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【例】 如图,在数轴上,点A表示的数为-6,点B表示的数为8,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB的方向运动,运动时间为t(t＞0)秒.
(1)t秒后,点P走过
(2)线段AB=8-
(3)若点P在线段AB上,则线段AP=
(4)求经过多长时间,A,B,P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.
【分析】 t秒后,点P可以在点A,B之间,也可以在点B右侧,故存在两种情况.
【解答】
(1)t秒后,点P走过
2t
个单位长度.(2)线段AB=8-
-6
=14
;t秒后,点P表示的数为-6+2t
.(3)若点P在线段AB上,则线段AP=
2t
,BP=14-2t
.(用含t的代数式表示)(4)求经过多长时间,A,B,P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.
【分析】 t秒后,点P可以在点A,B之间,也可以在点B右侧,故存在两种情况.
【解答】
答案
解:(1)2t
(2)(-6) 14 -6+2t
(3)2t 14-2t
(4)①当P是AB的中点时,
,AP=BP,∴2t=14-2t,解得t=7/2;②当B是AP的中点时,
,点P在AB的延长线上,则AB=BP=1/2 AP,∴14=1/2 ×2t,解得t=14.
综上所述,经过7/2秒或14秒,A,B,P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.
解析
【分析】
（1）根据行程基本公式“路程=速度×时间”，已知P的运动速度和时间，直接计算即可得到P走过的路程。
（2）数轴上两点距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，据此计算AB的长度；点P向右运动，它表示的数等于起点A的数加上走过的路程。
（3）P在线段AB上时，AP的长度就是P走过的路程，BP的长度等于AB总长度减去AP的长度。
（4）P沿射线AB向右运动，分两种情况讨论：①P是AB中点时，P在A、B之间，满足AP=BP，列方程求解；②B是AP中点时，P在B右侧，满足AB是AP的一半，列方程求解；因为P始终在A右侧，A不可能是BP中点，无需讨论该情况，最后汇总解即可。
【解析】
（1）动点P速度为每秒2个单位长度，运动时间t秒，根据路程=速度×时间，得P走过的路程为$2× t=2t$个单位长度。
（2）点A表示$-6$，点B表示$8$，B在A右侧，因此$AB=8-(-6)=14$；点P从A出发向右运动t秒，走过2t个单位，因此P表示的数为$-6+2t$。
（3）P在线段AB上时，AP就是P走过的路程，即$AP=2t$；$BP=AB-AP=14-2t$。
（4）分两种情况讨论：
①当P是AB的中点时，$AP=BP$，代入得$2t=14-2t$，移项合并得$4t=14$，解得$t=\frac{7}{2}$；
②当B是AP的中点时，此时P在AB延长线上，$AB=\frac{1}{2}AP$，代入$AB=14$、$AP=2t$，得$14=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=14$。
综上两种情况均符合题意。
【答案】
(1)$2t$
(2)$(-6)$；$14$；$-6+2t$
(3)$2t$；$14-2t$
(4)①当P是AB的中点时，,AP=BP,
∴2t=14-2t,解得t=$\frac{7}{2}$;②当B是AP的中点时,,点P在AB的延长线上,则AB=BP=$\frac{1}{2}$AP,
∴14=$\frac{1}{2}$×2t,解得t=14.
综上所述,经过$\frac{7}{2}$秒或14秒,A,B,P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.
