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5.【数学文化】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法。如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口直径AC交于点E。若AB=2 m，AC=3.2 m，AE=0.8 m，则CD的长为
6
m。答案
5.6
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际测量中的应用类题目，解题思路如下：首先由题意可知AB、CD都垂直于AC，可判定AB与CD平行，进而得到△ABE和△CDE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度代入比例式计算，即可求出CD的长度。
【解析】
解：由题意得$AB⊥ AC$，$CD⊥ AC$，
$\therefore ∠ A=∠ C=90°$，$AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ D$，
又$\because ∠ AEB=∠ CED$（对顶角相等），
$\therefore △ ABE ∽ △ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$。
已知$AC=3.2\ \mathrm{m}$，$AE=0.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE=AC-AE=3.2-0.8=2.4\ \mathrm{m}$，
将$AB=2\ \mathrm{m}$，$AE=0.8\ \mathrm{m}$，$CE=2.4\ \mathrm{m}$代入比例式：
$\frac{2}{CD}=\frac{0.8}{2.4}$，
解得$CD=\frac{2×2.4}{0.8}=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合《九章算术》中的测量问题，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是根据垂直关系找到相似三角形，准确对应相似边列出比例式求解，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
本题是相似三角形在实际测量中的应用类题目，解题思路如下：首先由题意可知AB、CD都垂直于AC，可判定AB与CD平行，进而得到△ABE和△CDE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度代入比例式计算，即可求出CD的长度。
【解析】
解：由题意得$AB⊥ AC$，$CD⊥ AC$，
$\therefore ∠ A=∠ C=90°$，$AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ D$，
又$\because ∠ AEB=∠ CED$（对顶角相等），
$\therefore △ ABE ∽ △ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$。
已知$AC=3.2\ \mathrm{m}$，$AE=0.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE=AC-AE=3.2-0.8=2.4\ \mathrm{m}$，
将$AB=2\ \mathrm{m}$，$AE=0.8\ \mathrm{m}$，$CE=2.4\ \mathrm{m}$代入比例式：
$\frac{2}{CD}=\frac{0.8}{2.4}$，
解得$CD=\frac{2×2.4}{0.8}=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合《九章算术》中的测量问题，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是根据垂直关系找到相似三角形，准确对应相似边列出比例式求解，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
6. 如图,一斜坡 AB 长 50 m,最高点 B 距离水平地面的高度 BC=8 m,现将重物从坡底 A 推到坡上 20 m 的 M 处停下(即 AM=20 m),则停止地点 M 距离水平地面的高度为
3.2
m。答案
6.3.2
解析
【分析】
要求停止地点M距离水平地面的高度，可过M作水平地面AC的垂线MN，MN即为所求高度。观察图形可知BC、MN均垂直于AC，因此MN//BC，可判定△AMN与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出MN的长度。
【解析】
过点M作MN⊥AC于点N，即MN为M到水平地面的高度。
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴MN//BC，
∴△AMN∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$
将AB=50m，BC=8m，AM=20m代入上式：
$\frac{20}{50}=\frac{MN}{8}$
解得：$MN=\frac{20×8}{50}=3.2$（m）
【答案】
3.2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，解题核心是构造相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要求停止地点M距离水平地面的高度，可过M作水平地面AC的垂线MN，MN即为所求高度。观察图形可知BC、MN均垂直于AC，因此MN//BC，可判定△AMN与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出MN的长度。
【解析】
过点M作MN⊥AC于点N，即MN为M到水平地面的高度。
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴MN//BC，
∴△AMN∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$
将AB=50m，BC=8m，AM=20m代入上式：
$\frac{20}{50}=\frac{MN}{8}$
解得：$MN=\frac{20×8}{50}=3.2$（m）
【答案】
3.2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，解题核心是构造相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
7.【数学应用】如图,小明欲测量一座信号发射塔BC的高度,他站在该塔的影子上前后移动,使他自己(用DE表示)的影子的顶端正好与塔BC的影子的顶端重合于点A,此时他与该塔的距离$CE=18\ \mathrm{m}$。已知小明的身高$DE$为$1.8\ \mathrm{m}$,他的影长$AE$为$2\ \mathrm{m}$,则信号发射塔的高度$BC$为
18
$\mathrm{m}$。答案
7.18
解析
【分析】
要计算信号发射塔BC的高度，首先观察图形特征：BC和DE均垂直于地面AC，因此BC与DE平行，可推出△ABC和△ADE相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知条件列等式即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵$BC⊥ AC$，$DE⊥ AC$，
∴$∠ C=∠ DEA=90°$，
又
∵$∠ A=∠ A$（公共角），
∴$△ ABC∽△ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。
由题意可知，$AC=CE+AE=18+2=20\ \mathrm{m}$，$DE=1.8\ \mathrm{m}$，$AE=2\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{BC}{1.8}=\frac{20}{2}$，
解得$BC=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测高场景中的基础应用，解题核心是准确识别出相似三角形，找准对应边列出比例式计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
