登录
1. （2025·常德期末）阅读材料:余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理,运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的:在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c$,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$;$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$;$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.现已知在$△ ABC$中,$AB=2,BC=4$,$∠ A=60°$,则$AC$的长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{13}+1$
C.$\sqrt{13}-1$
D.$3\sqrt{2}$
B
）A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{13}+1$
C.$\sqrt{13}-1$
D.$3\sqrt{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要读懂题干给出的余弦定理公式，明确公式中边与角的对应关系：公式$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$中，$A$是边$a$的对角，$b、c$是夹$∠ A$的两条边。本题中已知$∠ A=60°$，夹$∠ A$的边为$AB$和待求的$AC$，$∠ A$的对边为$BC$，我们可以设$AC$的长为未知数，代入对应的余弦定理公式得到一元二次方程，解方程后根据边长为正的实际意义取舍根即可得到结果。
【解析】
设$AC=x$，
在$△ ABC$中，$∠ A$的对边为$BC=4$，夹$∠ A$的两条边分别为$AB=2$、$AC=x$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
根据余弦定理公式$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，代入数值可得：
$4^2 = x^2 + 2^2 - 2× x×2×\cos60°$
化简得：$16 = x^2 + 4 - 2x$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - 2x - 12 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4×1×(-12)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2}=1\pm\sqrt{13}$
因为三角形边长为正数，故舍去负根$1-\sqrt{13}$，得$x=1+\sqrt{13}$，即$AC=\sqrt{13}+1$。
【答案】
B
【知识点】
余弦定理应用，一元二次方程求解，特殊角三角函数值
【点评】
本题属于新定义阅读理解类题目，需要先准确提取题干给出的定理信息，理清三角形边角的对应关系，再代入已知条件列方程求解，解题时注意要结合实际意义舍去不符合要求的根，考查信息迁移和综合运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题干给出的余弦定理公式，明确公式中边与角的对应关系：公式$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$中，$A$是边$a$的对角，$b、c$是夹$∠ A$的两条边。本题中已知$∠ A=60°$，夹$∠ A$的边为$AB$和待求的$AC$，$∠ A$的对边为$BC$，我们可以设$AC$的长为未知数，代入对应的余弦定理公式得到一元二次方程，解方程后根据边长为正的实际意义取舍根即可得到结果。
【解析】
设$AC=x$，
在$△ ABC$中，$∠ A$的对边为$BC=4$，夹$∠ A$的两条边分别为$AB=2$、$AC=x$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
根据余弦定理公式$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，代入数值可得：
$4^2 = x^2 + 2^2 - 2× x×2×\cos60°$
化简得：$16 = x^2 + 4 - 2x$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - 2x - 12 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4×1×(-12)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2}=1\pm\sqrt{13}$
因为三角形边长为正数，故舍去负根$1-\sqrt{13}$，得$x=1+\sqrt{13}$，即$AC=\sqrt{13}+1$。
【答案】
B
【知识点】
余弦定理应用，一元二次方程求解，特殊角三角函数值
【点评】
本题属于新定义阅读理解类题目，需要先准确提取题干给出的定理信息，理清三角形边角的对应关系，再代入已知条件列方程求解，解题时注意要结合实际意义舍去不符合要求的根，考查信息迁移和综合运算能力。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ (2024·西宁中考)阅读相关资料:①如图①,在地球仪上,与赤道平行的圆圈叫作纬线;②西宁市的纬度约为北纬37°;③如图②,赤道半径OA约为6 400千米,弦BC//OA.以BC为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度.根据以上信息,北纬37°纬线的长度约为