【知识点】
数轴动点问题、一元一次方程的应用、线段中点的定义
【点评】
本题是数轴动点的典型基础题，需要熟练掌握数轴上两点距离的计算方法、线段中点的性质，解题的关键是结合动点的运动轨迹分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）根据行程基本公式“路程=速度×时间”，已知P的运动速度和时间，直接计算即可得到P走过的路程。
（2）数轴上两点距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，据此计算AB的长度；点P向右运动，它表示的数等于起点A的数加上走过的路程。
（3）P在线段AB上时，AP的长度就是P走过的路程，BP的长度等于AB总长度减去AP的长度。
（4）P沿射线AB向右运动，分两种情况讨论：①P是AB中点时，P在A、B之间，满足AP=BP，列方程求解；②B是AP中点时，P在B右侧，满足AB是AP的一半，列方程求解；因为P始终在A右侧，A不可能是BP中点，无需讨论该情况，最后汇总解即可。
【解析】
（1）动点P速度为每秒2个单位长度，运动时间t秒，根据路程=速度×时间，得P走过的路程为$2× t=2t$个单位长度。
（2）点A表示$-6$，点B表示$8$，B在A右侧，因此$AB=8-(-6)=14$；点P从A出发向右运动t秒，走过2t个单位，因此P表示的数为$-6+2t$。
（3）P在线段AB上时，AP就是P走过的路程，即$AP=2t$；$BP=AB-AP=14-2t$。
（4）分两种情况讨论：
①当P是AB的中点时，$AP=BP$，代入得$2t=14-2t$，移项合并得$4t=14$，解得$t=\frac{7}{2}$；
②当B是AP的中点时，此时P在AB延长线上，$AB=\frac{1}{2}AP$，代入$AB=14$、$AP=2t$，得$14=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=14$。
综上两种情况均符合题意。
【答案】
(1)$2t$
(2)$(-6)$；$14$；$-6+2t$
(3)$2t$；$14-2t$
(4)①当P是AB的中点时，
,AP=BP,∴2t=14-2t,解得t=$\frac{7}{2}$;②当B是AP的中点时,
,点P在AB的延长线上,则AB=BP=$\frac{1}{2}$AP,∴14=$\frac{1}{2}$×2t,解得t=14.
综上所述,经过$\frac{7}{2}$秒或14秒,A,B,P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.
【知识点】
数轴动点问题、一元一次方程的应用、线段中点的定义
【点评】
本题是数轴动点的典型基础题，需要熟练掌握数轴上两点距离的计算方法、线段中点的性质，解题的关键是结合动点的运动轨迹分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1.如图,已知线段$AB=24$,C为线段AB上的一点,D,E分别是AC和BC的中点.
(1)若$AC=8$,则线段DE的长为
(2)若$BC=a$,求线段DE的长.
(3)动点P,Q分别从A,B两点同时出发,相向而行,点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动,点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动,设运动时间为$t$秒,则当$t$的值为多少时,P,Q两点之间的距离为6？
备用图
(1)若$AC=8$,则线段DE的长为
12
.(2)若$BC=a$,求线段DE的长.
(3)动点P,Q分别从A,B两点同时出发,相向而行,点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动,点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动,设运动时间为$t$秒,则当$t$的值为多少时,P,Q两点之间的距离为6？
备用图
答案
解:(1)12
(2)
∵AB=24,BC=a,
∴AC=24-a.
∵D,E分别是AC和BC的中点,
∴DC=12-1/2 a,CE=1/2 a.
∴DE=DC+CE=12.
(3)由题意,得AP=3t,BQ=6t. 若P,Q两点之间的距离为6,则3t+6+6t=24或3t+6t-6=24,解得t=2或t=10/3.
∴当t的值为2或10/3时,P,Q两点之间的距离为6.
(2)
∵AB=24,BC=a,
∴AC=24-a.
∵D,E分别是AC和BC的中点,
∴DC=12-1/2 a,CE=1/2 a.
∴DE=DC+CE=12.
(3)由题意,得AP=3t,BQ=6t. 若P,Q两点之间的距离为6,则3t+6+6t=24或3t+6t-6=24,解得t=2或t=10/3.
∴当t的值为2或10/3时,P,Q两点之间的距离为6.
