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已知$x+y=6$，$xy=3$，求下列各式的值.
(1)$x^2+y^2$；
(2)$x^2+4xy+y^2$；
(3)$x^3y+xy^3$；
(4)$x-y$.
(1)$x^2+y^2$；
(2)$x^2+4xy+y^2$；
(3)$x^3y+xy^3$；
(4)$x-y$.
答案
(1)$x^2+y^2=30$.
(2)$x^2+4xy+y^2=42$.
(3)$x^3y+xy^3=90$.
(4)$x-y=\pm\sqrt{24}$.
(2)$x^2+4xy+y^2=42$.
(3)$x^3y+xy^3=90$.
(4)$x-y=\pm\sqrt{24}$.
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的变形应用，解题时无需单独求出x、y的具体值，采用整体代入的方法更简便。首先回忆完全平方公式的核心变形：①$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可推导出$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$；②$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$。求解时先观察所求式子的结构，将其转化为含有$x+y$和$xy$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
已知$x+y=6$，$xy=3$，结合公式变形逐个计算：
(1) 根据完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入数值：
$\begin{aligned}x^2+y^2&=6^2 - 2×3\\&=36-6\\&=30\end{aligned}$
(2) 将式子变形为$(x^2+y^2)+4xy$，代入(1)的结果和$xy=3$：
$\begin{aligned}x^2+4xy+y^2&=30 + 4×3\\&=30+12\\&=42\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$xy$，得$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)$，代入数值：
$\begin{aligned}x^3y+xy^3&=3×30\\&=90\end{aligned}$
(4) 先求$(x-y)^2$，根据变形$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$：
$\begin{aligned}(x-y)^2&=6^2 - 4×3\\&=36-12\\&=24\end{aligned}$
因为互为相反数的两个数平方相等，所以$x-y=\pm\sqrt{24}$
【答案】
(1)$x^2+y^2=30$
(2)$x^2+4xy+y^2=42$
(3)$x^3y+xy^3=90$
(4)$x-y=\pm\sqrt{24}$
【知识点】
完全平方公式变形；提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查代数式的变形能力和整体代入思想的运用，熟练掌握完全平方公式的常见变形，能避免求解x、y的繁琐运算，提升解题效率，其中求$x-y$时要注意平方根有正负两个结果，不要漏解。
【难度系数】
0.7
这道题考查完全平方公式的变形应用，解题时无需单独求出x、y的具体值，采用整体代入的方法更简便。首先回忆完全平方公式的核心变形：①$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可推导出$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$；②$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$。求解时先观察所求式子的结构，将其转化为含有$x+y$和$xy$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
已知$x+y=6$，$xy=3$，结合公式变形逐个计算：
(1) 根据完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入数值：
$\begin{aligned}x^2+y^2&=6^2 - 2×3\\&=36-6\\&=30\end{aligned}$
(2) 将式子变形为$(x^2+y^2)+4xy$，代入(1)的结果和$xy=3$：
$\begin{aligned}x^2+4xy+y^2&=30 + 4×3\\&=30+12\\&=42\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$xy$，得$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)$，代入数值：
$\begin{aligned}x^3y+xy^3&=3×30\\&=90\end{aligned}$
(4) 先求$(x-y)^2$，根据变形$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$：
$\begin{aligned}(x-y)^2&=6^2 - 4×3\\&=36-12\\&=24\end{aligned}$
因为互为相反数的两个数平方相等，所以$x-y=\pm\sqrt{24}$
【答案】
(1)$x^2+y^2=30$
(2)$x^2+4xy+y^2=42$
(3)$x^3y+xy^3=90$
(4)$x-y=\pm\sqrt{24}$
【知识点】
完全平方公式变形；提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查代数式的变形能力和整体代入思想的运用，熟练掌握完全平方公式的常见变形，能避免求解x、y的繁琐运算，提升解题效率，其中求$x-y$时要注意平方根有正负两个结果，不要漏解。
【难度系数】
0.7
【变式1·转化思想】(1)已知$a-b=1,a^2+b^2=25$,求$ab$和$a+b$的值.
(2)已知$a+b=7,a^2+b^2=29$,求$ab$和$a-b$的值.
(3)已知$a+b=7,a-b=1$,求$a^2+b^2$与$ab$的值.
