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9.我们常用的数是十进制，例如：$4567=4×10^3 +5×10^2 +6×10 +7×1$，其中使用了0～9共十个数字（也称数码）。而在电子计算机中，常用的是二进制，仅使用0和1两个数字。例如：二进制数110可表示为$1×2^2 +1×2^1 +0×1$，其值等于十进制中的6；二进制数110101可表示为$1×2^5 +1×2^4 +0×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×1$，其值等于十进制中的53。请根据以上规则，计算二进制数101011对应的十进制数是多少。
答案
解：将二进制数101011按规则展开计算：
$\begin{aligned}&1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×1\\=&32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1\\=&43\end{aligned}$
答：二进制数101011对应的十进制数是43。
$\begin{aligned}&1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×1\\=&32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1\\=&43\end{aligned}$
答：二进制数101011对应的十进制数是43。
解析
【分析】
首先要读懂题目给出的二进制转十进制的规则：二进制数的每一位数字（0或1），从右到左依次对应乘2的0次方、2的1次方……最高位对应2的（总位数-1）次方，最后将所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。解题时先数出二进制数101011的总位数，确定每一位对应的2的幂次，再结合乘方运算求和即可。
【解析】
将二进制数101011按规则展开计算：
$\begin{aligned}&1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\=&1×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\=&32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1\\=&43\end{aligned}$
【答案】
43
【知识点】
乘方运算、二进制转十进制
【点评】
本题属于材料阅读类基础题，核心是先提取题目给出的进制转换规则，再结合已学的乘方运算进行计算，主要考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先要读懂题目给出的二进制转十进制的规则：二进制数的每一位数字（0或1），从右到左依次对应乘2的0次方、2的1次方……最高位对应2的（总位数-1）次方，最后将所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。解题时先数出二进制数101011的总位数，确定每一位对应的2的幂次，再结合乘方运算求和即可。
【解析】
将二进制数101011按规则展开计算：
$\begin{aligned}&1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\=&1×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\=&32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1\\=&43\end{aligned}$
【答案】
43
【知识点】
乘方运算、二进制转十进制
【点评】
本题属于材料阅读类基础题，核心是先提取题目给出的进制转换规则，再结合已学的乘方运算进行计算，主要考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
10.观察下面三行数：
2,-4,8,-16,…;①
-1,2,-4,8,…;②
3,-3,9,-15,….③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第9个数，计算这三个数的和。
2,-4,8,-16,…;①
-1,2,-4,8,…;②
3,-3,9,-15,….③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第9个数，计算这三个数的和。
答案
解：
(1) 第①行数的规律：第1个数是2，后面每一个数都等于它前一个数乘-2，第n个数的绝对值是$2^n$，符号为奇数项正、偶数项负，可表示为$(-1)^{n+1}· 2^n$。