解析
【分析】
(1) 先根据AB和AC的长度求出BC的长度，再结合D、E分别是AC、BC的中点，分别求出DC和CE的长度，相加即可得到DE的长度，也可直接推导DE为AB长度的一半快速求解。
(2) 先用AB的长度减去BC的长度表示出AC，再根据中点性质分别表示出DC和CE，相加后消去参数即可得到DE的长度。
(3) 首先明确P、Q的运动速度，分两种情况讨论：①P、Q相遇前相距6，此时两者走过的路程和加6等于AB总长度；②P、Q相遇后相距6，此时两者走过的路程和减6等于AB总长度，分别列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 已知$AB=24$，$AC=8$，则$BC=AB-AC=24-8=16$。
因为D是AC中点，所以$DC=\frac{1}{2}AC=4$；E是BC中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=8$。
因此$DE=DC+CE=4+8=12$。
(2) $\because AB=24$，$BC=a$，
$\therefore AC=24-a$。
$\because$ D、E分别是AC和BC的中点，
$\therefore DC=\frac{1}{2}AC=12-\frac{1}{2}a$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$，
$\therefore DE=DC+CE=12-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a=12$。
(3) 由题意得，点P速度为3单位/秒，点Q速度为$3×2=6$单位/秒，运动t秒时$AP=3t$，$BQ=6t$。
分两种情况：
① 相遇前P、Q距离为6：$3t+6+6t=24$，解得$t=2$；
② 相遇后P、Q距离为6：$3t+6t-6=24$，解得$t=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{DE=12}$；(3) $\boxed{t=2}$或$\boxed{t=\frac{10}{3}}$
【知识点】
线段中点性质；两点间距离；一元一次方程应用
【点评】
本题前两问通过线段中点性质进行和差计算，可总结出DE恒为AB一半的规律简化计算；第三问为动点问题，需分类讨论相遇前后两种相距6的情况，避免漏解，考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据AB和AC的长度求出BC的长度，再结合D、E分别是AC、BC的中点，分别求出DC和CE的长度，相加即可得到DE的长度，也可直接推导DE为AB长度的一半快速求解。
(2) 先用AB的长度减去BC的长度表示出AC，再根据中点性质分别表示出DC和CE，相加后消去参数即可得到DE的长度。
(3) 首先明确P、Q的运动速度，分两种情况讨论：①P、Q相遇前相距6，此时两者走过的路程和加6等于AB总长度；②P、Q相遇后相距6，此时两者走过的路程和减6等于AB总长度，分别列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 已知$AB=24$，$AC=8$，则$BC=AB-AC=24-8=16$。
因为D是AC中点，所以$DC=\frac{1}{2}AC=4$；E是BC中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=8$。
因此$DE=DC+CE=4+8=12$。
(2) $\because AB=24$，$BC=a$，
$\therefore AC=24-a$。
$\because$ D、E分别是AC和BC的中点，
$\therefore DC=\frac{1}{2}AC=12-\frac{1}{2}a$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$，
$\therefore DE=DC+CE=12-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a=12$。
(3) 由题意得，点P速度为3单位/秒，点Q速度为$3×2=6$单位/秒，运动t秒时$AP=3t$，$BQ=6t$。
分两种情况：
① 相遇前P、Q距离为6：$3t+6+6t=24$，解得$t=2$；
② 相遇后P、Q距离为6：$3t+6t-6=24$，解得$t=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{DE=12}$；(3) $\boxed{t=2}$或$\boxed{t=\frac{10}{3}}$
【知识点】
线段中点性质；两点间距离；一元一次方程应用
【点评】
本题前两问通过线段中点性质进行和差计算，可总结出DE恒为AB一半的规律简化计算；第三问为动点问题，需分类讨论相遇前后两种相距6的情况，避免漏解，考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为－1，3，5，P为数轴上任意一点，其对应的数为x.点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP.
(1)若$AP=BP$，求$x$的值.
(2)若$AP=3$，求$x$的值.
(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，三点同时出发.设运动时间为$t$秒，试判断$4BP - AP$的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值；若变化，请说明理由.
(1)若$AP=BP$，求$x$的值.
(2)若$AP=3$，求$x$的值.
(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，三点同时出发.设运动时间为$t$秒，试判断$4BP - AP$的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值；若变化，请说明理由.
答案
解:(1)
∵AP=BP,
∴点P在点A,B之间.
∴AP=x-(-1),BP=3-x.
∴x-(-1)=3-x,解得x=1.
(2)由题意,得AP=|x-(-1)|=3,解得x=2或x=-4.
(3)4BP-AP的值不会随着t的变化而变化.理由如下:由题意知,点P表示的数为5+3t,点B表示的数为3+2t,点A表示的数为-1-t.
∴BP=5+3t-(3+2t)=2+t,AP=5+3t-(-1-t)=6+4t.
∴4BP-AP=4(2+t)-(6+4t)=2.
∴4BP-AP的值不会随着t的变化而变化,定值是2.
∵AP=BP,
∴点P在点A,B之间.
∴AP=x-(-1),BP=3-x.
∴x-(-1)=3-x,解得x=1.
(2)由题意,得AP=|x-(-1)|=3,解得x=2或x=-4.
(3)4BP-AP的值不会随着t的变化而变化.理由如下:由题意知,点P表示的数为5+3t,点B表示的数为3+2t,点A表示的数为-1-t.
∴BP=5+3t-(3+2t)=2+t,AP=5+3t-(-1-t)=6+4t.
∴4BP-AP=4(2+t)-(6+4t)=2.
∴4BP-AP的值不会随着t的变化而变化,定值是2.
