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10. 新考向·新定义问题 数学活动中，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“★”，对于任意有理数$a$和$b$，有$a★b = a - b +1$。请根据新运算，计算$(2★3)★2$的值是（
A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.1
B
）A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.1
答案
10.B
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题第一步要先明确新运算“★”的运算规则：对于任意有理数a、b，$a★b = a - b + 1$。计算时遵循常规有理数运算顺序，有括号先算括号内的运算，再算括号外的运算，每一步运算找准对应规则里的a和b，代入规则计算即可。
【解析】
第一步，先计算括号内的$2★3$：
此时对应规则中$a=2$，$b=3$，代入运算规则得：
$2★3 = 2 - 3 + 1 = 0$
第二步，计算$0★2$：
此时对应规则中$a=0$，$b=2$，代入运算规则得：
$0★2 = 0 - 2 + 1 = -1$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算；有理数加减混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题核心是准确把握新运算的计算逻辑，按照常规运算顺序代入数值计算即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算题型，解题第一步要先明确新运算“★”的运算规则：对于任意有理数a、b，$a★b = a - b + 1$。计算时遵循常规有理数运算顺序，有括号先算括号内的运算，再算括号外的运算，每一步运算找准对应规则里的a和b，代入规则计算即可。
【解析】
第一步，先计算括号内的$2★3$：
此时对应规则中$a=2$，$b=3$，代入运算规则得：
$2★3 = 2 - 3 + 1 = 0$
第二步，计算$0★2$：
此时对应规则中$a=0$，$b=2$，代入运算规则得：
$0★2 = 0 - 2 + 1 = -1$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算；有理数加减混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题核心是准确把握新运算的计算逻辑，按照常规运算顺序代入数值计算即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
11.如图,输入-1,按程序运算(完成一个方框内的运算后,把结果输入下一个方框继续进行运算),输出的结果为
5
. 答案
11.$5$
解析
【分析】
我们需要按照给定的程序逐步运算：首先将输入的数依次进行“+5、-(-4)、-6”的运算，运算完成后判断结果是否大于3，若大于3则直接输出结果；若不大于3，就将本次运算的结果作为新的输入值，重复上述运算流程，直到得到的结果大于3为止。
【解析】
第一次运算，输入值为-1：
第一步：$-1 + 5 = 4$
第二步：$4 - (-4) = 4 + 4 = 8$
第三步：$8 - 6 = 2$
判断：$2＜3$，不满足输出条件，将2作为新的输入值进行第二次运算。
第二次运算，输入值为2：
第一步：$2 + 5 = 7$
第二步：$7 - (-4) = 7 + 4 = 11$
第三步：$11 - 6 = 5$
判断：$5＞3$，满足输出条件。
【答案】
$5$
【知识点】
有理数加减混合运算，有理数大小比较，程序运算
【点评】
本题重点考查对运算程序的理解和有理数加减运算的掌握，解题时要注意运算顺序和符号规则，尤其注意减去一个负数等于加上这个负数的相反数，当首次运算结果不满足输出条件时，需循环运算直至符合要求，避免遗漏循环步骤出错。
【难度系数】
0.7
我们需要按照给定的程序逐步运算：首先将输入的数依次进行“+5、-(-4)、-6”的运算，运算完成后判断结果是否大于3，若大于3则直接输出结果；若不大于3，就将本次运算的结果作为新的输入值，重复上述运算流程，直到得到的结果大于3为止。
【解析】
第一次运算，输入值为-1：
第一步：$-1 + 5 = 4$
第二步：$4 - (-4) = 4 + 4 = 8$
第三步：$8 - 6 = 2$
判断：$2＜3$，不满足输出条件，将2作为新的输入值进行第二次运算。
第二次运算，输入值为2：
第一步：$2 + 5 = 7$
第二步：$7 - (-4) = 7 + 4 = 11$
第三步：$11 - 6 = 5$
判断：$5＞3$，满足输出条件。
【答案】
$5$
【知识点】
有理数加减混合运算，有理数大小比较，程序运算
【点评】
本题重点考查对运算程序的理解和有理数加减运算的掌握，解题时要注意运算顺序和符号规则，尤其注意减去一个负数等于加上这个负数的相反数，当首次运算结果不满足输出条件时，需循环运算直至符合要求，避免遗漏循环步骤出错。
【难度系数】