(2) 第②行数的每一个数，都是第①行对应位置的数除以-2得到的；
第③行数的每一个数，都是第①行对应位置的数加1得到的。
(3) 第①行的第9个数为：$2^9 = 512$
第②行的第9个数为：$512 ÷ (-2) = -256$
第③行的第9个数为：$512 + 1 = 513$
三个数的和为：$512 + (-256) + 513 = 769$
(1) 第①行数的规律：第1个数是2，后面每一个数都等于它前一个数乘-2，第n个数的绝对值是$2^n$，符号为奇数项正、偶数项负，可表示为$(-1)^{n+1}· 2^n$。
(2) 第②行数的每一个数，都是第①行对应位置的数除以-2得到的；
第③行数的每一个数，都是第①行对应位置的数加1得到的。
(3) 第①行的第9个数为：$2^9 = 512$
第②行的第9个数为：$512 ÷ (-2) = -256$
第③行的第9个数为：$512 + 1 = 513$
三个数的和为：$512 + (-256) + 513 = 769$
解析
【分析】
解决这道题可分三步思考：
1. 分析第①行规律：先看数字绝对值，依次为2、4、8、16，对应2¹、2²、2³、2⁴，再看符号，奇数项为正、偶数项为负，也可观察前后项关联，后一项是前一项乘-2得到，即可总结排列规律。
2. 对比行与行的关系：将三行同一位置的数放在一起比较，通过计算对应数的差、商，就能找到第②、③行和第①行的数量关系。
3. 计算三个第9个数的和：先根据第①行的规律求出第9个数，再按第②、③行和第①行的关系分别算出对应第9个数，最后相加求和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：2，-4，8，-16…
数字的绝对值依次为2¹、2²、2³、2⁴……，第n个数的绝对值为$2^n$；符号规律为奇数项为正，偶数项为负，也可理解为后一个数等于前一个数乘-2，因此第n个数可表示为$(-1)^{n+1}·2^n$。
(2) 对比同位置的数字：
第②行每个数都是第①行对应位置的数除以-2得到的；
第③行每个数都是第①行对应位置的数加1得到的。
(3) 第①行第9个数：n=9时，$(-1)^{9+1}·2^9=2^9=512$
第②行第9个数：$512÷(-2)=-256$
第③行第9个数：$512+1=513$
三个数的和为：$512+(-256)+513=769$
【答案】
769
【知识点】
数字规律探究、有理数乘方、有理数运算
【点评】
本题是数字规律探究类的典型习题，重点考察对数字特征的观察、归纳能力，解题时可分别从数字的绝对值、符号两个维度分析规律，再横向对比不同行的对应数字找到关联，最后代入计算即可，难度不大，细心观察即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决这道题可分三步思考：
1. 分析第①行规律：先看数字绝对值，依次为2、4、8、16，对应2¹、2²、2³、2⁴，再看符号，奇数项为正、偶数项为负，也可观察前后项关联，后一项是前一项乘-2得到，即可总结排列规律。
2. 对比行与行的关系：将三行同一位置的数放在一起比较，通过计算对应数的差、商，就能找到第②、③行和第①行的数量关系。
3. 计算三个第9个数的和：先根据第①行的规律求出第9个数，再按第②、③行和第①行的关系分别算出对应第9个数，最后相加求和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：2，-4，8，-16…
数字的绝对值依次为2¹、2²、2³、2⁴……，第n个数的绝对值为$2^n$；符号规律为奇数项为正，偶数项为负，也可理解为后一个数等于前一个数乘-2，因此第n个数可表示为$(-1)^{n+1}·2^n$。
(2) 对比同位置的数字：
第②行每个数都是第①行对应位置的数除以-2得到的；
第③行每个数都是第①行对应位置的数加1得到的。
(3) 第①行第9个数：n=9时，$(-1)^{9+1}·2^9=2^9=512$
第②行第9个数：$512÷(-2)=-256$
第③行第9个数：$512+1=513$
三个数的和为：$512+(-256)+513=769$
【答案】
769
【知识点】
数字规律探究、有理数乘方、有理数运算
【点评】
本题是数字规律探究类的典型习题，重点考察对数字特征的观察、归纳能力，解题时可分别从数字的绝对值、符号两个维度分析规律，再横向对比不同行的对应数字找到关联，最后代入计算即可，难度不大，细心观察即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11.已知a是有理数.
(1)若$b=(a+2)^2 +3$，则b是否有最小值？若有，请求出这个最小值，并求出此时a的值；若没有，请说明理由；
(2)试比较$a^2$与$|a|$的大小.
(1)若$b=(a+2)^2 +3$，则b是否有最小值？若有，请求出这个最小值，并求出此时a的值；若没有，请说明理由；
(2)试比较$a^2$与$|a|$的大小.
