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10. [2026合肥期中]将$a^4 -8a^2 +16$分解因式，所得结果正确的是（
A.$a^2(a^2 -8)+16$
B.$(a^2 -8)(a^2 +16)$
C.$(a^2 -4)^2$
D.$(a-2)^2(a+2)^2$
D
）A.$a^2(a^2 -8)+16$
B.$(a^2 -8)(a^2 +16)$
C.$(a^2 -4)^2$
D.$(a-2)^2(a+2)^2$
答案
10.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确因式分解的核心要求：必须将多项式分解到每一个整式因式都不能再分解为止。第一步观察原式结构：$a^4 -8a^2 +16$是三项式，符合完全平方公式“$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$”的结构特征，先套用完全平方公式完成第一次分解；再检查分解得到的因式，判断是否还能继续用公式分解，直到不能分解后对应选项判断即可。
【解析】
解：对原式分步分解因式：
1. 第一次分解（套用完全平方公式）：
将$a^4$看作$(a^2)^2$，$16$看作$4^2$，则：
$a^4 -8a^2 +16=(a^2)^2 - 2· a^2·4 + 4^2=(a^2 - 4)^2$
2. 第二次分解（套用平方差公式，分解未彻底的因式）：
$a^2-4$符合平方差公式“$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$”的结构，因此：
$a^2 - 4=a^2 - 2^2=(a-2)(a+2)$
3. 整理最终结果：
原式$=[(a-2)(a+2)]^2=(a-2)^2(a+2)^2$
逐一判断选项：
A选项结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，错误；
B选项展开后与原式不相等，错误；
C选项$(a^2-4)^2$未分解彻底，还能继续分解，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解，因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的易错点是忽略因式分解要分解到每个因式都不能再分解的要求，误选未分解彻底的C选项，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确因式分解的核心要求：必须将多项式分解到每一个整式因式都不能再分解为止。第一步观察原式结构：$a^4 -8a^2 +16$是三项式，符合完全平方公式“$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$”的结构特征，先套用完全平方公式完成第一次分解；再检查分解得到的因式，判断是否还能继续用公式分解，直到不能分解后对应选项判断即可。
【解析】
解：对原式分步分解因式：
1. 第一次分解（套用完全平方公式）：
将$a^4$看作$(a^2)^2$，$16$看作$4^2$，则：
$a^4 -8a^2 +16=(a^2)^2 - 2· a^2·4 + 4^2=(a^2 - 4)^2$
2. 第二次分解（套用平方差公式，分解未彻底的因式）：
$a^2-4$符合平方差公式“$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$”的结构，因此：
$a^2 - 4=a^2 - 2^2=(a-2)(a+2)$
3. 整理最终结果：
原式$=[(a-2)(a+2)]^2=(a-2)^2(a+2)^2$
逐一判断选项：
A选项结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解，错误；
B选项展开后与原式不相等，错误；
C选项$(a^2-4)^2$未分解彻底，还能继续分解，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解，因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的易错点是忽略因式分解要分解到每个因式都不能再分解的要求，误选未分解彻底的C选项，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
11.在有理数范围内把$x^9 - x$分解因式，结果中因式的个数是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
11.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确因式分解的要求：在有理数范围内分解到每个因式都不能再分解为止，解题遵循“先提公因式，再用公式”的步骤。首先观察多项式$x^9-x$，两项都含公因式$x$，先提取公因式，再对剩余的多项式反复套用平方差公式分解，最后统计所有不可再分解的因式个数即可。
【解析】
解：对$x^9 - x$分解因式：
第一步，提取公因式$x$：
$x^9 - x = x(x^8 - 1)$
第二步，对$x^8-1$用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$x^8 -1 = (x^4)^2 - 1^2 = (x^4 +1)(x^4 -1)$
第三步，对$x^4-1$继续用平方差公式分解：
$x^4 -1 = (x^2)^2 -1^2 = (x^2 +1)(x^2 -1)$
第四步，对$x^2-1$继续用平方差公式分解：
$x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
在有理数范围内，$x^4+1$、$x^2+1$均无法继续分解，因此最终分解结果为：
$x^9 -x = x(x^4 +1)(x^2 +1)(x+1)(x-1)$
统计可得因式共5个。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题重点考查因式分解的规范操作，解题的易错点是分解不彻底，或忽略分解范围要求错误拆分$x^4+1$、$x^2+1$类的因式，导致统计的因式个数出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确因式分解的要求：在有理数范围内分解到每个因式都不能再分解为止，解题遵循“先提公因式，再用公式”的步骤。首先观察多项式$x^9-x$，两项都含公因式$x$，先提取公因式，再对剩余的多项式反复套用平方差公式分解，最后统计所有不可再分解的因式个数即可。
