5. 【材料阅读】在等腰三角形中,我们把底边与腰长的比叫作顶角的正对(sad).在$△ OMN$中，$OM=ON$，顶角$O$的正对记作$\mathrm{sad}∠ O=\frac{\mathrm{底边}}{\mathrm{腰}}=\frac{MN}{ON}$.由此可知一个角的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义$∠α(0°＜∠α＜180°)$的正对.例如：$\mathrm{sad }60°=1$，$\mathrm{sad }90°=\sqrt{2}$.请根据材料,完成以下问题:如图①，$P$是线段$AB$上一动点(不与点$A,B$重合)，点$C,D$分别是线段$AP,BP$的中点，以$AC,CD,DB$为边分别在$AB$的同侧作等边$△ ACE$、$△ CDF$、$△ DBG$，连结$PE$和$PG$.
(1)【阅读应用】①若等边$△ ACE$、$△ CDF$、$△ DBG$的边长分别为$a,b,c$，则$a,b,c$三者之间的关系为；②$\mathrm{sad}∠ EPG=$.
(2)【猜想证明】如图②，连结$EF,FG$，猜想$\mathrm{sad}∠ EFG$的值是多少，并说明理由.
(3)【拓展应用】如图③，连结$EF,EG$，若$AB=12$，$EF=2\sqrt{7}$，则$△ EPG$的周长是多少？此时$AP$的长为多少？

5. (1)①$b=a+c$ 解析:$\because$ 点C,D分别是线段AP,BP的中点,$\therefore AC=CP,BD=PD$.
$\because AC=a,BD=c,∴ CD=CP+PD=a+c$,即$b=a+c$.
②$\sqrt{3}$ 解析:由题意得,$EC=CP,∠ECP=120°$.
$\therefore ∠EPC=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$,同理,$∠GPD=30°$,
$\therefore ∠EPG=180°-30°-30°=120°$.
$AB=AC,∠BAC=120°$,作$AD⊥BC$于点D,如图①,
则$∠B=30°,BC=2BD$,
$\therefore BC=2BD=2AB·\cos 30°=\sqrt{3}AB$,
$\therefore \mathrm{sad}∠EPG=\mathrm{sad}\ 120°=\sqrt{3}$.

(2)猜想:$\mathrm{sad}∠EFG=\sqrt{3}$.
理由:如图②,连结PF.$\because$ 点C是AP的中点,$△ACE,△CDF$都是等边三角形,$\therefore CP=AC=CE,∠ECF=∠PCF=60°.∵ CF=CF$,
$\therefore △ECF≌△PCF(\mathrm{SAS}),∴ ∠EFC=∠PFC$.同理可得,$∠GFD=∠PFD,∴ ∠EFG=2∠CFD=120°,∴ \mathrm{sad}∠EFG=\mathrm{sad}\ 120°=\sqrt{3}$.
(3)如图③,连结GF,PF,$\because △ECF≌△PCF,∴ EF=PF$.同理可证:$GF=PF,∴ EF=GF.∵ ∠EFG=120°,EF=2\sqrt{7},∴ EG=\sqrt{3}EF=2\sqrt{21}$.
$\because$ 点C,D分别是线段AP,BP的中点,设等边$△ACE、△CDF、△DBG$的边长分别为$a,b,c,∴ PC=AC=CE=a,PD=BD=DG=c,∠ECP=∠PDG=120°,∴ EP=\sqrt{3}PC=\sqrt{3}a,PG=\sqrt{3}PD=\sqrt{3}c,∴ EP+PG=\sqrt{3}(a+c)=\sqrt{3}b=\sqrt{3}CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=6\sqrt{3},∴ EG+EP+PG=2\sqrt{21}+6\sqrt{3}$,
即$△EPG$的周长为$2\sqrt{21}+6\sqrt{3}$.如图③,过点F作$FH⊥CE$交CE的延长线于点H.
$\because CF=CD=b=\frac{1}{2}AB=6,∠ECF=60°$,
$\therefore FH=CF·\sin 60°=3\sqrt{3},CH=CF·\cos 60°=3$. 在$\mathrm{Rt}△EFH$中, $HE=\sqrt{EF^2-FH^2}=\sqrt{(2\sqrt{7})^2-(3\sqrt{3})^2}=1,∴ CE=CH-HE=3-1=2$,
$\therefore AP=2CE=4$,由对称性可知,AP的长还可以为$12-4=8$.综上所述,AP的长为4或8.