0.7
12. 按运算顺序直接计算：
(1) $-86 - (-77) + | -85 | - (-3)$。
(2) $(-\dfrac{2}{5}) + (-\dfrac{5}{6}) - (-1.2) - 0.6$。
(1) $-86 - (-77) + | -85 | - (-3)$。
(2) $(-\dfrac{2}{5}) + (-\dfrac{5}{6}) - (-1.2) - 0.6$。
答案
12.解:(1)原式$=-86+77+85+3=-9+85+3=79.$
(2)原式$=-\dfrac{37}{30}+\dfrac{36}{30}-\dfrac{18}{30}=-\dfrac{19}{30}.$
(2)原式$=-\dfrac{37}{30}+\dfrac{36}{30}-\dfrac{18}{30}=-\dfrac{19}{30}.$
解析
【分析】
这两道题是有理数加减混合运算的基础计算题，解题思路可按以下步骤展开：
1. 处理运算符号：根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法运算转化为加法运算；
2. 化简特殊形式：第一题需先根据绝对值的非负性去掉绝对值符号，第二题因同时存在分数和小数，先将小数统一转化为分数，方便后续计算；
3. 按运算顺序计算：第一题转化为加法后直接从左到右依次计算，第二题转化为同分母分数后，再按同分母分数加减法则计算。
【解析】
(1) 先去括号、化简绝对值：
原式$=-86 + 77 + 85 + 3$
从左到右依次计算：
$=-9 + 85 + 3$
$=76 + 3$
$=79$
(2) 先将小数转化为分数：$1.2=\dfrac{6}{5}$，$0.6=\dfrac{3}{5}$，再去括号转化运算：
原式$=-\dfrac{2}{5} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{6}{5} - \dfrac{3}{5}$
通分（分母最小公倍数为30）得：
$=-\dfrac{12}{30} - \dfrac{25}{30} + \dfrac{36}{30} - \dfrac{18}{30}$
按同分母分数加减法则计算：
$=\dfrac{-12-25+36-18}{30}$
$=-\dfrac{19}{30}$
【答案】
(1) $\boxed{79}$；(2) $\boxed{-\dfrac{19}{30}}$
【知识点】
1. 有理数加减混合运算
2. 绝对值的化简
3. 分数小数互化
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题，重点考察运算符号的处理和基础运算能力，解题的关键是注意去括号、去绝对值时的符号变化，统一数的形式可降低计算出错率，是巩固运算基本功的典型习题。
【难度系数】
0.7
这两道题是有理数加减混合运算的基础计算题，解题思路可按以下步骤展开：
1. 处理运算符号：根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法运算转化为加法运算；
2. 化简特殊形式：第一题需先根据绝对值的非负性去掉绝对值符号，第二题因同时存在分数和小数，先将小数统一转化为分数，方便后续计算；
3. 按运算顺序计算：第一题转化为加法后直接从左到右依次计算，第二题转化为同分母分数后，再按同分母分数加减法则计算。
【解析】
(1) 先去括号、化简绝对值：
原式$=-86 + 77 + 85 + 3$
从左到右依次计算：
$=-9 + 85 + 3$
$=76 + 3$
$=79$
(2) 先将小数转化为分数：$1.2=\dfrac{6}{5}$，$0.6=\dfrac{3}{5}$，再去括号转化运算：
原式$=-\dfrac{2}{5} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{6}{5} - \dfrac{3}{5}$
通分（分母最小公倍数为30）得：
$=-\dfrac{12}{30} - \dfrac{25}{30} + \dfrac{36}{30} - \dfrac{18}{30}$
按同分母分数加减法则计算：
$=\dfrac{-12-25+36-18}{30}$
$=-\dfrac{19}{30}$
【答案】
(1) $\boxed{79}$；(2) $\boxed{-\dfrac{19}{30}}$
【知识点】
1. 有理数加减混合运算
2. 绝对值的化简
3. 分数小数互化
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题，重点考察运算符号的处理和基础运算能力，解题的关键是注意去括号、去绝对值时的符号变化，统一数的形式可降低计算出错率，是巩固运算基本功的典型习题。
【难度系数】
0.7
13.某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护,某天早晨他们从A地出发,晚上最终到达B地.约定向北的方向为正的,当天汽车的行驶记录(单位:km)如下:
+18,-9,+7,-14,-6,+13,-6,-8.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米?
