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9.新情境 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰。给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（
A.甲：$M+N$
B.乙：$M-N$
C.丙：$N+P$
D.丁：$N-P$
D
）A.甲：$M+N$
B.乙：$M-N$
C.丙：$N+P$
D.丁：$N-P$
答案
9.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确三张卡片对应的代数式M、N、P，再分别计算四个选项中加减运算的结果，最后根据因式分解的定义（将多项式化成几个整式乘积的形式）判断每个结果能否因式分解，不能分解的对应同学即为第一轮被淘汰的对象。
【解析】
已知$M=x^2+5x+12$，$N=5x+13$，$P=x^2-13$，逐个计算如下：
1. 计算甲的$M+N$：
$M+N=(x^2+5x+12)+(5x+13)=x^2+10x+25=(x+5)^2$，可以因式分解，甲不淘汰；
2. 计算乙的$M-N$：
$M-N=(x^2+5x+12)-(5x+13)=x^2-1=(x+1)(x-1)$，可以因式分解，乙不淘汰；
3. 计算丙的$N+P$：
$N+P=(5x+13)+(x^2-13)=x^2+5x=x(x+5)$，可以因式分解，丙不淘汰；
4. 计算丁的$N-P$：
$N-P=(5x+13)-(x^2-13)=-x^2+5x+26$，该多项式在有理数范围内无法分解为几个整式的乘积，因此丁被淘汰。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减运算，因式分解，公式法分解因式
【点评】
本题结合趣味游戏情境考查整式运算和因式分解的相关知识，需要学生熟练掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，同时能灵活运用提公因式法、公式法判断多项式能否因式分解，计算时要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确三张卡片对应的代数式M、N、P，再分别计算四个选项中加减运算的结果，最后根据因式分解的定义（将多项式化成几个整式乘积的形式）判断每个结果能否因式分解，不能分解的对应同学即为第一轮被淘汰的对象。
【解析】
已知$M=x^2+5x+12$，$N=5x+13$，$P=x^2-13$，逐个计算如下：
1. 计算甲的$M+N$：
$M+N=(x^2+5x+12)+(5x+13)=x^2+10x+25=(x+5)^2$，可以因式分解，甲不淘汰；
2. 计算乙的$M-N$：
$M-N=(x^2+5x+12)-(5x+13)=x^2-1=(x+1)(x-1)$，可以因式分解，乙不淘汰；
3. 计算丙的$N+P$：
$N+P=(5x+13)+(x^2-13)=x^2+5x=x(x+5)$，可以因式分解，丙不淘汰；
4. 计算丁的$N-P$：
$N-P=(5x+13)-(x^2-13)=-x^2+5x+26$，该多项式在有理数范围内无法分解为几个整式的乘积，因此丁被淘汰。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减运算，因式分解，公式法分解因式
【点评】
本题结合趣味游戏情境考查整式运算和因式分解的相关知识，需要学生熟练掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，同时能灵活运用提公因式法、公式法判断多项式能否因式分解，计算时要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
10.利用因式分解计算：
(1)$4+2×196+98^2$；
(2)$\frac{1}{2}×3.7^2 - 3.7×2.7 + \frac{1}{2}×2.7^2$。
(1)$4+2×196+98^2$；
(2)$\frac{1}{2}×3.7^2 - 3.7×2.7 + \frac{1}{2}×2.7^2$。
答案
10.解：(1)$10\ 000$。(2)$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
这两道题是利用因式分解简化运算的基础题型，解题核心是识别式子结构，将其转化为完全平方公式的形式。(1)观察式子：4可化为$2^2$，$98^2$是98的平方，中间项$2×196$可变形为$2×2×98$，恰好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，代入即可简便计算；(2)先提取公因式$\frac{1}{2}$，剩余部分刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，代入后可大幅简化运算。
【解析】
(1) 对原式变形后用完全平方和公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^2 + 2×2×98 + 98^2\\&=(2+98)^2\\&=100^2\\&=10000\end{aligned}$
(2) 先提取公因式，再用完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×(3.7^2 - 2×3.7×2.7 + 2.7^2)\\&=\frac{1}{2}×(3.7 - 2.7)^2\\&=\frac{1}{2}×1^2\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$10000$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式因式分解、提公因式法、因式分解的应用
【点评】
本题考查运用因式分解进行简便计算，解题关键是观察式子特征，通过适当变形将式子转化为符合乘法公式的结构，避开复杂的直接运算，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题是利用因式分解简化运算的基础题型，解题核心是识别式子结构，将其转化为完全平方公式的形式。(1)观察式子：4可化为$2^2$，$98^2$是98的平方，中间项$2×196$可变形为$2×2×98$，恰好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，代入即可简便计算；(2)先提取公因式$\frac{1}{2}$，剩余部分刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，代入后可大幅简化运算。
【解析】
(1) 对原式变形后用完全平方和公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^2 + 2×2×98 + 98^2\\&=(2+98)^2\\&=100^2\\&=10000\end{aligned}$
(2) 先提取公因式，再用完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×(3.7^2 - 2×3.7×2.7 + 2.7^2)\\&=\frac{1}{2}×(3.7 - 2.7)^2\\&=\frac{1}{2}×1^2\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$10000$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式因式分解、提公因式法、因式分解的应用
【点评】
本题考查运用因式分解进行简便计算，解题关键是观察式子特征，通过适当变形将式子转化为符合乘法公式的结构，避开复杂的直接运算，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
11.若$a,b$满足$a^2 + b^2 -2a +6b +10=0$，求$a+b$的值.
