1. ⋄⋄ |跨学科融合 小明利用折射定律$\sinα · n_1 = \sinβ · n_2$($n_1,n_2$为折射率,$∠α$为入射角,$∠β$为折射角)制作了一个测算液体折射率的装置.光线从点A按固定角度从空气射入液面,通过调节液面高度,使光线折射后恰好落到点C.已知$\sin∠1=\frac{4}{5}$,空气折射率$n_1$为1,正方形ABCD的边长为36 cm.如图①,装入某款家用食用油时,恰好$CF=15$ cm,该食用油的折射率为.如图②,装入纯净水时,水的折射率为$\frac{4}{3}$,通过度量$CF=20$ cm(存在误差),则此次度量的误差为cm.

1. $\frac{4}{7}$
2. 1.7

2. （2025·泉州模拟）如图是一种笔记本电脑支架，它有A到F共6个档位调节角度.相邻两个档位间的距离为2 cm.将某型号电脑打开置于水平托架上,屏幕侧宽PM与托架侧宽OM都是24 cm,D是支点且$OD=2MD$.当支架调到B档时,$BD⊥OM$;调到F档时,托架OM绕点O旋转至$OM'$,支点D旋转至点$D'$时,$D'F=OF$,$P'M'⊥OA$.若眼睛Q的水平视线恰好经过点P.测点O的俯角为$45°$,则眼睛与屏幕的距离$QP'$为cm.

$(40+8\sqrt{5})$

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先根据$OD=2MD$和$OM$的长度算出$OD$的长度，再结合档位间距得到$OB$和$OF$的关系，利用支撑杆长度不变、B档时$BD⊥ OM$构造直角三角形，通过勾股定理求出$OF$的长度；接着在F档的等腰$△ OD'F$中用勾股定理求出$OM'$与水平方向夹角的三角函数值，得到$M'$的坐标，再结合$P'M'⊥ OA$得到$P'$的坐标；最后根据俯角$45°$推出$Q$点横纵坐标的关系，计算$QP'$的长度即可。
【解析】
1. 求$OD$的长度：
已知$OM=24\ \mathrm{cm}$，$OD=2MD$，因此$OD=\frac{2}{3}OM=\frac{2}{3}×24=16\ \mathrm{cm}$，由旋转的性质得$OD'=OD=16\ \mathrm{cm}$。
2. 利用勾股定理求$OF$：
设$OF=a\ \mathrm{cm}$，相邻档位间距为$2\ \mathrm{cm}$，B档比F档多4个档位间隔，因此$OB=a+4×2=(a+8)\ \mathrm{cm}$。
由题意支撑杆长度不变，即$BD=D'F$，又$\because D'F=OF$，$\therefore BD=D'F=a\ \mathrm{cm}$。
B档时$BD⊥ OM$，$△ ODB$为直角三角形，$∠ ODB=90°$，由勾股定理得：
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$16^2+a^2=(a+8)^2$，
展开得$256+a^2=a^2+16a+64$，解得$a=12$，即$OF=12\ \mathrm{cm}$，$D'F=12\ \mathrm{cm}$。
3. 求$OM'$与水平方向夹角的三角函数值：
过$D'$作$D'G⊥ OA$于点G，设$OG=x\ \mathrm{cm}$，则$FG=OF-OG=(12-x)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ OD'G$和$Rt△ FD'G$中，$D'G^2=OD'^2-OG^2=D'F^2-FG^2$，
代入得$16^2-x^2=12^2-(12-x)^2$，
化简得$256=24x$，解得$x=\frac{32}{3}$。
设$OM'$与水平$OA$的夹角为$θ$，则$\cosθ=\frac{OG}{OD'}=\frac{\frac{32}{3}}{16}=\frac{2}{3}$，$\sinθ=\sqrt{1-\cos^2θ}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
4. 求$P'$和$Q$的坐标：
设$O$为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。
$OM'=24\ \mathrm{cm}$，因此$M'$的横坐标为$-OM'·\cosθ=-24×\frac{2}{3}=-16$，纵坐标为$OM'·\sinθ=24×\frac{\sqrt{5}}{3}=8\sqrt{5}$。
$\because P'M'⊥ OA$，$P'M'=24\ \mathrm{cm}$，$\therefore P'$的横坐标与$M'$相同，纵坐标为$8\sqrt{5}+24$，即$P'(-16,24+8\sqrt{5})$。
$\because Q$的水平视线过$P'$，$\therefore Q$的纵坐标$y_Q=24+8\sqrt{5}$，又$\because$看$O$的俯角为$45°$，水平距离等于竖直距离，$\therefore Q$的横坐标$x_Q=y_Q=24+8\sqrt{5}$。
5. 计算$QP'$的长度：
$QP'$为水平线段，长度为$x_Q-x_{P'}=(24+8\sqrt{5})-(-16)=40+8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(40+8\sqrt{5})$
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，旋转的性质
【点评】
本题结合生活中的笔记本支架情境，综合考查了几何性质和三角函数的实际应用，解题的关键是找准直角位置和各线段的等量关系，能有效考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.3

3. （2025·厦门模拟）图①是一种自卸货车，图②是该货车的示意图，货厢侧面ABCD是一个矩形，AB=4 m，BC=2 m，AD为货车挡板，初始时点A，B，F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3 m。卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A旋转。

(1)当侧面ABCD绕着点A旋转37°时，求点B离地面的距离。
(2)如图②，已知该货车的安全轴距为0.7 m。当挡板AD还未打开时，货厢对角线AC，BD的交点G是货厢侧面的重心。在卸货过程中，如果支点A到货厢重力方向(以点G为端点竖直向下的射线)所在直线的距离小于安全轴距，则车辆会发生倾覆安全事故。当侧面ABCD绕着点A旋转45°且挡板AD还未打开时，该货车会发生倾覆安全事故吗？请说明你的理由。(本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体，在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究。结果保留两位小数，参考值：$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$，$\sqrt{2} \approx 1.4142$)

(1) 如图①,过点 B 作$BP⊥AF$,垂足为 P,在$\mathrm{Rt}△ ABP$中,$BP=AB\sin 37° \approx 4×0.6=2.4(\mathrm{m})$,$2.4+1.3=3.7(\mathrm{m})$.答:点 B 离地面的距离是 3.7 m.