解析
【分析】
(1) 若$AP=BP$，说明点P是线段AB的中点，位于A、B两点之间。数轴上两点的距离等于右侧点对应数减去左侧点对应数，据此用x分别表示出AP和BP，列一元一次方程求解即可。
(2) 数轴上两点距离等于两点对应数之差的绝对值，$AP=3$即P到A的距离为3，需考虑P在A左侧、P在A右侧两种情况，列绝对值方程求解。
(3) 处理动点问题首先要表示出运动t秒后各点对应的数：向右运动对应数加“速度×时间”，向左运动对应数减“速度×时间”。本题中P运动速度比B快，且初始位置在B右侧，A向左运动、P向右运动，因此P始终在A、B右侧，直接用大数减小数表示BP和AP，代入$4BP-AP$化简，若结果不含t则为定值，否则会随时间变化。
【解析】
(1) $\because AP=BP$，$\therefore$点P在线段AB之间
$\therefore AP=x-(-1)=x+1$，$BP=3-x$
列方程得：$x+1=3-x$
移项合并同类项得：$2x=2$
解得：$x=1$
(2) 由数轴两点距离公式可得：$AP=|x-(-1)|=|x+1|=3$
$\therefore x+1=3$ 或 $x+1=-3$
解得：$x=2$ 或 $x=-4$
(3) $4BP-AP$的值不发生变化，定值为2，理由如下：
运动t秒后，点P对应的数为$5+3t$，点B对应的数为$3+2t$，点A对应的数为$-1-t$
$\therefore BP=(5+3t)-(3+2t)=t+2$，$AP=(5+3t)-(-1-t)=4t+6$
代入得：$4BP-AP=4(t+2)-(4t+6)=4t+8-4t-6=2$
因此$4BP-AP$的值不随t的变化而变化，定值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=1}$
(2) $\boldsymbol{x=2}$或$\boldsymbol{x=-4}$
(3) 不变，定值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
数轴两点距离；一元一次方程应用；动点定值计算
【点评】
本题是数轴与方程结合的典型题型，核心是掌握数轴上两点距离的表示方法，动点问题的解题关键是先确定运动后各点对应的数，再根据题意列式化简，能有效培养分类讨论思想和代数化简能力。
【难度系数】
0.6
(1) 若$AP=BP$，说明点P是线段AB的中点，位于A、B两点之间。数轴上两点的距离等于右侧点对应数减去左侧点对应数，据此用x分别表示出AP和BP，列一元一次方程求解即可。
(2) 数轴上两点距离等于两点对应数之差的绝对值，$AP=3$即P到A的距离为3，需考虑P在A左侧、P在A右侧两种情况，列绝对值方程求解。
(3) 处理动点问题首先要表示出运动t秒后各点对应的数：向右运动对应数加“速度×时间”，向左运动对应数减“速度×时间”。本题中P运动速度比B快，且初始位置在B右侧，A向左运动、P向右运动，因此P始终在A、B右侧，直接用大数减小数表示BP和AP，代入$4BP-AP$化简，若结果不含t则为定值，否则会随时间变化。
【解析】
(1) $\because AP=BP$，$\therefore$点P在线段AB之间
$\therefore AP=x-(-1)=x+1$，$BP=3-x$
列方程得：$x+1=3-x$
移项合并同类项得：$2x=2$
解得：$x=1$
(2) 由数轴两点距离公式可得：$AP=|x-(-1)|=|x+1|=3$
$\therefore x+1=3$ 或 $x+1=-3$
解得：$x=2$ 或 $x=-4$
(3) $4BP-AP$的值不发生变化，定值为2，理由如下：
运动t秒后，点P对应的数为$5+3t$，点B对应的数为$3+2t$，点A对应的数为$-1-t$
$\therefore BP=(5+3t)-(3+2t)=t+2$，$AP=(5+3t)-(-1-t)=4t+6$
代入得：$4BP-AP=4(t+2)-(4t+6)=4t+8-4t-6=2$
因此$4BP-AP$的值不随t的变化而变化，定值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=1}$
(2) $\boldsymbol{x=2}$或$\boldsymbol{x=-4}$
(3) 不变，定值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
数轴两点距离；一元一次方程应用；动点定值计算
【点评】
本题是数轴与方程结合的典型题型，核心是掌握数轴上两点距离的表示方法，动点问题的解题关键是先确定运动后各点对应的数，再根据题意列式化简，能有效培养分类讨论思想和代数化简能力。
【难度系数】
0.6
