4. ★★ (2025·长春期末)问题:如何将物品搬过直角过道?
情境:图①是一直角过道示意图,O,P为直角顶点,过道宽度都是1.2 m.矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视简化图,宽AB为0.8 m.
操作:

探究:
(1)如图②,已知$BC=1.6\ \mathrm{m}$,$OD=0.6\ \mathrm{m}$.小明求得$OC=1\ \mathrm{m}$后,说:“$OC＜1.2\ \mathrm{m}$,该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗?请通过计算说明.
(2)如图③,物品转弯时被卡住(C,B分别在墙面PQ与PR上),若$\tan∠CBP=\frac{3}{4}$,求OD的长.
(3)求该过道可以通过的物品最大长度,即求BC的最大值.(精确到$0.01\ \mathrm{m}$,$\sqrt{5}≈2.236$)

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(1)不赞同小明的结论.理由:连结OB,OC,如图①.$\because BC=1.6\mathrm{ m}$,$OD=0.6\mathrm{ m}$,小明求得$OC=1\mathrm{ m}$,$\therefore CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=0.8(\mathrm{m})$,$OA=AD-OD=1.6-0.6=1(\mathrm{ m})$.$\therefore AB=CD=0.8\mathrm{ m}$,$\therefore OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\frac{\sqrt{41}}{5}(\mathrm{m})$,$\frac{\sqrt{41}}{5}＞\frac{\sqrt{36}}{5}=1.2$.$\because$ 过道宽度都是 1.2 m,$\therefore$ 该物品不能顺利通过直角过道,$\therefore$ 不赞同小明的结论.

(2)过点 D 作$DM⊥OT$,延长 MD 交 PQ 于点 N,如图②,$\because OT// PQ$,$\therefore DN⊥PQ$.$\because ∠ DCN+∠ PCB=90°$,$∠ PCB+∠ PBC=90°$,$\therefore ∠ DCN=∠ CBP$.$\because \tan∠ CBP=\frac{3}{4}$,$\therefore \tan∠ DCN=\frac{3}{4}$.$\because \tan∠ DCN=\frac{3}{4}=\frac{DN}{CN}$,$\therefore$ 设$DN=3k$,则$CN=4k$,$\therefore CD=5k$,$\therefore 5k=0.8$,$\therefore k=\frac{4}{25}$.$\therefore DN=\frac{12}{25}$,$CN=\frac{16}{25}$,$\therefore MD=MN-DN=\frac{18}{25}$.$\because ∠ MDO+∠ NDC=90°$,$∠ NDC+∠ DCN=90°$,$\therefore ∠ MDO=∠ DCN$.$\because ∠ OMD=∠ DNC=90°$,$\therefore △ MDO∽ △ NCD$,$\therefore \frac{MD}{NC}=\frac{OD}{CD}$,$\therefore \frac{\frac{18}{25}}{\frac{16}{25}}=\frac{OD}{\frac{4}{5}}$,$\therefore OD=\frac{9}{8}×\frac{4}{5}=\frac{9}{10}(\mathrm{m})$.
(3)若求该过道可以通过的物品最大长度,此时点 O 为 AD 的中点,$OC⊥PQ$,$OB⊥PR$,且$OB=OC=1.2\mathrm{ m}$,$\therefore OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{1.2^2-0.8^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}(\mathrm{m})$,$\therefore AD=2OD=\frac{4\sqrt{5}}{5}\approx1.78(\mathrm{m})$.$\therefore BC$ 的最大值为 1.78 m.