答案
11.解：$a+b=-2$。
解析
【分析】
观察已知等式的结构，左边包含a、b的二次项、一次项和常数项，可采用配方法：将常数10拆分为1和9，分别与含a、b的项组合凑成完全平方式，再利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求出a、b的取值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
解：对已知等式变形，将常数10拆分为1+9，分组可得：
$a^2 - 2a + 1 + b^2 + 6b + 9 = 0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(a-1)^2 + (b+3)^2 = 0$
∵平方数是非负数，即$(a-1)^2 ≥ 0$，$(b+3)^2 ≥ 0$
∴要使两个非负数的和为0，需同时满足：
$a-1=0$，$b+3=0$
解得：$a=1$，$b=-3$
因此$a+b=1+(-3)=-2$
【答案】
$a+b=-2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 非负数的性质
【点评】
本题是配方法应用的典型题目，解题关键是合理拆分常数项，将多项式凑成完全平方的形式，再结合非负数的性质求解，属于因式分解模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，左边包含a、b的二次项、一次项和常数项，可采用配方法：将常数10拆分为1和9，分别与含a、b的项组合凑成完全平方式，再利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求出a、b的取值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
解：对已知等式变形，将常数10拆分为1+9，分组可得：
$a^2 - 2a + 1 + b^2 + 6b + 9 = 0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(a-1)^2 + (b+3)^2 = 0$
∵平方数是非负数，即$(a-1)^2 ≥ 0$，$(b+3)^2 ≥ 0$
∴要使两个非负数的和为0，需同时满足：
$a-1=0$，$b+3=0$
解得：$a=1$，$b=-3$
因此$a+b=1+(-3)=-2$
【答案】
$a+b=-2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 非负数的性质
【点评】
本题是配方法应用的典型题目，解题关键是合理拆分常数项，将多项式凑成完全平方的形式，再结合非负数的性质求解，属于因式分解模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
12. 中考趋势·阅读理解 仔细阅读下面例题，解答问题：
阅读材料:若$m^2 - 2mn + 2n^2 -8n +16=0$，求$m,n$的值.
解:∵$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
∴$(m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$，
即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
∴$(m-n)^2=0$且$(n-4)^2=0$，
∴$m=n=4$.
根据你的观察，探究下面的问题:
(1)$a^2 -2a +1 +b^2=0$，则$a=$
(2)已知$x^2 +2y^2 +2xy -4y +4=0$，求$x^y$的值；
(3)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数，且满足$2a^2 +b^2 -4a -10b +27=0$，求$△ ABC$的周长.
阅读材料:若$m^2 - 2mn + 2n^2 -8n +16=0$，求$m,n$的值.
解:∵$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
∴$(m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$，
即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
∴$(m-n)^2=0$且$(n-4)^2=0$，
∴$m=n=4$.
根据你的观察，探究下面的问题:
(1)$a^2 -2a +1 +b^2=0$，则$a=$
1
，$b=$0
；(2)已知$x^2 +2y^2 +2xy -4y +4=0$，求$x^y$的值；
(3)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数，且满足$2a^2 +b^2 -4a -10b +27=0$，求$△ ABC$的周长.
