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1.把多项式$a^4 -4a^2$分解因式，结果正确的是（
A.$(a^2 -2a)(a^2 +2a)$
B.$a^2(a^2 -4)$
C.$a^2(a+2)(a-2)$
D.$a^2(a-2)^2$
C
）A.$(a^2 -2a)(a^2 +2a)$
B.$a^2(a^2 -4)$
C.$a^2(a+2)(a-2)$
D.$a^2(a-2)^2$
答案
1.C
解析
【分析】
要对多项式进行因式分解，需遵循因式分解的常规步骤：第一步先找多项式各项的公因式，提取公因式后再观察剩余部分是否能用公式法继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。同时需逐一判断各选项是否符合分解彻底、形式正确的要求。
【解析】
对多项式$a^4 -4a^2$分解因式：
1. 先提取公因式：观察到两项都含有公因式$a^2$，提取后得：
$a^4 -4a^2 = a^2(a^2 - 4)$
2. 再分解剩余部分：$a^2 -4$符合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$的形式（这里$m=a$，$n=2$），继续分解得：
$a^2 -4=(a+2)(a-2)$
因此原式分解的最终结果为$a^2(a+2)(a-2)$。
再验证其余选项：
A选项：$(a^2 -2a)(a^2 +2a)$的两个因式还可分别提取公因式$a$，未分解彻底，错误；
B选项：$a^2(a^2 -4)$中$a^2-4$还可继续分解，未分解彻底，错误；
D选项：$a^2-4$不是完全平方式，不能分解为$(a-2)^2$，分解形式错误，错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，因式分解的彻底性
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要牢记因式分解的顺序：先提公因式，再套用公式，最后必须检查所有因式是否已经不能再分解，避免出现分解不彻底或者公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
要对多项式进行因式分解，需遵循因式分解的常规步骤：第一步先找多项式各项的公因式，提取公因式后再观察剩余部分是否能用公式法继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。同时需逐一判断各选项是否符合分解彻底、形式正确的要求。
【解析】
对多项式$a^4 -4a^2$分解因式：
1. 先提取公因式：观察到两项都含有公因式$a^2$，提取后得：
$a^4 -4a^2 = a^2(a^2 - 4)$
2. 再分解剩余部分：$a^2 -4$符合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$的形式（这里$m=a$，$n=2$），继续分解得：
$a^2 -4=(a+2)(a-2)$
因此原式分解的最终结果为$a^2(a+2)(a-2)$。
再验证其余选项：
A选项：$(a^2 -2a)(a^2 +2a)$的两个因式还可分别提取公因式$a$，未分解彻底，错误；
B选项：$a^2(a^2 -4)$中$a^2-4$还可继续分解，未分解彻底，错误；
D选项：$a^2-4$不是完全平方式，不能分解为$(a-2)^2$，分解形式错误，错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，因式分解的彻底性
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要牢记因式分解的顺序：先提公因式，再套用公式，最后必须检查所有因式是否已经不能再分解，避免出现分解不彻底或者公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
2.一次课堂练习,小颖同学做了以下几道因式分解题,其中没有分解彻底的是 (
A.$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
B.$x^2 y - y^3 = y(x + y)(x - y)$
C.$-m^2 + 4n^2 = (2n + m)(2n - m)$
D.$3p^2 - 27q^2 = 3(p + 3q)(p - 3q)$
A
)A.$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
B.$x^2 y - y^3 = y(x + y)(x - y)$
C.$-m^2 + 4n^2 = (2n + m)(2n - m)$
D.$3p^2 - 27q^2 = 3(p + 3q)(p - 3q)$
答案
2.A
解析
【分析】
这道题考查因式分解是否彻底的判断，解题思路如下：首先明确因式分解的核心要求：分解后的每一个多项式因式都不能再用提公因式法、公式法等方法继续分解为止。接下来我们逐一分析每个选项的分解结果，判断是否还有可继续分解的因式即可。
【解析】
我们逐个验证各选项的因式分解情况：
A选项：$x^3 - x = x(x^2 - 1)$，其中因式$x^2-1$满足平方差公式的结构特征，还可继续分解为$(x+1)(x-1)$，完整的分解结果应为$x(x+1)(x-1)$，因此该选项分解不彻底；
B选项：$x^2 y - y^3 = y(x^2 - y^2) = y(x + y)(x - y)$，最终所有因式都是一次整式，无法继续分解，分解彻底；