【变式2·特殊化】填空:
(1)已知$a+\frac{1}{a}=4$,则$a^2+\frac{1}{a^2}$的值是
(2)已知$a-\frac{2}{a}=4$,则$a^2+\frac{4}{a^2}$的值是
(3)已知$a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}$,则$a+\frac{1}{a}$的值是
【变式3·实践应用】(1)已知长方形的周长为40,面积为75,求分别以长方形的长和宽为边长的正方形的面积之和.
(2)已知长方形的两边之差为4,面积为12,求以长方形的长与宽之和为边长的正方形的面积.
(2)已知$a+b=7,a^2+b^2=29$,求$ab$和$a-b$的值.
(3)已知$a+b=7,a-b=1$,求$a^2+b^2$与$ab$的值.
【变式2·特殊化】填空:
(1)已知$a+\frac{1}{a}=4$,则$a^2+\frac{1}{a^2}$的值是
14
;(2)已知$a-\frac{2}{a}=4$,则$a^2+\frac{4}{a^2}$的值是
20
;(3)已知$a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}$,则$a+\frac{1}{a}$的值是
3或一3
.【变式3·实践应用】(1)已知长方形的周长为40,面积为75,求分别以长方形的长和宽为边长的正方形的面积之和.
(2)已知长方形的两边之差为4,面积为12,求以长方形的长与宽之和为边长的正方形的面积.
答案
【变式1·转化思想】解：(1)$ab=12,a+b=\pm7$.
(2)$ab=10,a-b=\pm3$.
(3)$a^2+b^2=25,ab=12$.
【变式2·特殊化】(1)14 (2)20 (3)3或-3
【变式3·实践应用】解：(1)250. (2)64.
(2)$ab=10,a-b=\pm3$.
(3)$a^2+b^2=25,ab=12$.
【变式2·特殊化】(1)14 (2)20 (3)3或-3
【变式3·实践应用】解：(1)250. (2)64.
解析
【分析】
本组题均围绕完全平方公式的恒等变形展开，解题核心是牢记$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的变形关系：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$，$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。解题时：①先根据已知条件确定可代入的变形公式；②涉及分式类的题目将分式项看作整体套用公式；③实际应用类题目先设长、宽为未知数，将几何条件转化为代数条件后再代入公式计算，开平方时注意结果有正负两种情况不要漏解。
【解析】
变式1·转化思想
(1) 根据完全平方公式变形：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a-b=1$，$a^2+b^2=25$代入得：
$1^2=25-2ab$，解得$2ab=24$，即$ab=12$。
再由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25+2×12=49$，开平方得$a+b=±7$。
(2) 代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=7$，$a^2+b^2=29$代入得：
$7^2=29+2ab$，解得$2ab=20$，即$ab=10$。
再由$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=29-2×10=9$，开平方得$a-b=±3$。
(3) 分别计算两个已知式的平方：
$(a+b)^2=7^2=49=a^2+2ab+b^2$ ①，
$(a-b)^2=1^2=1=a^2-2ab+b^2$ ②，
①+②得：$50=2(a^2+b^2)$，解得$a^2+b^2=25$；
①-②得：$48=4ab$，解得$ab=12$。
变式2·特殊化
(1) 将$a+\frac{1}{a}=4$两边同时平方得：$(a+\frac{1}{a})^2=4^2$，
展开得$a^2+2·a·\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=16$，化简得$a^2+\frac{1}{a^2}+2=16$，故$a^2+\frac{1}{a^2}=14$。
(2) 将$a-\frac{2}{a}=4$两边同时平方得：$(a-\frac{2}{a})^2=4^2$，
展开得$a^2-2·a·\frac{2}{a}+\frac{4}{a^2}=16$，化简得$a^2+\frac{4}{a^2}-4=16$，故$a^2+\frac{4}{a^2}=20$。
(3) 将$a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}$两边同时平方得：$(a-\frac{1}{a})^2=(\sqrt{5})^2$，
展开得$a^2-2+\frac{1}{a^2}=5$，即$a^2+\frac{1}{a^2}=7$。
再计算$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}=7+2=9$，开平方得$a+\frac{1}{a}=±3$。
变式3·实践应用
(1) 设长方形的长为$a$，宽为$b$，由题意得：
周长$2(a+b)=40$，即$a+b=20$，面积$ab=75$。
所求正方形面积之和为$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=20^2-2×75=400-150=250$。
(2) 设长方形的长为$a$，宽为$b$，由题意得：
$a-b=4$，$ab=12$。