30720
千米.(参考数据:π≈3,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.8)答案
2. 30720
解析
【分析】
解题时首先要将实际问题转化为几何问题：北纬37°纬线是以北纬37°处纬线圆的半径为半径的圆，已知地球半径为6400km，北纬37°指该点与地心连线和赤道平面的夹角为37°，我们需要先求出该纬线圆的半径，再利用圆的周长公式计算即可。第一步：明确地球半径OB=OA=6400km，∠AOB=37°；第二步：由BC//OA，可推出北纬37°纬线的半径r等于OB平行于赤道平面的投影，即r=OB·cos37°；第三步：代入圆周长公式C=2πr计算得到结果。
【解析】
解：由题意可知，地球半径$OB=OA=6400\mathrm{km}$，$∠ AOB=37°$。
因为$BC// OA$，所以北纬37°纬线的半径$r$为：
$r=OB·\cos37°$
代入已知数据$\cos37°\approx0.8$，得：
$r\approx6400×0.8=5120\mathrm{km}$
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$π\approx3$，得：
$C\approx2×3×5120=30720\mathrm{km}$
【答案】
30720
【知识点】
解直角三角形的应用；圆的周长计算；平行线的性质
【点评】
本题结合地理纬度概念考查三角函数的实际应用，解题核心是理清纬度与三角函数的对应关系，将实际场景转化为几何计算问题，注重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将实际问题转化为几何问题：北纬37°纬线是以北纬37°处纬线圆的半径为半径的圆，已知地球半径为6400km，北纬37°指该点与地心连线和赤道平面的夹角为37°，我们需要先求出该纬线圆的半径，再利用圆的周长公式计算即可。第一步：明确地球半径OB=OA=6400km，∠AOB=37°；第二步：由BC//OA，可推出北纬37°纬线的半径r等于OB平行于赤道平面的投影，即r=OB·cos37°；第三步：代入圆周长公式C=2πr计算得到结果。
【解析】
解：由题意可知，地球半径$OB=OA=6400\mathrm{km}$，$∠ AOB=37°$。
因为$BC// OA$，所以北纬37°纬线的半径$r$为：
$r=OB·\cos37°$
代入已知数据$\cos37°\approx0.8$，得：
$r\approx6400×0.8=5120\mathrm{km}$
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$π\approx3$，得：
$C\approx2×3×5120=30720\mathrm{km}$
【答案】
30720
【知识点】
解直角三角形的应用；圆的周长计算；平行线的性质
【点评】
本题结合地理纬度概念考查三角函数的实际应用，解题核心是理清纬度与三角函数的对应关系，将实际场景转化为几何计算问题，注重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
3. （2025·河南中考）新定义:有两个内角的差为$90°$的三角形叫作“反直角三角形”.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=8$,点$P$为边$BC$上一点,若$△ APC$为“反直角三角形”,则$BP$的长为
$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$
.答案
3. $\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$
解析
【分析】
首先理解“反直角三角形”的定义：存在两个内角的差为90°的三角形。先利用等腰三角形三线合一求出底边的高和底角的相关性质，再分两类讨论△APC满足反直角三角形且点P在线段BC上的情况：第一类是∠APC比∠C大90°，推导得∠BAP为直角，用射影定理求BP；第二类是∠APC比∠PAC大90°，推导得AP是∠DAC的角平分线，用角平分线定理求PC，进而得BP，舍去不在BC上的解即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=$\sqrt{AC^2-DC^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3，且∠DAC + ∠C =90°，∠B=∠C。
△APC为“反直角三角形”，即存在两个内角的差为90°，分两种符合点P在线段BC上的情况讨论：
情况1：∠APC - ∠C = 90°
∵∠APC是△ABP的外角，
∴∠APC=∠B + ∠BAP
又
∵∠B=∠C，代入得∠B + ∠BAP - ∠C =90°，即∠BAP=90°
在Rt△BAP中，AD⊥BP，由射影定理可得$AB^2=BD·BP$
代入数值：$25=4·BP$，解得$BP=\frac{25}{4}$，符合P在线段BC上；
情况2：∠APC - ∠PAC =90°
设PC=x，
在△APC中，由内角和为180°得：∠PAC + ∠APC + ∠C =180°
将∠APC=∠PAC+90°代入得：$2∠PAC +∠C=90°$
又
∵∠DAC +∠C=90°，
∴∠DAC=2∠PAC，即AP平分∠DAC
根据角平分线定理：△ADC中，AP平分∠DAC，则$\frac{DP}{PC}=\frac{AD}{AC}$
∵DP=DC - PC=4-x，AD=3，AC=5，代入得：$\frac{4-x}{x} = \frac{3}{5}$
解得：$x=\frac{5}{2}$，即$PC=\frac{5}{2}$