C选项：$-m^2 + 4n^2 = (2n)^2 - m^2 = (2n + m)(2n - m)$，最终所有因式都是一次整式，无法继续分解，分解彻底；
D选项：$3p^2 - 27q^2 = 3(p^2 - 9q^2) = 3(p + 3q)(p - 3q)$，最终所有因式都是一次整式，无法继续分解，分解彻底。
因此没有分解彻底的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的判定；提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意分解完成后养成检查的习惯，确认每个因式都不能再继续分解，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查因式分解是否彻底的判断，解题思路如下：首先明确因式分解的核心要求：分解后的每一个多项式因式都不能再用提公因式法、公式法等方法继续分解为止。接下来我们逐一分析每个选项的分解结果，判断是否还有可继续分解的因式即可。
【解析】
我们逐个验证各选项的因式分解情况：
A选项：$x^3 - x = x(x^2 - 1)$，其中因式$x^2-1$满足平方差公式的结构特征，还可继续分解为$(x+1)(x-1)$，完整的分解结果应为$x(x+1)(x-1)$，因此该选项分解不彻底；
B选项：$x^2 y - y^3 = y(x^2 - y^2) = y(x + y)(x - y)$，最终所有因式都是一次整式，无法继续分解，分解彻底；
C选项：$-m^2 + 4n^2 = (2n)^2 - m^2 = (2n + m)(2n - m)$，最终所有因式都是一次整式，无法继续分解，分解彻底；
D选项：$3p^2 - 27q^2 = 3(p^2 - 9q^2) = 3(p + 3q)(p - 3q)$，最终所有因式都是一次整式，无法继续分解，分解彻底。
因此没有分解彻底的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的判定；提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意分解完成后养成检查的习惯，确认每个因式都不能再继续分解，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
3.利用因式分解计算$11× 102^2 -11× 98^2$的结果是（
A.44
B.800
C.2 200
D.8 800
D
）A.44
B.800
C.2 200
D.8 800
答案
3.D
解析
【分析】
观察式子结构可知，原式的两项都含有公因式11，因此可先提取公因式简化式子；提取公因式后剩余部分为102²与98²的差，刚好符合平方差公式的形式，再利用平方差公式分解因式后计算，能避免直接计算大数乘方，大幅降低运算量。
【解析】
解：$11× 102^2 -11× 98^2$
$=11×(102^2 - 98^2)$ （提取公因式11）
$=11×(102 - 98)×(102 + 98)$ （根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解）
$=11×4×200$
$=11×800$
$=8800$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，先提取公因式再套用乘法公式的分解思路，是简化含乘方的混合运算的常用技巧，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
观察式子结构可知，原式的两项都含有公因式11，因此可先提取公因式简化式子；提取公因式后剩余部分为102²与98²的差，刚好符合平方差公式的形式，再利用平方差公式分解因式后计算，能避免直接计算大数乘方，大幅降低运算量。
【解析】
解：$11× 102^2 -11× 98^2$
$=11×(102^2 - 98^2)$ （提取公因式11）
$=11×(102 - 98)×(102 + 98)$ （根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解）
$=11×4×200$
$=11×800$
$=8800$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，先提取公因式再套用乘法公式的分解思路，是简化含乘方的混合运算的常用技巧，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
4.分解因式：
(1)$a^2b - 16b$；
(2)$1 - a^4$；
(3)$x^2(x - y) - 4(x - y)$。
(1)$a^2b - 16b$；
(2)$1 - a^4$；
(3)$x^2(x - y) - 4(x - y)$。
答案
4.解：(1)$b(a+4)(a-4)$。(2)$(1-a)(1+a)(1+a^2)$。(3)$(x-y)(x+2)(x-2)$。
解析
【分析】
这三道因式分解题遵循通用的解题逻辑：①拿到题目先观察多项式是否含有公因式，若有则第一步先提取公因式；②提取公因式后，观察剩余多项式的结构，若为两项且符合“两个数的平方差”的特征，就用平方差公式继续分解；③因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，不可中途停止。