要计算信号发射塔BC的高度，首先观察图形特征：BC和DE均垂直于地面AC，因此BC与DE平行，可推出△ABC和△ADE相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知条件列等式即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵$BC⊥ AC$，$DE⊥ AC$，
∴$∠ C=∠ DEA=90°$，
又
∵$∠ A=∠ A$（公共角），
∴$△ ABC∽△ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。
由题意可知，$AC=CE+AE=18+2=20\ \mathrm{m}$，$DE=1.8\ \mathrm{m}$，$AE=2\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{BC}{1.8}=\frac{20}{2}$，
解得$BC=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测高场景中的基础应用，解题核心是准确识别出相似三角形，找准对应边列出比例式计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
8.【综合与实践】某实践小组的同学欲测量某古塔的高度AB。如图，塔前有一棵高4 m的小树CD，水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD=64.5 m；D，E之间有一个花圃，距离无法测量。在点E处放置一块平面镜（大小忽略不计），沿BE所在直线后退到点G处，恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED=∠FEG），测得GE=2.4 m，测量者眼睛到地面的距离FG=1.6 m。已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上，求该塔的高度AB。
答案
8.解:$\because ∠ CED=∠ FEG,∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE∽△ FGE$，
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{GE}$，
$\therefore \frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
$\therefore DE=6$，
$\therefore BE=BD+DE=64.5+6=70.5$。
$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ CDE=∠ ABE=90°$，
$\therefore △ CDE∽△ ABE$，
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
$\therefore \frac{4}{AB}=\frac{6}{70.5}$，
$\therefore AB=47$。
故该塔的高度 $AB$ 为 $47\ \mathrm{m}$。
$\therefore △ CDE∽△ FGE$，
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{GE}$，
$\therefore \frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
$\therefore DE=6$，
$\therefore BE=BD+DE=64.5+6=70.5$。
$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ CDE=∠ ABE=90°$，
$\therefore △ CDE∽△ ABE$，
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
$\therefore \frac{4}{AB}=\frac{6}{70.5}$，
$\therefore AB=47$。
故该塔的高度 $AB$ 为 $47\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要计算古塔高度AB，我们可以分两步利用相似三角形求解：首先根据平面镜反射的等角关系，结合CD⊥BG、FG⊥BG的垂直条件，判定△CDE与△FGE相似，先求出无法直接测量的DE的长度；再根据A、C、E共线得到等角，结合CD⊥BG、AB⊥BG的垂直条件，判定△CDE与△ABE相似，代入已知线段长度即可求出AB的高度。
【解析】
解：$\because ∠ CED=∠ FEG,∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE∽△ FGE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{GE}$（相似三角形对应边成比例），
代入$CD=4\mathrm{m},FG=1.6\mathrm{m},GE=2.4\mathrm{m}$，得$\frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\mathrm{m}$，
$\therefore BE=BD+DE=64.5+6=70.5\mathrm{m}$。
$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ CDE=∠ ABE=90°$，
$\therefore △ CDE∽△ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$（相似三角形对应边成比例），
代入$CD=4\mathrm{m},DE=6\mathrm{m},BE=70.5\mathrm{m}$，得$\frac{4}{AB}=\frac{6}{70.5}$，
解得$AB=47\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{47\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，需要通过两次判定相似三角形，结合相似三角形的性质求解，解题的关键是准确识别相等的角，找准相似三角形的对应边，先求出中间未知线段的长度，再计算待测高度。
【难度系数】
0.7
要计算古塔高度AB，我们可以分两步利用相似三角形求解：首先根据平面镜反射的等角关系，结合CD⊥BG、FG⊥BG的垂直条件，判定△CDE与△FGE相似，先求出无法直接测量的DE的长度；再根据A、C、E共线得到等角，结合CD⊥BG、AB⊥BG的垂直条件，判定△CDE与△ABE相似，代入已知线段长度即可求出AB的高度。
【解析】
解：$\because ∠ CED=∠ FEG,∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE∽△ FGE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{GE}$（相似三角形对应边成比例），
代入$CD=4\mathrm{m},FG=1.6\mathrm{m},GE=2.4\mathrm{m}$，得$\frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\mathrm{m}$，
$\therefore BE=BD+DE=64.5+6=70.5\mathrm{m}$。
$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ CDE=∠ ABE=90°$，
$\therefore △ CDE∽△ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$（相似三角形对应边成比例），
代入$CD=4\mathrm{m},DE=6\mathrm{m},BE=70.5\mathrm{m}$，得$\frac{4}{AB}=\frac{6}{70.5}$，
解得$AB=47\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{47\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，需要通过两次判定相似三角形，结合相似三角形的性质求解，解题的关键是准确识别相等的角，找准相似三角形的对应边，先求出中间未知线段的长度，再计算待测高度。
【难度系数】
0.7