(2)不会发生倾覆安全事故.理由:如图②,过点 G 作$GO⊥AF$,垂足为 O,过点 C 作$CM⊥AF$,垂足为 M,交 AB 于点 I,过点 B 作$BN⊥AF$,垂足为 N,过点 B 作$BK⊥CM$,垂足为 K,则四边形 BNMK 为矩形,$\therefore BN=KM$. 在$\mathrm{Rt}△ ABN$中,$BN=AB· \sin 45° = 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}(\mathrm{m})$,$\therefore BN=KM=2\sqrt{2}\mathrm{ m}.\because BK// AN$,$∠ BAN=∠ KBA=45°$,$∠ CBK=∠ CBA-∠ KBA=90°-45°=45°$.在$\mathrm{Rt}△ BCK$中,$BK=BC· \cos 45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$,$\therefore BK=CK=\sqrt{2}\mathrm{ m}$. 在$\mathrm{Rt}△ BKI$中,$\because ∠ KBA=45°$,$\therefore BK=KI=\sqrt{2}\mathrm{ m}$,$\therefore IM=KM-KI=\sqrt{2}\mathrm{ m}$. 在$\mathrm{Rt}△ AMI$中,$\because ∠ BAF=45°$,$\therefore IM=AM=\sqrt{2}\mathrm{ m}.\because CM// GO$,$\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{AO}{OM}.\because AG=CG$,$\therefore AO=OM=\frac{1}{2}AM=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.71(\mathrm{m}).\because 0.71＞0.7,$$\therefore$ 不会发生倾覆安全事故.

【分析】
(1) 求点B离地面的距离，需先计算旋转37°后点B到初始水平线AF的垂直距离，再加上AB初始离地面的1.3m即可。过B作BP垂直AF，在Rt△ABP中，已知AB长度和旋转角37°，用正弦函数可求出BP长度。
(2) 判断是否倾覆，只需比较支点A到重心G竖直向下直线的水平距离AO与安全轴距0.7m的大小：若AO＞0.7m则不会倾覆，反之会倾覆。G是矩形对角线交点，故AG=GC，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用45°等腰直角三角形的性质求出AM长度，再结合平行线分线段成比例，由G是AC中点推出O是AM中点，算出AO后和0.7比较即可。
【解析】
(1) 如图①，过点B作$BP⊥AF$，垂足为P。
已知AB绕点A旋转37°，故$∠ BAP=37°$，在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$AB=4\mathrm{m}$，
$\therefore BP=AB·\sin 37° \approx 4×0.6=2.4(\mathrm{m})$，
又AB初始离地面高度为1.3m，因此点B离地面的距离为$2.4+1.3=3.7(\mathrm{m})$。
(2) 不会发生倾覆安全事故，理由如下：
如图②，过点G作$GO⊥AF$，垂足为O，过点C作$CM⊥AF$，垂足为M，交AB于点I，过点B作$BN⊥AF$，垂足为N，过点B作$BK⊥CM$，垂足为K。
$\because BN⊥AF, CM⊥AF, BK⊥CM$，$\therefore$ 四边形BNMK为矩形，$\therefore BN=KM$。
在$\mathrm{Rt}△ ABN$中，$∠ BAN=45°$，$AB=4\mathrm{m}$，
$\therefore BN=AB· \sin 45° = 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}(\mathrm{m})$，即$BN=KM=2\sqrt{2}\mathrm{ m}$。
$\because BK// AN$，$\therefore ∠ BAN=∠ KBA=45°$，
又$\because$ 四边形ABCD是矩形，$∠ CBA=90°$，
$\therefore ∠ CBK=∠ CBA-∠ KBA=90°-45°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCK$中，$BC=2\mathrm{m}$，
$\therefore BK=BC· \cos 45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$，$\therefore BK=CK=\sqrt{2}\mathrm{ m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BKI$中，$\because ∠ KBA=45°$，$\therefore BK=KI=\sqrt{2}\mathrm{ m}$，
$\therefore IM=KM-KI=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\mathrm{ m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AMI$中，$\because ∠ MAI=45°$，$\therefore IM=AM=\sqrt{2}\mathrm{ m}$。
$\because CM⊥AF, GO⊥AF$，$\therefore CM// GO$，
由平行线分线段成比例得$\frac{AG}{CG}=\frac{AO}{OM}$，
$\because G$是矩形ABCD对角线的交点，$\therefore AG=CG$，
$\therefore AO=OM=\frac{1}{2}AM=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.71(\mathrm{m})$。
$\because 0.71＞0.7$，$\therefore$ 该货车不会发生倾覆安全事故。
【答案】
(1) 点B离地面的距离是 3.7 m。

(2)不会发生倾覆安全事故，理由见解析。

【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合自卸货车卸货的真实场景命题，将实际问题转化为平面几何问题，需要熟练运用三角函数、矩形与直角三角形的相关性质求解，考查了数学建模能力和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6