具体到各小题：(1)先提取公因式$b$，剩余的$a^2-16$是平方差形式，可继续分解；(2)原式本身是$1^2$与$(a^2)^2$的差，先用平方差分解后，剩余的$1-a^2$仍符合平方差特征，需二次分解；(3)先提取公因式$(x-y)$，剩余的$x^2-4$是平方差形式，再继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}a^2b - 16b &= b(a^2 - 16) \\&= b(a^2 - 4^2) \\&= b(a+4)(a-4)\end{aligned}$
(2) 两次使用平方差公式分解，保证分解彻底：
$\begin{aligned}1 - a^4 &= 1^2 - (a^2)^2 \\&= (1 + a^2)(1 - a^2) \\&= (1 + a^2)(1 + a)(1 - a)\end{aligned}$
(3) 先提取公因式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}x^2(x - y) - 4(x - y) &= (x - y)(x^2 - 4) \\&= (x - y)(x^2 - 2^2) \\&= (x - y)(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
【答案】
(1)$b(a+4)(a-4)$；(2)$(1-a)(1+a)(1+a^2)$；(3)$(x-y)(x+2)(x-2)$
【知识点】
提公因式法；平方差公式；因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考察“先提公因式、后用公式”的分解步骤，解题的关键是熟练识别平方差公式的结构特征，同时要注意避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
这三道因式分解题遵循通用的解题逻辑：①拿到题目先观察多项式是否含有公因式，若有则第一步先提取公因式；②提取公因式后，观察剩余多项式的结构，若为两项且符合“两个数的平方差”的特征，就用平方差公式继续分解；③因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，不可中途停止。
具体到各小题：(1)先提取公因式$b$，剩余的$a^2-16$是平方差形式，可继续分解；(2)原式本身是$1^2$与$(a^2)^2$的差，先用平方差分解后，剩余的$1-a^2$仍符合平方差特征，需二次分解；(3)先提取公因式$(x-y)$，剩余的$x^2-4$是平方差形式，再继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}a^2b - 16b &= b(a^2 - 16) \\&= b(a^2 - 4^2) \\&= b(a+4)(a-4)\end{aligned}$
(2) 两次使用平方差公式分解，保证分解彻底：
$\begin{aligned}1 - a^4 &= 1^2 - (a^2)^2 \\&= (1 + a^2)(1 - a^2) \\&= (1 + a^2)(1 + a)(1 - a)\end{aligned}$
(3) 先提取公因式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}x^2(x - y) - 4(x - y) &= (x - y)(x^2 - 4) \\&= (x - y)(x^2 - 2^2) \\&= (x - y)(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
【答案】
(1)$b(a+4)(a-4)$；(2)$(1-a)(1+a)(1+a^2)$；(3)$(x-y)(x+2)(x-2)$
【知识点】
提公因式法；平方差公式；因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考察“先提公因式、后用公式”的分解步骤，解题的关键是熟练识别平方差公式的结构特征，同时要注意避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75
5.多项式$2x^3 -4x^2 +2x$因式分解为 （
A.$2x(x-1)^2$
B.$2x(x+1)^2$
C.$x(2x-1)^2$
D.$x(2x+1)^2$
A
）A.$2x(x-1)^2$
B.$2x(x+1)^2$
C.$x(2x-1)^2$
D.$x(2x+1)^2$
答案
5.A
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确保每个因式都不能再分解。本题先提取公因式，再判断剩余多项式是否满足完全平方公式特征就能得出结果。
【解析】
对多项式$2x^3 -4x^2 +2x$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：观察多项式各项，公因式为$2x$，提取后可得：
$2x^3 -4x^2 +2x = 2x(x^2 - 2x + 1)$
2. 套用完全平方公式：剩余多项式$x^2 - 2x +1$符合完全平方式的结构，即$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x$，$b=1$，因此：
$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$