所求正方形面积为$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=4^2+4×12=16+48=64$。
【答案】
【变式1·转化思想】(1)$ab=12,a+b=\pm7$；(2)$ab=10,a-b=\pm3$；(3)$a^2+b^2=25,ab=12$
【变式2·特殊化】(1)14；(2)20；(3)3或-3
【变式3·实践应用】(1)250；(2)64
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入法，代数式求值
【点评】
本组题目侧重考察完全平方公式的恒等变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常用变形结论，灵活运用整体代入思想简化计算，涉及开平方的问题要注意不要漏解，几何应用类题目要学会将几何量转化为代数条件求解，是巩固整式乘法公式变形应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
本组题均围绕完全平方公式的恒等变形展开，解题核心是牢记$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的变形关系：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$，$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。解题时：①先根据已知条件确定可代入的变形公式；②涉及分式类的题目将分式项看作整体套用公式；③实际应用类题目先设长、宽为未知数，将几何条件转化为代数条件后再代入公式计算，开平方时注意结果有正负两种情况不要漏解。
【解析】
变式1·转化思想
(1) 根据完全平方公式变形：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a-b=1$，$a^2+b^2=25$代入得：
$1^2=25-2ab$，解得$2ab=24$，即$ab=12$。
再由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25+2×12=49$，开平方得$a+b=±7$。
(2) 代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=7$，$a^2+b^2=29$代入得：
$7^2=29+2ab$，解得$2ab=20$，即$ab=10$。
再由$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=29-2×10=9$，开平方得$a-b=±3$。
(3) 分别计算两个已知式的平方：
$(a+b)^2=7^2=49=a^2+2ab+b^2$ ①，
$(a-b)^2=1^2=1=a^2-2ab+b^2$ ②，
①+②得：$50=2(a^2+b^2)$，解得$a^2+b^2=25$；
①-②得：$48=4ab$，解得$ab=12$。
变式2·特殊化
(1) 将$a+\frac{1}{a}=4$两边同时平方得：$(a+\frac{1}{a})^2=4^2$，
展开得$a^2+2·a·\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=16$，化简得$a^2+\frac{1}{a^2}+2=16$，故$a^2+\frac{1}{a^2}=14$。
(2) 将$a-\frac{2}{a}=4$两边同时平方得：$(a-\frac{2}{a})^2=4^2$，
展开得$a^2-2·a·\frac{2}{a}+\frac{4}{a^2}=16$，化简得$a^2+\frac{4}{a^2}-4=16$，故$a^2+\frac{4}{a^2}=20$。
(3) 将$a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}$两边同时平方得：$(a-\frac{1}{a})^2=(\sqrt{5})^2$，
展开得$a^2-2+\frac{1}{a^2}=5$，即$a^2+\frac{1}{a^2}=7$。
再计算$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}=7+2=9$，开平方得$a+\frac{1}{a}=±3$。
变式3·实践应用
(1) 设长方形的长为$a$，宽为$b$，由题意得：
周长$2(a+b)=40$，即$a+b=20$，面积$ab=75$。
所求正方形面积之和为$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=20^2-2×75=400-150=250$。
(2) 设长方形的长为$a$，宽为$b$，由题意得：
$a-b=4$，$ab=12$。
所求正方形面积为$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=4^2+4×12=16+48=64$。
【答案】
【变式1·转化思想】(1)$ab=12,a+b=\pm7$；(2)$ab=10,a-b=\pm3$；(3)$a^2+b^2=25,ab=12$
【变式2·特殊化】(1)14；(2)20；(3)3或-3
【变式3·实践应用】(1)250；(2)64
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入法，代数式求值
【点评】
本组题目侧重考察完全平方公式的恒等变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常用变形结论，灵活运用整体代入思想简化计算，涉及开平方的问题要注意不要漏解，几何应用类题目要学会将几何量转化为代数条件求解，是巩固整式乘法公式变形应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