∴$BP=8 - \frac{5}{2}=\frac{11}{2}$，符合P在线段BC上。
若考虑∠PAC - ∠C=90°，可推得PC＞8，P在BC延长线上，不符合题意，舍去。
综上，BP的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$
【知识点】
新定义阅读理解，等腰三角形性质，角平分线定理
【点评】
本题结合新定义考查三角形相关性质的综合应用，解题关键是准确理解新定义，全面分类讨论所有符合条件的情况，同时注意结合点P的位置对解进行取舍，体现了分类讨论的数学思想，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先理解“反直角三角形”的定义：存在两个内角的差为90°的三角形。先利用等腰三角形三线合一求出底边的高和底角的相关性质，再分两类讨论△APC满足反直角三角形且点P在线段BC上的情况：第一类是∠APC比∠C大90°，推导得∠BAP为直角，用射影定理求BP；第二类是∠APC比∠PAC大90°，推导得AP是∠DAC的角平分线，用角平分线定理求PC，进而得BP，舍去不在BC上的解即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=$\sqrt{AC^2-DC^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3，且∠DAC + ∠C =90°，∠B=∠C。
△APC为“反直角三角形”，即存在两个内角的差为90°，分两种符合点P在线段BC上的情况讨论：
情况1：∠APC - ∠C = 90°
∵∠APC是△ABP的外角，
∴∠APC=∠B + ∠BAP
又
∵∠B=∠C，代入得∠B + ∠BAP - ∠C =90°，即∠BAP=90°
在Rt△BAP中，AD⊥BP，由射影定理可得$AB^2=BD·BP$
代入数值：$25=4·BP$，解得$BP=\frac{25}{4}$，符合P在线段BC上；
情况2：∠APC - ∠PAC =90°
设PC=x，
在△APC中，由内角和为180°得：∠PAC + ∠APC + ∠C =180°
将∠APC=∠PAC+90°代入得：$2∠PAC +∠C=90°$
又
∵∠DAC +∠C=90°，
∴∠DAC=2∠PAC，即AP平分∠DAC
根据角平分线定理：△ADC中，AP平分∠DAC，则$\frac{DP}{PC}=\frac{AD}{AC}$
∵DP=DC - PC=4-x，AD=3，AC=5，代入得：$\frac{4-x}{x} = \frac{3}{5}$
解得：$x=\frac{5}{2}$，即$PC=\frac{5}{2}$
∴$BP=8 - \frac{5}{2}=\frac{11}{2}$，符合P在线段BC上。
若考虑∠PAC - ∠C=90°，可推得PC＞8，P在BC延长线上，不符合题意，舍去。
综上，BP的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$
【知识点】
新定义阅读理解，等腰三角形性质，角平分线定理
【点评】
本题结合新定义考查三角形相关性质的综合应用，解题关键是准确理解新定义，全面分类讨论所有符合条件的情况，同时注意结合点P的位置对解进行取舍，体现了分类讨论的数学思想，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
4. （2025·济宁月考）综合与实践
【新知阅读】在学习了解锐角三角函数以后，在锐角$△ ABC$中（图①），如果$∠ A,∠ B,∠ C$的对边长分别为$a,b,c$，那么就可以得到$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。这是锐角三角函数的重要结论，可用于解决实际问题。
【问题呈现】黄河三角洲湿地是世界上少有的河口湿地生态系统，位于山东省东北部的渤海之滨。某数学兴趣小组要绘制一幅黄河三角洲湿地局部平面示意图，现需要知道黄河三角洲湿地中$A,B$两地间的实际距离。由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究。
【问题解决】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）。
测量过程：步骤1：如图②，在空旷地找一点$C$；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得$∠ A\approx44°,∠ B\approx50°$；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC\approx350\ \mathrm{m},AC\approx400\ \mathrm{m}$。
【问题拓展】（1）请你利用【新知阅读】中的结论计算$A,B$两地间的距离。（结果保留整数，参考数据：$\sin44°\approx0.695,\sin50°\approx0.766,\sin86°\approx0.998$）
【回顾应用】（2）设计其他方案计算$A,B$两地间的距离。要求：选用【问题解决】中的工具，写出你的方案和计算过程。
【新知阅读】在学习了解锐角三角函数以后，在锐角$△ ABC$中（图①），如果$∠ A,∠ B,∠ C$的对边长分别为$a,b,c$，那么就可以得到$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。这是锐角三角函数的重要结论，可用于解决实际问题。
【问题呈现】黄河三角洲湿地是世界上少有的河口湿地生态系统，位于山东省东北部的渤海之滨。某数学兴趣小组要绘制一幅黄河三角洲湿地局部平面示意图，现需要知道黄河三角洲湿地中$A,B$两地间的实际距离。由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究。
【问题解决】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）。