【解析】
解：对$x^9 - x$分解因式：
第一步，提取公因式$x$：
$x^9 - x = x(x^8 - 1)$
第二步，对$x^8-1$用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$x^8 -1 = (x^4)^2 - 1^2 = (x^4 +1)(x^4 -1)$
第三步，对$x^4-1$继续用平方差公式分解：
$x^4 -1 = (x^2)^2 -1^2 = (x^2 +1)(x^2 -1)$
第四步，对$x^2-1$继续用平方差公式分解：
$x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
在有理数范围内，$x^4+1$、$x^2+1$均无法继续分解，因此最终分解结果为：
$x^9 -x = x(x^4 +1)(x^2 +1)(x+1)(x-1)$
统计可得因式共5个。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题重点考查因式分解的规范操作，解题的易错点是分解不彻底，或忽略分解范围要求错误拆分$x^4+1$、$x^2+1$类的因式，导致统计的因式个数出错。
【难度系数】
0.7
12. [2026 芜湖期末]若三角形的三边长分别为$a,b,c$，且满足$a^2b - a^2c + b^2c - b^3 = 0$，则这个三角形一定是（
A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
D
）A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
答案
12.D
解析
【分析】
遇到已知三角形三边满足的等式判断三角形形状的问题，核心解题思路是对等式进行因式分解，将其转化为几个因式乘积为0的形式，再结合三角形边长均为正数的隐含条件，推导边长之间的关系，进而判断三角形形状。本题先对等式左边分组，再逐步提取公因式、运用平方差公式分解因式即可。
【解析】
对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}a^2b - a^2c + b^2c - b^3 &= 0\\a^2(b - c) + b^2(c - b) &= 0\\a^2(b - c) - b^2(b - c) &= 0\\(b - c)(a^2 - b^2) &= 0\\(b - c)(a - b)(a + b) &= 0\end{aligned}$
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴$a + b ＞ 0$（三角形边长为正数，两边之和必然大于0），
因此要使乘积为0，只能是$b - c = 0$或$a - b = 0$，即$b = c$或$a = b$，说明该三角形至少有两条边相等，一定是等腰三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解的应用 2.等腰三角形的判定
【点评】
本题是因式分解在几何判定中的典型应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式分解因式的方法，同时要注意利用三角形边长为正的隐含条件排除不可能的情况，避免错判为等边三角形。
【难度系数】
0.7
遇到已知三角形三边满足的等式判断三角形形状的问题，核心解题思路是对等式进行因式分解，将其转化为几个因式乘积为0的形式，再结合三角形边长均为正数的隐含条件，推导边长之间的关系，进而判断三角形形状。本题先对等式左边分组，再逐步提取公因式、运用平方差公式分解因式即可。
【解析】
对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}a^2b - a^2c + b^2c - b^3 &= 0\\a^2(b - c) + b^2(c - b) &= 0\\a^2(b - c) - b^2(b - c) &= 0\\(b - c)(a^2 - b^2) &= 0\\(b - c)(a - b)(a + b) &= 0\end{aligned}$
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴$a + b ＞ 0$（三角形边长为正数，两边之和必然大于0），
因此要使乘积为0，只能是$b - c = 0$或$a - b = 0$，即$b = c$或$a = b$，说明该三角形至少有两条边相等，一定是等腰三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解的应用 2.等腰三角形的判定
【点评】
本题是因式分解在几何判定中的典型应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式分解因式的方法，同时要注意利用三角形边长为正的隐含条件排除不可能的情况，避免错判为等边三角形。
【难度系数】
0.7
13.分解因式：
(1)$(x-1)+b^{2}(1-x)$；
(2)$16m^{4}-1$；
(3)$(a^{2}-4a)^{2}+8(a^{2}-4a)+16$；
(4)$(m^{2}+mn+n^{2})^{2}-(m^{2}-mn+n^{2})^{2}$。
(1)$(x-1)+b^{2}(1-x)$；
(2)$16m^{4}-1$；
(3)$(a^{2}-4a)^{2}+8(a^{2}-4a)+16$；
(4)$(m^{2}+mn+n^{2})^{2}-(m^{2}-mn+n^{2})^{2}$。
答案
13.解：(1)$(x-1)(1+b)(1-b)$。(2)$(2m+1)(2m-1)(4m^2+1)$。(3)$(a-2)^4$。(4)$4mn(m^2+n^2)$。
解析
【分析】
这四道因式分解题遵循因式分解的常规解题思路：先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式，再判断剩余多项式的结构，若符合平方差或完全平方公式的特征则套用公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