答案
解：
(1) b有最小值。
因为对任意有理数a，都有$(a+2)^2 \ge 0$，
所以当$(a+2)^2=0$时，b取得最小值，
此时$a+2=0$，解得$a=-2$，
b的最小值为$0+3=3$。
即b的最小值为3，此时a的值为$-2$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$a ＜ -1$或$a ＞ 1$时，$a^2 ＞ |a|$；
② 当$a = -1$或$a = 0$或$a = 1$时，$a^2 = |a|$；
③ 当$-1 ＜ a ＜ 1$且$a \ne 0$时，$a^2 ＜ |a|$。
(1) b有最小值。
因为对任意有理数a，都有$(a+2)^2 \ge 0$，
所以当$(a+2)^2=0$时，b取得最小值，
此时$a+2=0$，解得$a=-2$，
b的最小值为$0+3=3$。
即b的最小值为3，此时a的值为$-2$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$a ＜ -1$或$a ＞ 1$时，$a^2 ＞ |a|$；
② 当$a = -1$或$a = 0$或$a = 1$时，$a^2 = |a|$；
③ 当$-1 ＜ a ＜ 1$且$a \ne 0$时，$a^2 ＜ |a|$。
解析
【分析】
(1) 要判断b是否有最小值，可结合平方的性质思考：任意有理数的平方都是非负数，即$(a+2)^2\ge0$恒成立，因此$(a+2)^2$的最小值为0，此时b作为“非负数+3”的形式，也能取到最小值，再求解此时a的值即可。
(2) $a^2$和$|a|$均为非负数，直接比较大小无法得到统一结论，因此可按a的取值范围分类讨论：先验证临界特殊值$a=\pm1、a=0$时两者的大小，再分别讨论$a＞1、0＜a＜1、-1＜a＜0、a＜-1$四个区间的大小关系，最后合并相同结论即可。
【解析】
(1) b有最小值。
因为对任意有理数a，都有$(a+2)^2 \ge 0$，所以当$(a+2)^2=0$时，b取得最小值。
此时$a+2=0$，解得$a=-2$，代入b的表达式得最小值为$0+3=3$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$a ＜ -1$或$a ＞ 1$时，$a^2 ＞ |a|$；
② 当$a = -1$或$a = 0$或$a = 1$时，$a^2 = |a|$；
③ 当$-1 ＜ a ＜ 1$且$a \ne 0$时，$a^2 ＜ |a|$。
【答案】
(1) b有最小值，最小值为3，此时a的值为$-2$；
(2) 当$a ＜ -1$或$a ＞ 1$时，$a^2 ＞ |a|$；当$a=-1$或$a=0$或$a=1$时，$a^2 = |a|$；当$-1 ＜ a ＜ 1$且$a\ne0$时，$a^2 ＜ |a|$。
【知识点】
平方的非负性；绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用和分类讨论思维，第一问需熟练掌握平方的非负性，第二问要注意分类讨论的全面性，不要遗漏0、±1这几个临界特殊值，避免出现判断疏漏。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断b是否有最小值，可结合平方的性质思考：任意有理数的平方都是非负数，即$(a+2)^2\ge0$恒成立，因此$(a+2)^2$的最小值为0，此时b作为“非负数+3”的形式，也能取到最小值，再求解此时a的值即可。
(2) $a^2$和$|a|$均为非负数，直接比较大小无法得到统一结论，因此可按a的取值范围分类讨论：先验证临界特殊值$a=\pm1、a=0$时两者的大小，再分别讨论$a＞1、0＜a＜1、-1＜a＜0、a＜-1$四个区间的大小关系，最后合并相同结论即可。
【解析】
(1) b有最小值。
因为对任意有理数a，都有$(a+2)^2 \ge 0$，所以当$(a+2)^2=0$时，b取得最小值。
此时$a+2=0$，解得$a=-2$，代入b的表达式得最小值为$0+3=3$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$a ＜ -1$或$a ＞ 1$时，$a^2 ＞ |a|$；
② 当$a = -1$或$a = 0$或$a = 1$时，$a^2 = |a|$；
③ 当$-1 ＜ a ＜ 1$且$a \ne 0$时，$a^2 ＜ |a|$。
【答案】
(1) b有最小值，最小值为3，此时a的值为$-2$；
(2) 当$a ＜ -1$或$a ＞ 1$时，$a^2 ＞ |a|$；当$a=-1$或$a=0$或$a=1$时，$a^2 = |a|$；当$-1 ＜ a ＜ 1$且$a\ne0$时，$a^2 ＜ |a|$。
【知识点】
平方的非负性；绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用和分类讨论思维，第一问需熟练掌握平方的非负性，第二问要注意分类讨论的全面性，不要遗漏0、±1这几个临界特殊值，避免出现判断疏漏。
【难度系数】
0.7
12.(1)比较下列数的大小(在横线上填写“＞”“＜”或“=”):
$1^2$ $2^1$，$2^3$ $3^2$，$3^4$ $4^3$，
$4^5$ $5^4$，$5^6$ $6^5$；
(2)根据以上规律比较$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小($n$是正整数)；
(3)根据归纳总结，比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小。
$1^2$ $2^1$，$2^3$ $3^2$，$3^4$ $4^3$，
$4^5$ $5^4$，$5^6$ $6^5$；
(2)根据以上规律比较$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小($n$是正整数)；
(3)根据归纳总结，比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小。
答案
解：
(1) 计算各乘方的值：
$1^2=1$，$2^1=2$，得$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，得$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，得$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，得$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，得$5^6 ＞ 6^5$。