测量过程：步骤1：如图②，在空旷地找一点$C$；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得$∠ A\approx44°,∠ B\approx50°$；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC\approx350\ \mathrm{m},AC\approx400\ \mathrm{m}$。
【问题拓展】（1）请你利用【新知阅读】中的结论计算$A,B$两地间的距离。（结果保留整数，参考数据：$\sin44°\approx0.695,\sin50°\approx0.766,\sin86°\approx0.998$）
【回顾应用】（2）设计其他方案计算$A,B$两地间的距离。要求：选用【问题解决】中的工具，写出你的方案和计算过程。
答案
4. (1)$\because ∠A≈44°,∠B≈50°,∴ ∠C=180°-∠A-∠B≈180°-44°-50°=86°$,由题意得,$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$,又$\because BC≈350\ \mathrm{m},∴ AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{BC\sin 86°}{\sin 44°}≈\frac{350×0.998}{0.695}≈503(\mathrm{m})$.答:A,B两地间的距离约为503 m.
(2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).测量过程:步骤1:如图①,在空旷地找一点C,使得$△ABC$是锐角三角形;步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得$∠C$的度数;步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}$.
计算过程:
如图②,过点A作$AD⊥BC$,则$∠ADC=∠ADB=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$\sin C=\frac{AD}{AC},\cos C=\frac{CD}{AC}$,
$\therefore AD=(b\sin C)\mathrm{m},CD=(b\cos C)\mathrm{m}$,
$\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,
$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}(\mathrm{m})$.
答:A,B两地间的距离为$\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
（1）第一问首先利用三角形内角和为180°求出∠C的度数，再结合题目给出的正弦定理结论，找到BC、∠A、∠C和AB的对应关系，代入已知数据计算即可得到AB的长度。
（2）第二问可通过作高将锐角三角形转化为两个直角三角形，先测量AC、BC的长度和∠C的度数，再在直角三角形中用锐角三角函数表示出高和相关线段的长度，最后用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
(1) $\because ∠A≈44°,∠B≈50°$，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠C=180°-∠A-∠B≈180°-44°-50°=86°$。
由题中给出的正弦定理可得$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$，已知$BC≈350\ \mathrm{m}$，
变形得$AB=\frac{BC·\sin C}{\sin A}=\frac{BC·\sin 86°}{\sin 44°}$，
代入参考数据$\sin44°\approx0.695,\sin86°\approx0.998$，得：
$AB≈\frac{350×0.998}{0.695}≈503(\mathrm{m})$。
(2) 测量方案：
工具：测角仪、测距仪、无人机。
步骤1：如图①，在空旷地找一点C，使得$△ ABC$是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得$∠ C$的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}$。
计算过程：
如图②，过点A作$AD⊥BC$，则$∠ADC=∠ADB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\sin C=\frac{AD}{AC},\cos C=\frac{CD}{AC}$，
$\therefore AD=(b\sin C)\mathrm{m},CD=(b\cos C)\mathrm{m}$，
$\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)$\because ∠A≈44°,∠B≈50°,∴ ∠C=180°-∠A-∠B≈180°-44°-50°=86°$,由题意得,$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$,又$\because BC≈350\ \mathrm{m},∴ AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{BC\sin 86°}{\sin 44°}≈\frac{350×0.998}{0.695}≈503(\mathrm{m})$.答:A,B两地间的距离约为503 m.