(1)先将(1-x)变形为-(x-1)，即可提取公因式(x-1)，剩余的1-b²符合平方差公式特征，可继续分解；
(2)原式是两个平方项作差，直接套用平方差公式分解后，得到的因式4m²-1仍符合平方差公式，需继续分解；
(3)将(a²-4a)看作一个整体，原式符合完全平方公式的特征，先分解为(a²-4a+4)²，括号内的多项式仍是完全平方结构，继续分解即可；
(4)原式是两个平方项作差，直接套用平方差公式，化简两个括号内的整式后整理即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(x-1)-b^2(x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$=(x-1)(1-b^2)$
利用平方差公式分解$1-b^2$得：$=(x-1)(1+b)(1-b)$
(2) 原式$=(4m^2)^2 - 1^2$
利用平方差公式分解得：$=(4m^2+1)(4m^2-1)$
对$4m^2-1$继续用平方差公式分解得：$=(2m+1)(2m-1)(4m^2+1)$
(3) 将$a^2-4a$看作整体，原式符合完全平方公式$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$（其中$A=a^2-4a$，$B=4$）
则原式$=(a^2-4a+4)^2$
括号内$a^2-4a+4=(a-2)^2$，代入得：$=[(a-2)^2]^2=(a-2)^4$
(4) 原式符合平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$（其中$A=m^2+mn+n^2$，$B=m^2-mn+n^2$）
则原式$=[(m^2+mn+n^2)+(m^2-mn+n^2)][(m^2+mn+n^2)-(m^2-mn+n^2)]$
分别化简两个括号：
第一个括号：$m^2+mn+n^2+m^2-mn+n^2=2m^2+2n^2=2(m^2+n^2)$
第二个括号：$m^2+mn+n^2 - m^2 + mn -n^2=2mn$
相乘得：$=2(m^2+n^2) × 2mn = 4mn(m^2+n^2)$
【答案】
(1)$(x-1)(1+b)(1-b)$；(2)$(2m+1)(2m-1)(4m^2+1)$；(3)$(a-2)^4$；(4)$4mn(m^2+n^2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题时要遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用对应公式，最后检查因式是否分解彻底。掌握乘法公式的结构特征，灵活运用整体思想可简化运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
这四道因式分解题遵循因式分解的常规解题思路：先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式，再判断剩余多项式的结构，若符合平方差或完全平方公式的特征则套用公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
(1)先将(1-x)变形为-(x-1)，即可提取公因式(x-1)，剩余的1-b²符合平方差公式特征，可继续分解；
(2)原式是两个平方项作差，直接套用平方差公式分解后，得到的因式4m²-1仍符合平方差公式，需继续分解；
(3)将(a²-4a)看作一个整体，原式符合完全平方公式的特征，先分解为(a²-4a+4)²，括号内的多项式仍是完全平方结构，继续分解即可；
(4)原式是两个平方项作差，直接套用平方差公式，化简两个括号内的整式后整理即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(x-1)-b^2(x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$=(x-1)(1-b^2)$
利用平方差公式分解$1-b^2$得：$=(x-1)(1+b)(1-b)$
(2) 原式$=(4m^2)^2 - 1^2$
利用平方差公式分解得：$=(4m^2+1)(4m^2-1)$
对$4m^2-1$继续用平方差公式分解得：$=(2m+1)(2m-1)(4m^2+1)$
(3) 将$a^2-4a$看作整体，原式符合完全平方公式$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$（其中$A=a^2-4a$，$B=4$）
则原式$=(a^2-4a+4)^2$
括号内$a^2-4a+4=(a-2)^2$，代入得：$=[(a-2)^2]^2=(a-2)^4$
(4) 原式符合平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$（其中$A=m^2+mn+n^2$，$B=m^2-mn+n^2$）
则原式$=[(m^2+mn+n^2)+(m^2-mn+n^2)][(m^2+mn+n^2)-(m^2-mn+n^2)]$
分别化简两个括号：
第一个括号：$m^2+mn+n^2+m^2-mn+n^2=2m^2+2n^2=2(m^2+n^2)$
第二个括号：$m^2+mn+n^2 - m^2 + mn -n^2=2mn$
相乘得：$=2(m^2+n^2) × 2mn = 4mn(m^2+n^2)$
【答案】
(1)$(x-1)(1+b)(1-b)$；(2)$(2m+1)(2m-1)(4m^2+1)$；(3)$(a-2)^4$；(4)$4mn(m^2+n^2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题时要遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用对应公式，最后检查因式是否分解彻底。掌握乘法公式的结构特征，灵活运用整体思想可简化运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
14. 运算能力 下面是某同学对多项式$(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x + 6) + 4$进行因式分解的过程.