【分析】
本题是新定义结合几何的综合题，解题思路如下：1. 先准确理解“正对”的定义：等腰三角形中顶角的正对等于底边与腰的比值，且角的大小和正对值一一对应。2. 第(1)问①利用中点的性质，将CD转化为CP+PD，结合三个等边三角形的边长即可得到a,b,c的关系；②先根据等边三角形的性质得到EC=CP、∠ECP=120°，求出∠EPC=30°，同理得∠GPD=30°，进而求出∠EPG=120°，再根据正对的定义计算120°角的正对值即可。3. 第(2)问先连接PF，通过SAS证明△ECF≌△PCF得∠EFC=∠PFC，同理得∠GFD=∠PFD，进而推出∠EFG=120°，即可得到其正对值。4. 第(3)问先利用前面的全等结论得EF=PF=GF，结合∠EFG=120°算出EG的长度，再根据EP、PG的表达式求出EP+PG的和，即可得到△EPG的周长；再通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出CE的长度，进而得到AP的长，注意要考虑对称性分类讨论。
【解析】
(1)①
∵点C,D分别是线段AP,BP的中点，
∴AC=CP，BD=PD。
∵AC=a，BD=c，
∴CD=CP+PD=a+c，即b=a+c。
②由题意得，EC=AC=CP，∠ACE=60°，
∴∠ECP=180°-60°=120°，
∴$∠EPC=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，同理可得∠GPD=30°，
∴∠EPG=180°-30°-30°=120°。
在顶角为120°的等腰三角形中，设腰长为m，过顶点作底边的高，可得底角为30°，底边长度为$2× m× \cos30°=\sqrt{3}m$，
∴$\mathrm{sad}120°=\frac{\sqrt{3}m}{m}=\sqrt{3}$，即$\mathrm{sad}∠EPG=\sqrt{3}$。

(2)猜想：$\mathrm{sad}∠EFG=\sqrt{3}$，理由如下：
如图②，连结PF。
∵点C是AP的中点，△ACE、△CDF都是等边三角形，
∴CP=AC=CE，∠ECF=∠PCF=60°，
又
∵CF=CF，
∴$△ECF≌△PCF(\mathrm{SAS})$，
∴∠EFC=∠PFC。
同理可得∠GFD=∠PFD，
∴∠EFG=∠PFC+∠PFD+∠CFD-∠CFD？不对，哦正确推导：∠EFG=∠EFC+∠CFD+∠DFG=∠PFC+60°+∠PFD= (∠PFC+∠PFD)+60°=∠CFD+60°=60°+60°=120°，
∴$\mathrm{sad}∠EFG=\mathrm{sad}120°=\sqrt{3}$。(3)如图③，连结GF,PF，
∵△ECF≌△PCF，
∴EF=PF，同理可证GF=PF，
∴EF=GF，
∵∠EFG=120°，$EF=2\sqrt{7}$，
∴$EG=\sqrt{3}EF=2\sqrt{21}$。设等边△ACE、△CDF、△DBG的边长分别为a,b,c，
∵点C,D分别是线段AP,BP的中点，
∴PC=AC=CE=a，PD=BD=DG=c，∠ECP=∠PDG=120°，
∴$EP=\sqrt{3}PC=\sqrt{3}a$，$PG=\sqrt{3}PD=\sqrt{3}c$，
∵b=a+c，且$CD=b=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
∴$EP+PG=\sqrt{3}(a+c)=\sqrt{3}b=6\sqrt{3}$，
∴△EPG的周长$=EG+EP+PG=2\sqrt{21}+6\sqrt{3}$。如图③，过点F作FH⊥CE交CE的延长线于点H，
∵CF=CD=b=6，∠ECF=60°，
∴$FH=CF·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，$CH=CF·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，在$\mathrm{Rt}△EFH$中，$HE=\sqrt{EF^2-FH^2}=\sqrt{(2\sqrt{7})^2-(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{28-27}=1$，
∴CE=CH-HE=3-1=2，
∴AP=2CE=4，由对称性可知，当点P靠近B时，AP=12-4=8，综上所述，△EPG的周长为$2\sqrt{21}+6\sqrt{3}$，AP的长为4或8。【答案】(1)①b=a+c；$②\sqrt{3}(2)\mathrm{sad}∠EFG=\sqrt{3}(3)△EPG$的周长为$2\sqrt{21}+6\sqrt{3}$，AP的长为4或8


【知识点】
新定义运算，全等三角形判定与性质，等边三角形性质
【点评】
本题为新定义类几何综合题，解题前提是准确理解“正对”的定义，解题过程需要综合运用等边三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理等知识，第三问还需运用分类讨论思想考虑AP的两种取值，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.3