综上，原式因式分解结果为$2x(x-1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本步骤，要注意必须先提取公因式再套用公式，同时要准确区分完全平方和、差公式的符号特征，避免漏提公因式或记错公式出错。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路即可：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确保每个因式都不能再分解。本题先提取公因式，再判断剩余多项式是否满足完全平方公式特征就能得出结果。
【解析】
对多项式$2x^3 -4x^2 +2x$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：观察多项式各项，公因式为$2x$，提取后可得：
$2x^3 -4x^2 +2x = 2x(x^2 - 2x + 1)$
2. 套用完全平方公式：剩余多项式$x^2 - 2x +1$符合完全平方式的结构，即$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x$，$b=1$，因此：
$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$
综上，原式因式分解结果为$2x(x-1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本步骤，要注意必须先提取公因式再套用公式，同时要准确区分完全平方和、差公式的符号特征，避免漏提公因式或记错公式出错。
【难度系数】
0.8
6.因式分解：
(1)$3ax^2 + 6axy + 3ay^2 =$
(2)$-m^3n + 8m^2n^2 - 16mn^3 =$
(1)$3ax^2 + 6axy + 3ay^2 =$
$3a(x+y)^2$
.(2)$-m^3n + 8m^2n^2 - 16mn^3 =$
$-mn(m-4n)^2$
.答案
6.(1)$3a(x+y)^2$ (2)$-mn(m-4n)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，对应套用公式继续分解，第三步检查分解是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
第(1)题先找各项公因式：系数最大公约数是3，都含字母a，先提取3a，再验证剩余部分是否符合完全平方公式；第(2)题首项系数为负，优先提取负号，再提取公因式mn，最后验证剩余部分符合完全平方公式结构，整理即可得到结果。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$3a$：
$3ax^2 + 6axy + 3ay^2 = 3a(x^2 + 2xy + y^2)$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$，因此：
原式$=3a(x+y)^2$
(2) 第一步提取公因式$-mn$（同步提取负号避免符号错误）：
$-m^3n + 8m^2n^2 - 16mn^3 = -mn(m^2 - 8mn + 16n^2)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$m^2 - 8mn + 16n^2 = (m-4n)^2$，因此：
原式$=-mn(m-4n)^2$
【答案】
(1)$3a(x+y)^2$ (2)$-mn(m-4n)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查因式分解的基本操作步骤，解题时需注意先提公因式再套用公式，首项为负时优先提取负号，最终要保证分解结果彻底，无可以继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，对应套用公式继续分解，第三步检查分解是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
第(1)题先找各项公因式：系数最大公约数是3，都含字母a，先提取3a，再验证剩余部分是否符合完全平方公式；第(2)题首项系数为负，优先提取负号，再提取公因式mn，最后验证剩余部分符合完全平方公式结构，整理即可得到结果。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$3a$：
$3ax^2 + 6axy + 3ay^2 = 3a(x^2 + 2xy + y^2)$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$，因此：
原式$=3a(x+y)^2$
(2) 第一步提取公因式$-mn$（同步提取负号避免符号错误）：
$-m^3n + 8m^2n^2 - 16mn^3 = -mn(m^2 - 8mn + 16n^2)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$m^2 - 8mn + 16n^2 = (m-4n)^2$，因此：
原式$=-mn(m-4n)^2$
【答案】
(1)$3a(x+y)^2$ (2)$-mn(m-4n)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查因式分解的基本操作步骤，解题时需注意先提公因式再套用公式，首项为负时优先提取负号，最终要保证分解结果彻底，无可以继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