【分析】
(1) 判断物品能否顺利通过过道，不能仅验证OC的长度是否小于过道宽度，还需验证矩形另一侧顶点B到对应墙面的距离是否符合要求，因此计算OB的长度与1.2m比较即可得出结论。
(2) 求OD的长可先作辅助线构造直角三角形，利用等角的余角相等得到等角，结合已知正切值设参数求出相关线段长度，再借助相似三角形对应边成比例求解OD。
(3) 求过道可通过物品的最大长度，需分析临界状态：当物品刚好被卡住时，OB、OC均等于过道宽度1.2m，且O为AD中点，利用勾股定理求出OD长度后乘2即可得到BC的最大值。
【解析】
(1) 不赞同小明的结论，理由如下：
连结OB、OC，如图①。
已知$BC=1.6\mathrm{ m}$，$OD=0.6\mathrm{ m}$，$OC=1\mathrm{ m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{1^2-0.6^2}=0.8(\mathrm{m})$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD=BC=1.6\mathrm{m}$，$AB=CD=0.8\mathrm{m}$，
∴$OA=AD-OD=1.6-0.6=1(\mathrm{ m})$，
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+0.8^2}=\frac{\sqrt{41}}{5}(\mathrm{m})$，
∵$\frac{\sqrt{41}}{5}＞\frac{\sqrt{36}}{5}=1.2$，而过道宽度为1.2m，
∴该物品不能顺利通过直角过道，故不赞同小明的结论。

(2) 过点D作$DM⊥OT$，延长MD交PQ于点N，如图②。
∵$OT// PQ$，
∴$DN⊥PQ$，
∵$∠ DCN+∠ PCB=90°$，$∠ PCB+∠ PBC=90°$，
∴$∠ DCN=∠ CBP$，
∵$\tan∠ CBP=\frac{3}{4}$，
∴$\tan∠ DCN=\frac{DN}{CN}=\frac{3}{4}$，
设$DN=3k$，$CN=4k$，则在$\mathrm{Rt}△ DCN$中，$CD=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
已知$CD=AB=0.8\mathrm{m}$，
∴$5k=0.8$，解得$k=\frac{4}{25}$，
∴$DN=3×\frac{4}{25}=\frac{12}{25}\mathrm{m}$，$CN=4×\frac{4}{25}=\frac{16}{25}\mathrm{m}$，
∵过道宽度为1.2m，即$MN=1.2\mathrm{m}=\frac{30}{25}\mathrm{m}$，
∴$MD=MN-DN=\frac{30}{25}-\frac{12}{25}=\frac{18}{25}\mathrm{m}$，
∵$∠ MDO+∠ NDC=90°$，$∠ NDC+∠ DCN=90°$，
∴$∠ MDO=∠ DCN$，
又
∵$∠ OMD=∠ DNC=90°$，
∴$△ MDO ∽ △ NCD$，
∴$\frac{MD}{NC}=\frac{OD}{CD}$，代入数值得$\frac{\frac{18}{25}}{\frac{16}{25}}=\frac{OD}{\frac{4}{5}}$，
解得$OD=\frac{9}{8}×\frac{4}{5}=\frac{9}{10}=0.9(\mathrm{m})$。
(3) 当物品刚好能通过过道时为临界状态：此时点O为AD的中点，$OC⊥PQ$，$OB⊥PR$，且$OB=OC=1.2\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{1.2^2-0.8^2}=\sqrt{0.8}=\frac{2\sqrt{5}}{5}(\mathrm{m})$，
∴$AD=2OD=\frac{4\sqrt{5}}{5}\approx\frac{4×2.236}{5}\approx1.78(\mathrm{m})$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$BC=AD$，即BC的最大值约为1.78m。
【答案】
(1) 不赞同小明的结论，该物品不能顺利通过直角过道，理由见解析；
(2) $OD=0.9\mathrm{m}$(或$\frac{9}{10}\mathrm{m}$)；
(3) BC的最大值约为$\boldsymbol{1.78\mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用
【点评】
本题结合搬运物品过直角过道的生活情境，考查几何知识的综合应用，需要结合图形分析临界状态，对建模能力和数形结合思想的应用有一定要求，解题时要注意多角度分析物体通过时的限制条件。
【难度系数】
0.55