴CF⊥AB，BE⊥AC，即∠AFC=∠CEB=90°，
在△AFC中，由三角形内角和为180°得：
∠ACF = 180° - ∠A - ∠AFC = 180° - 70° - 90° = 20°，
∵∠BDC是△CDE的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BDC = ∠CEB + ∠ACF = 90° + 20° = 110°。
(2) 解：
∵∠BDC是△CDE的外角，∠CEB=90°，
∴∠ACF = ∠BDC - ∠CEB = 120° - 90° = 30°，
又
∵∠AFC=90°，在△AFC中由三角形内角和为180°得：
∠A = 180° - ∠AFC - ∠ACF = 180° - 90° - 30° = 60°。
【答案】
(1) $\boxed{110°}$；(2) $\boxed{60°}$
【知识点】
三角形高的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形的边角关系设题，解题的关键是灵活运用三角形高的性质、内角和定理以及外角性质，建立已知角和所求角之间的联系，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 由BE、CF是△ABC的高，可得∠AFC=∠CEB=90°；2. 求∠BDC时，观察到∠BDC是△CDE的外角，根据三角形外角性质，∠BDC=∠CEB+∠ACD，因此只需先在Rt△AFC中求出∠ACD的度数，即可算出∠BDC；3. 若已知∠BDC，可先利用外角性质反推∠ACD的度数，再在Rt△AFC中利用三角形内角和求出∠A的度数。
【解析】
(1) 解：
∵BE、CF分别是△ABC的高，
∴CF⊥AB，BE⊥AC，即∠AFC=∠CEB=90°，
在△AFC中，由三角形内角和为180°得：
∠ACF = 180° - ∠A - ∠AFC = 180° - 70° - 90° = 20°，
∵∠BDC是△CDE的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BDC = ∠CEB + ∠ACF = 90° + 20° = 110°。
(2) 解：
∵∠BDC是△CDE的外角，∠CEB=90°，
∴∠ACF = ∠BDC - ∠CEB = 120° - 90° = 30°，
又
∵∠AFC=90°，在△AFC中由三角形内角和为180°得：
∠A = 180° - ∠AFC - ∠ACF = 180° - 90° - 30° = 60°。
【答案】
(1) $\boxed{110°}$；(2) $\boxed{60°}$
【知识点】
三角形高的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形的边角关系设题，解题的关键是灵活运用三角形高的性质、内角和定理以及外角性质，建立已知角和所求角之间的联系，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