7.把下列各式分解因式：
(1)$-\frac{1}{2}a^2 + 2a - 2$；
(2)$-mx^2 -6mx -9m$；
(3)$2x^3y +4x^2y^2 +2xy^3$。
(1)$-\frac{1}{2}a^2 + 2a - 2$；
(2)$-mx^2 -6mx -9m$；
(3)$2x^3y +4x^2y^2 +2xy^3$。
答案
7.解：(1)$-\frac{1}{2}(a-2)^2$。(2)$-m(x+3)^2$。(3)$2xy(x+y)^2$。
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用解题思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式，若多项式首项系数为负，可优先提取负号使括号内首项为正；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合乘法公式的结构特征，本题3个小题提取公因式后均符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的形式，直接套公式分解即可；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$-\frac{1}{2}$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}-\frac{1}{2}a^2 + 2a - 2&=-\frac{1}{2}(a^2 - 4a + 4)\\&=-\frac{1}{2}(a-2)^2\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$-m$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}-mx^2 -6mx -9m&=-m(x^2 +6x +9)\\&=-m(x+3)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$2xy$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}2x^3y +4x^2y^2 +2xy^3&=2xy(x^2 + 2xy + y^2)\\&=2xy(x+y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{2}(a-2)^2$；(2)$-m(x+3)^2$；(3)$2xy(x+y)^2$
【知识点】
1.提公因式法 2.完全平方公式法 3.因式分解步骤
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作流程，解题时需注意公因式要提取完整，提取负号后括号内各项要变号，分解完成后要确认所有因式不能再分解，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用解题思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式，若多项式首项系数为负，可优先提取负号使括号内首项为正；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合乘法公式的结构特征，本题3个小题提取公因式后均符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的形式，直接套公式分解即可；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$-\frac{1}{2}$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}-\frac{1}{2}a^2 + 2a - 2&=-\frac{1}{2}(a^2 - 4a + 4)\\&=-\frac{1}{2}(a-2)^2\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$-m$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}-mx^2 -6mx -9m&=-m(x^2 +6x +9)\\&=-m(x+3)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$2xy$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}2x^3y +4x^2y^2 +2xy^3&=2xy(x^2 + 2xy + y^2)\\&=2xy(x+y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{2}(a-2)^2$；(2)$-m(x+3)^2$；(3)$2xy(x+y)^2$
【知识点】
1.提公因式法 2.完全平方公式法 3.因式分解步骤
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作流程，解题时需注意公因式要提取完整，提取负号后括号内各项要变号，分解完成后要确认所有因式不能再分解，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.分解因式：$m^4(x-y)+81(y-x)=$
.
.