(2)如果汽车行驶1 km平均耗油a L,那么这天汽车共耗油多少升?
+18,-9,+7,-14,-6,+13,-6,-8.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米?
(2)如果汽车行驶1 km平均耗油a L,那么这天汽车共耗油多少升?
答案
13.解:(1)$18-9+7-14-6+13-6-8=-5(\mathrm{km}),|-5|=5.$答:B地在A地的正南方向,它们相距5 km.
(2)$|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|=18+9+7+14+6+13+6+8=81(\mathrm{km}),$
$\because$汽车行驶1 km平均耗油$a\ \mathrm{L},\therefore$汽车行驶81 km耗油$81a$ L.答:这天汽车共耗油$81a$ L.
(2)$|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|=18+9+7+14+6+13+6+8=81(\mathrm{km}),$
$\because$汽车行驶1 km平均耗油$a\ \mathrm{L},\therefore$汽车行驶81 km耗油$81a$ L.答:这天汽车共耗油$81a$ L.
解析
【分析】
(1) 要判断B地相对于A地的位置，可结合正负数的意义分析：约定向北为正，向南为负，把所有行驶记录相加，结果的正负代表相对方向，结果的绝对值就是两地的距离。
(2) 耗油量仅和汽车行驶的总路程有关，和行驶方向无关，因此需要先计算所有行驶记录的绝对值之和得到总路程，再乘每千米的耗油量a即可求出总耗油量。
【解析】
(1) 对所有行驶记录做加减混合运算：
$18-9+7-14-6+13-6-8=-5(\mathrm{km})$
因为向北为正，结果为负，说明B地在A地的正南方向，两地距离为结果的绝对值，即$|-5|=5\mathrm{km}$。
(2) 先计算总行驶路程，即所有行驶记录的绝对值之和：
$|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|$
$=18+9+7+14+6+13+6+8=81(\mathrm{km})$
已知汽车行驶1km平均耗油a L，因此总耗油量为$81× a=81a$ L。
【答案】
(1) B地在A地的正南方向，它们相距5 km；
(2) 这天汽车共耗油$81a$ L。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减混合运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际出题，解题核心是区分位移和路程的计算逻辑：位移需要带正负号求和，路程需要对每段路程取绝对值后求和，掌握该区分点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断B地相对于A地的位置，可结合正负数的意义分析：约定向北为正，向南为负，把所有行驶记录相加，结果的正负代表相对方向，结果的绝对值就是两地的距离。
(2) 耗油量仅和汽车行驶的总路程有关，和行驶方向无关，因此需要先计算所有行驶记录的绝对值之和得到总路程，再乘每千米的耗油量a即可求出总耗油量。
【解析】
(1) 对所有行驶记录做加减混合运算：
$18-9+7-14-6+13-6-8=-5(\mathrm{km})$
因为向北为正，结果为负，说明B地在A地的正南方向，两地距离为结果的绝对值，即$|-5|=5\mathrm{km}$。
(2) 先计算总行驶路程，即所有行驶记录的绝对值之和：
$|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|$
$=18+9+7+14+6+13+6+8=81(\mathrm{km})$
已知汽车行驶1km平均耗油a L，因此总耗油量为$81× a=81a$ L。
【答案】
(1) B地在A地的正南方向，它们相距5 km；
(2) 这天汽车共耗油$81a$ L。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减混合运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际出题，解题核心是区分位移和路程的计算逻辑：位移需要带正负号求和，路程需要对每段路程取绝对值后求和，掌握该区分点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
14. 一场游戏的规则如下：
①每人每次抽4张卡片，如果抽到形如
的卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到形如
的卡片，那么减去卡片上的数字；
②比较两人所抽到的4张卡片的计算结果，结果大的为胜者。
请通过计算（要求有计算过程）回答本次游戏获胜的是谁。
小亮抽到的卡片如图所示：