依次填写：$＜$，$＜$，$＞$，$＞$，$＞$。
(2) 归纳规律可得：
当正整数$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；
当正整数$n\ge3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2024\ge3$，根据上述规律可得：
$2024^{2025} ＞ 2025^{2024}$。
(1) 计算各乘方的值：
$1^2=1$，$2^1=2$，得$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，得$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，得$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，得$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，得$5^6 ＞ 6^5$。
依次填写：$＜$，$＜$，$＞$，$＞$，$＞$。
(2) 归纳规律可得：
当正整数$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；
当正整数$n\ge3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2024\ge3$，根据上述规律可得：
$2024^{2025} ＞ 2025^{2024}$。
解析
【分析】
解题思路分三步推进：第(1)问先分别计算每组两个乘方的结果，再根据有理数大小比较的规则判断大小关系；第(2)问观察第(1)问的结果，按n的正整数取值分类，总结出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小规律；第(3)问判断2024符合规律中的哪类情况，直接套用规律即可比较两个超大数的大小，无需计算具体数值。
【解析】
(1) 分别计算各乘方的值再比较：
$1^2=1$，$2^1=2$，可得$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，可得$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，可得$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，可得$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，可得$5^6 ＞ 6^5$。
(2) 根据(1)的结果归纳规律：
当正整数$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；
当正整数$n\ge3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2024\ge3$，符合$n\ge3$的规律，因此可直接判断大小。
【答案】
(1)$＜$，$＜$，$＞$，$＞$，$＞$；
(2)当$n=1$或$n=2$（$n$为正整数）时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge3$（$n$为正整数）时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$；
(3)$2024^{2025} ＞ 2025^{2024}$
【知识点】
乘方运算，有理数大小比较，归纳找规律
【点评】
本题从基础乘方计算入手，引导学生从特殊案例归纳通用规律，再用规律解决大数比较问题，既考察了基础运算能力，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，通过规律规避了超大数的直接计算，解题思路巧妙。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步推进：第(1)问先分别计算每组两个乘方的结果，再根据有理数大小比较的规则判断大小关系；第(2)问观察第(1)问的结果，按n的正整数取值分类，总结出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小规律；第(3)问判断2024符合规律中的哪类情况，直接套用规律即可比较两个超大数的大小，无需计算具体数值。
【解析】
(1) 分别计算各乘方的值再比较：
$1^2=1$，$2^1=2$，可得$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，可得$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，可得$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，可得$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，可得$5^6 ＞ 6^5$。
(2) 根据(1)的结果归纳规律：
当正整数$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；
当正整数$n\ge3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2024\ge3$，符合$n\ge3$的规律，因此可直接判断大小。
【答案】
(1)$＜$，$＜$，$＞$，$＞$，$＞$；
(2)当$n=1$或$n=2$（$n$为正整数）时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge3$（$n$为正整数）时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$；
(3)$2024^{2025} ＞ 2025^{2024}$
【知识点】
乘方运算，有理数大小比较，归纳找规律
【点评】
本题从基础乘方计算入手，引导学生从特殊案例归纳通用规律，再用规律解决大数比较问题，既考察了基础运算能力，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，通过规律规避了超大数的直接计算，解题思路巧妙。
【难度系数】
0.7