(2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).测量过程:步骤1:如图①,在空旷地找一点C,使得$△ABC$是锐角三角形;步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得$∠C$的度数;步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}$.
计算过程:
如图②,过点A作$AD⊥BC$,则$∠ADC=∠ADB=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$\sin C=\frac{AD}{AC},\cos C=\frac{CD}{AC}$,
$\therefore AD=(b\sin C)\mathrm{m},CD=(b\cos C)\mathrm{m}$,
$\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,
$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}(\mathrm{m})$.
答:A,B两地间的距离为$\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}$.
【知识点】
三角形内角和定理，正弦定理，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，既考查了对新给定结论的理解与直接应用能力，又考查了自主设计方案解决实际问题的能力，将三角函数、勾股定理等知识和实际应用结合，能够很好地锻炼知识迁移能力和实践探究思维。
【难度系数】
0.7
（1）第一问首先利用三角形内角和为180°求出∠C的度数，再结合题目给出的正弦定理结论，找到BC、∠A、∠C和AB的对应关系，代入已知数据计算即可得到AB的长度。
（2）第二问可通过作高将锐角三角形转化为两个直角三角形，先测量AC、BC的长度和∠C的度数，再在直角三角形中用锐角三角函数表示出高和相关线段的长度，最后用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
(1) $\because ∠A≈44°,∠B≈50°$，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠C=180°-∠A-∠B≈180°-44°-50°=86°$。
由题中给出的正弦定理可得$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$，已知$BC≈350\ \mathrm{m}$，
变形得$AB=\frac{BC·\sin C}{\sin A}=\frac{BC·\sin 86°}{\sin 44°}$，
代入参考数据$\sin44°\approx0.695,\sin86°\approx0.998$，得：
$AB≈\frac{350×0.998}{0.695}≈503(\mathrm{m})$。
(2) 测量方案：
工具：测角仪、测距仪、无人机。
步骤1：如图①，在空旷地找一点C，使得$△ ABC$是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得$∠ C$的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}$。
计算过程：
如图②，过点A作$AD⊥BC$，则$∠ADC=∠ADB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\sin C=\frac{AD}{AC},\cos C=\frac{CD}{AC}$，
$\therefore AD=(b\sin C)\mathrm{m},CD=(b\cos C)\mathrm{m}$，
$\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)$\because ∠A≈44°,∠B≈50°,∴ ∠C=180°-∠A-∠B≈180°-44°-50°=86°$,由题意得,$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$,又$\because BC≈350\ \mathrm{m},∴ AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{BC\sin 86°}{\sin 44°}≈\frac{350×0.998}{0.695}≈503(\mathrm{m})$.答:A,B两地间的距离约为503 m.
(2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).测量过程:步骤1:如图①,在空旷地找一点C,使得$△ABC$是锐角三角形;步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得$∠C$的度数;步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}$.
计算过程:
如图②,过点A作$AD⊥BC$,则$∠ADC=∠ADB=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$\sin C=\frac{AD}{AC},\cos C=\frac{CD}{AC}$,
$\therefore AD=(b\sin C)\mathrm{m},CD=(b\cos C)\mathrm{m}$,
$\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)\mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,
$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}(\mathrm{m})$.
答:A,B两地间的距离为$\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}$.
【知识点】
三角形内角和定理，正弦定理，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，既考查了对新给定结论的理解与直接应用能力，又考查了自主设计方案解决实际问题的能力，将三角函数、勾股定理等知识和实际应用结合，能够很好地锻炼知识迁移能力和实践探究思维。
【难度系数】
0.7