解:设$x^2 - 4x = y$,则
原式$=(y + 2)(y + 6) + 4$(第一步)
$=y^2 + 8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^2$(第三步)
$=(x^2 - 4x + 4)^2$.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了 （
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?
(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果:
(3)请你仿照以上方法尝试对多项式$(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) + 1$进行因式分解.
解:设$x^2 - 4x = y$,则
原式$=(y + 2)(y + 6) + 4$(第一步)
$=y^2 + 8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^2$(第三步)
$=(x^2 - 4x + 4)^2$.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了 （
C
）A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?
不彻底
.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果:
$(x-2)^4$
.(3)请你仿照以上方法尝试对多项式$(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) + 1$进行因式分解.
答案
14.解：(1)C (2)不彻底；$(x-2)^4$ (3)$(x+1)^4$。
解析
【分析】
(1) 观察第二步到第三步的变形：将$y^2+8y+16$转化为$(y+4)^2$，对照各乘法公式的特征判断：两数和的完全平方公式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，此处$a=y$，$b=4$，符合该公式特征，即可选出正确选项。
(2) 判断因式分解是否彻底，需看最终结果的每个因式是否还能继续分解：第四步结果$(x^2-4x+4)^2$中，$x^2-4x+4$还可运用完全平方公式分解为$(x-2)^2$，因此原分解不彻底，进一步化简即可得到最终结果。
(3) 仿照题中的换元法，先将重复出现的$x^2+2x$设为$y$，代入原式化简后运用完全平方公式分解，再将$y$换回关于$x$的多项式，最后检查是否分解彻底即可。
【解析】
(1) 第二步$y^2+8y+16$符合完全平方和公式的结构：$y^2+2× y×4 +4^2=(y+4)^2$，因此运用了两数和的完全平方公式，故选C。
(2) 第四步得到的$(x^2-4x+4)^2$中，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，因此原式可继续分解为$[(x-2)^2]^2=(x-2)^4$，故该同学的分解结果不彻底，最终结果为$(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+2x=y$，则：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=y(y+2)+1\\&=y^2+2y+1\\&=(y+1)^2\\&=(x^2+2x+1)^2\\&=[(x+1)^2]^2\\&=(x+1)^4\end{aligned}$
【答案】
(1)C (2)不彻底；$(x-2)^4$ (3)$(x+1)^4$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、因式分解的彻底性
【点评】
本题通过换元法简化复杂多项式的因式分解过程，解题时要牢记因式分解需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，熟练掌握乘法公式的结构特征是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
(1) 观察第二步到第三步的变形：将$y^2+8y+16$转化为$(y+4)^2$，对照各乘法公式的特征判断：两数和的完全平方公式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，此处$a=y$，$b=4$，符合该公式特征，即可选出正确选项。
(2) 判断因式分解是否彻底，需看最终结果的每个因式是否还能继续分解：第四步结果$(x^2-4x+4)^2$中，$x^2-4x+4$还可运用完全平方公式分解为$(x-2)^2$，因此原分解不彻底，进一步化简即可得到最终结果。
(3) 仿照题中的换元法，先将重复出现的$x^2+2x$设为$y$，代入原式化简后运用完全平方公式分解，再将$y$换回关于$x$的多项式，最后检查是否分解彻底即可。
【解析】
(1) 第二步$y^2+8y+16$符合完全平方和公式的结构：$y^2+2× y×4 +4^2=(y+4)^2$，因此运用了两数和的完全平方公式，故选C。
(2) 第四步得到的$(x^2-4x+4)^2$中，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，因此原式可继续分解为$[(x-2)^2]^2=(x-2)^4$，故该同学的分解结果不彻底，最终结果为$(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+2x=y$，则：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=y(y+2)+1\\&=y^2+2y+1\\&=(y+1)^2\\&=(x^2+2x+1)^2\\&=[(x+1)^2]^2\\&=(x+1)^4\end{aligned}$
【答案】
(1)C (2)不彻底；$(x-2)^4$ (3)$(x+1)^4$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、因式分解的彻底性
【点评】
本题通过换元法简化复杂多项式的因式分解过程，解题时要牢记因式分解需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，熟练掌握乘法公式的结构特征是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