答案
12.解：(1)$1$；$0$ (2)$x^y=4$。(3)$△ ABC$的周长为$11$。
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题核心是将多项式拆分成若干个完全平方式的和，再利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解未知量，最后结合对应知识点计算结果。具体思路：(1)直接将原式左侧改写为两个完全平方式的和，列方程求a、b；(2)将含y的项拆分，分别和x的项、常数项配成完全平方，求出x、y后代入计算$x^y$；(3)对a、b分别配方求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的取值，最后计算周长。
【解析】
(1) 对原式变形：
∵ $a^2 - 2a +1 +b^2 = 0$
∴ $(a-1)^2 + b^2 = 0$
∵ 平方具有非负性，即$(a-1)^2≥0$，$b^2≥0$
∴ $a-1=0$，$b=0$
解得 $a=1$，$b=0$。
(2) 对原式拆分配方：
∵ $x^2 + 2y^2 + 2xy -4y +4 =0$
∴ $(x^2 +2xy + y^2) + (y^2 -4y +4) =0$
即 $(x+y)^2 + (y-2)^2 =0$
∵ 平方非负
∴ $\begin{cases}x+y=0 \\ y-2=0 \end{cases}$
解得 $y=2$，$x=-2$
∴ $x^y = (-2)^2 =4$。
(3) 对原式拆分配方：
∵ $2a^2 +b^2 -4a -10b +27 =0$
将式子拆分为含a和含b的两组：
$2(a^2 -2a) + (b^2 -10b) +27 =0$
分别配方：
$2[(a-1)^2 -1] + [(b-5)^2 -25] +27 =0$
化简得：
$2(a-1)^2 -2 + (b-5)^2 -25 +27 =0$
即 $2(a-1)^2 + (b-5)^2 =0$
∵ 平方非负
∴ $a-1=0$，$b-5=0$
解得 $a=1$，$b=5$
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可得 $5-1 ＜ c ＜ 5+1$，即 $4 ＜ c ＜6$
∵ c是正整数，
∴ $c=5$
∴ △ABC的周长为 $1+5+5=11$。
【答案】
(1)1；0 (2)$x^y=4$ (3)△ABC的周长为11
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于阅读理解类题型，以配方法为核心，结合非负性与三角形三边关系综合考查，解题关键是掌握拆项、凑完全平方的技巧，能有效锻炼式子变形的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法的应用，解题核心是将多项式拆分成若干个完全平方式的和，再利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解未知量，最后结合对应知识点计算结果。具体思路：(1)直接将原式左侧改写为两个完全平方式的和，列方程求a、b；(2)将含y的项拆分，分别和x的项、常数项配成完全平方，求出x、y后代入计算$x^y$；(3)对a、b分别配方求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的取值，最后计算周长。
【解析】
(1) 对原式变形：
∵ $a^2 - 2a +1 +b^2 = 0$
∴ $(a-1)^2 + b^2 = 0$
∵ 平方具有非负性，即$(a-1)^2≥0$，$b^2≥0$
∴ $a-1=0$，$b=0$
解得 $a=1$，$b=0$。
(2) 对原式拆分配方：
∵ $x^2 + 2y^2 + 2xy -4y +4 =0$
∴ $(x^2 +2xy + y^2) + (y^2 -4y +4) =0$
即 $(x+y)^2 + (y-2)^2 =0$
∵ 平方非负
∴ $\begin{cases}x+y=0 \\ y-2=0 \end{cases}$
解得 $y=2$，$x=-2$
∴ $x^y = (-2)^2 =4$。
(3) 对原式拆分配方：
∵ $2a^2 +b^2 -4a -10b +27 =0$
将式子拆分为含a和含b的两组：
$2(a^2 -2a) + (b^2 -10b) +27 =0$
分别配方：
$2[(a-1)^2 -1] + [(b-5)^2 -25] +27 =0$
化简得：
$2(a-1)^2 -2 + (b-5)^2 -25 +27 =0$
即 $2(a-1)^2 + (b-5)^2 =0$
∵ 平方非负
∴ $a-1=0$，$b-5=0$
解得 $a=1$，$b=5$
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可得 $5-1 ＜ c ＜ 5+1$，即 $4 ＜ c ＜6$
∵ c是正整数，
∴ $c=5$
∴ △ABC的周长为 $1+5+5=11$。
【答案】
(1)1；0 (2)$x^y=4$ (3)△ABC的周长为11
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于阅读理解类题型，以配方法为核心，结合非负性与三角形三边关系综合考查，解题关键是掌握拆项、凑完全平方的技巧，能有效锻炼式子变形的能力。
【难度系数】
0.7