答案
8.$(x-y)(m^2+9)(m+3)(m-3)$
解析
【分析】
解题时先观察式子的结构特征：首先发现两项中分别含有因式$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，可先统一为公因式；第二步提取公因式后，得到的剩余多项式符合平方差公式的结构，可第一次运用平方差公式分解；分解后得到的因式中$m^2-9$仍然符合平方差公式的结构，需要再次运用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
1. 统一公因式：将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，则
原式$=m^4(x-y)-81(x-y)$
2. 提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)(m^4-81)$
3. 第一次运用平方差公式分解$m^4-81$（其中$m^4=(m^2)^2$，$81=9^2$）：
$=(x-y)(m^2+9)(m^2-9)$
4. 第二次运用平方差公式分解$m^2-9$：
$=(x-y)(m^2+9)(m+3)(m-3)$
【答案】
$(x-y)(m^2+9)(m+3)(m-3)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解彻底性
【点评】
这道题是因式分解的典型基础题，解题时要注意先处理互为相反数的因式，避免符号出错，同时要牢记因式分解必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解到$(x-y)(m^2+9)(m^2-9)$就停止的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先观察式子的结构特征：首先发现两项中分别含有因式$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，可先统一为公因式；第二步提取公因式后，得到的剩余多项式符合平方差公式的结构，可第一次运用平方差公式分解；分解后得到的因式中$m^2-9$仍然符合平方差公式的结构，需要再次运用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
1. 统一公因式：将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，则
原式$=m^4(x-y)-81(x-y)$
2. 提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)(m^4-81)$
3. 第一次运用平方差公式分解$m^4-81$（其中$m^4=(m^2)^2$，$81=9^2$）：
$=(x-y)(m^2+9)(m^2-9)$
4. 第二次运用平方差公式分解$m^2-9$：
$=(x-y)(m^2+9)(m+3)(m-3)$
【答案】
$(x-y)(m^2+9)(m+3)(m-3)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解彻底性
【点评】
这道题是因式分解的典型基础题，解题时要注意先处理互为相反数的因式，避免符号出错，同时要牢记因式分解必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解到$(x-y)(m^2+9)(m^2-9)$就停止的错误。
【难度系数】
0.8
9. 中考趋势·开放性问题 请你写出一个只含有三项的多项式，使它在提取公因式后还能用完全平方公式分解因式. 你写出的符合条件的多项式是
$2a^2b^2+8+8ab$(答案不唯一)
.答案
9.$2a^2b^2+8+8ab$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以逆向思考，结合题目的三个要求逐步推导：①多项式有且仅有三项；②多项式存在公因式可提取；③提取公因式后剩余的三项式满足完全平方公式的结构特征。首先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们可以先写出一个符合完全平方结构的三项式，再给这个三项式乘一个任意非零的单项式作为公因式，展开后得到的三项多项式就满足要求。
【解析】
我们按以下步骤构造符合条件的多项式：
1. 先构造一个完全平方式，例如：$(ab+2)^2=a^2b^2+4ab+4$，这是一个三项的完全平方式；
2. 给这个完全平方式乘一个非零单项式作为公因式，比如取公因式为2，可得：
$2(a^2b^2+4ab+4)=2a^2b^2+8ab+8$；
3. 验证：这个多项式是三项，提取公因式2后得到$a^2b^2+4ab+4=(ab+2)^2$，符合提取公因式后能用完全平方公式分解的要求。
注：答案不唯一，其他符合要求的多项式也可。
【答案】
$2a^2b^2+8ab+8$（答案不唯一）
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是开放性题目，主要考查因式分解两种基本方法的综合运用，需要学生逆向构造符合要求的代数式，灵活掌握因式分解的步骤和公式结构就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以逆向思考，结合题目的三个要求逐步推导：①多项式有且仅有三项；②多项式存在公因式可提取；③提取公因式后剩余的三项式满足完全平方公式的结构特征。首先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们可以先写出一个符合完全平方结构的三项式，再给这个三项式乘一个任意非零的单项式作为公因式，展开后得到的三项多项式就满足要求。
【解析】
我们按以下步骤构造符合条件的多项式：
1. 先构造一个完全平方式，例如：$(ab+2)^2=a^2b^2+4ab+4$，这是一个三项的完全平方式；
2. 给这个完全平方式乘一个非零单项式作为公因式，比如取公因式为2，可得：
$2(a^2b^2+4ab+4)=2a^2b^2+8ab+8$；
3. 验证：这个多项式是三项，提取公因式2后得到$a^2b^2+4ab+4=(ab+2)^2$，符合提取公因式后能用完全平方公式分解的要求。
注：答案不唯一，其他符合要求的多项式也可。
【答案】
$2a^2b^2+8ab+8$（答案不唯一）
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是开放性题目，主要考查因式分解两种基本方法的综合运用，需要学生逆向构造符合要求的代数式，灵活掌握因式分解的步骤和公式结构就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