$\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{2}$，$-5$，$4$
小丽抽到的卡片如图所示：
$-2$，$-\frac{1}{3}$，$-4$，$-\frac{1}{4}$
①每人每次抽4张卡片，如果抽到形如
的卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到形如的卡片，那么减去卡片上的数字；②比较两人所抽到的4张卡片的计算结果，结果大的为胜者。
请通过计算（要求有计算过程）回答本次游戏获胜的是谁。
小亮抽到的卡片如图所示：
$\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{2}$，$-5$，$4$
小丽抽到的卡片如图所示：
$-2$，$-\frac{1}{3}$，$-4$，$-\frac{1}{4}$
答案
14.解:小亮所抽卡片上的数的计算结果:$\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{3}{2})+(-5)-4=-7.$小丽所抽卡片上的数的计算结果:$-2-(-\dfrac{1}{3})+(-4)-(-\dfrac{1}{4})=-5\dfrac{5}{12}.\because-7＜-5\dfrac{5}{12},\therefore$本次游戏获胜的是小丽。
解析
【分析】
首先按照游戏规则，分别列出小亮、小丽两人抽取卡片对应的有理数加减混合运算算式；再依据有理数加减运算法则计算出两人的最终结果；最后比较两个结果的大小，结果更大的一方获胜，注意负数比较大小时，绝对值更小的数数值更大。
【解析】
1. 计算小亮的计算结果：
根据规则列出算式：$\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{3}{2})+(-5)-4$
将减法转化为加法计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}-5-4\\&=2-5-4\\&=-7\end{aligned}$
2. 计算小丽的计算结果：
根据规则列出算式：$-2-(-\dfrac{1}{3})+(-4)-(-\dfrac{1}{4})$
将减法转化为加法计算：
$\begin{aligned}原式&=-2+\dfrac{1}{3}-4+\dfrac{1}{4}\\&=(-2-4)+(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})\\&=-6+\dfrac{7}{12}\\&=-5\dfrac{5}{12}\end{aligned}$
3. 比较大小判断胜者：
$\because -7 ＜ -5\dfrac{5}{12}$，小丽的计算结果更大，因此小丽获胜。
【答案】
本次游戏获胜的是小丽
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数大小比较；有理数减法法则
【点评】
本题结合游戏场景考查有理数的运算应用，解题核心是正确根据规则列出运算式，计算时要注意减法转加法的符号变化，负数比较大小时不要混淆大小关系。
【难度系数】
0.7
首先按照游戏规则，分别列出小亮、小丽两人抽取卡片对应的有理数加减混合运算算式；再依据有理数加减运算法则计算出两人的最终结果；最后比较两个结果的大小，结果更大的一方获胜，注意负数比较大小时，绝对值更小的数数值更大。
【解析】
1. 计算小亮的计算结果：
根据规则列出算式：$\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{3}{2})+(-5)-4$
将减法转化为加法计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}-5-4\\&=2-5-4\\&=-7\end{aligned}$
2. 计算小丽的计算结果：
根据规则列出算式：$-2-(-\dfrac{1}{3})+(-4)-(-\dfrac{1}{4})$
将减法转化为加法计算：
$\begin{aligned}原式&=-2+\dfrac{1}{3}-4+\dfrac{1}{4}\\&=(-2-4)+(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})\\&=-6+\dfrac{7}{12}\\&=-5\dfrac{5}{12}\end{aligned}$
3. 比较大小判断胜者：
$\because -7 ＜ -5\dfrac{5}{12}$，小丽的计算结果更大，因此小丽获胜。
【答案】
本次游戏获胜的是小丽
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数大小比较；有理数减法法则
【点评】
本题结合游戏场景考查有理数的运算应用，解题核心是正确根据规则列出运算式，计算时要注意减法转加法的符号变化，负数比较大小时不要混淆大小关系。
【难度系数】
0.7
