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例1 用科学记数法表示下列各数：
(1)2 000； (2)860 000； (3)1 380 000.
【思路导析】把大于10的数写成$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$是正整数.
【请你解答】
(1)2 000； (2)860 000； (3)1 380 000.
【思路导析】把大于10的数写成$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$是正整数.
【请你解答】
答案
解：
(1) $2000 = 2×10^3$
(2) $860\ 000 = 8.6×10^5$
(3) $1\ 380\ 000 = 1.38×10^6$
(1) $2000 = 2×10^3$
(2) $860\ 000 = 8.6×10^5$
(3) $1\ 380\ 000 = 1.38×10^6$
解析
【分析】
解题时先回忆科学记数法的定义：大于10的数用科学记数法表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。解题分两步走即可：第一步确定$a$，把原数的小数点向左移动到最高位非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$，$n$的值等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，再按规则写出结果即可。
【解析】
按照科学记数法的表示规则逐一计算：
(1) 处理2000：将小数点向左移动3位得到$a=2$，原数整数位数为4位，因此$n=4-1=3$，可得$2000=2×10^3$。
(2) 处理860000：将小数点向左移动5位得到$a=8.6$，原数整数位数为6位，因此$n=6-1=5$，可得$860000=8.6×10^5$。
(3) 处理1380000：将小数点向左移动6位得到$a=1.38$，原数整数位数为7位，因此$n=7-1=6$，可得$1380000=1.38×10^6$。
【答案】
(1) $2000 = 2×10^3$
(2) $860\ 000 = 8.6×10^5$
(3) $1\ 380\ 000 = 1.38×10^6$
【知识点】
科学记数法；数的改写
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，核心考查$a$的取值要求和$n$的计算方法，熟练掌握规则后可以快速完成大数的科学记数法改写，是后续大数相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆科学记数法的定义：大于10的数用科学记数法表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。解题分两步走即可：第一步确定$a$，把原数的小数点向左移动到最高位非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$，$n$的值等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，再按规则写出结果即可。
【解析】
按照科学记数法的表示规则逐一计算：
(1) 处理2000：将小数点向左移动3位得到$a=2$，原数整数位数为4位，因此$n=4-1=3$，可得$2000=2×10^3$。
(2) 处理860000：将小数点向左移动5位得到$a=8.6$，原数整数位数为6位，因此$n=6-1=5$，可得$860000=8.6×10^5$。
(3) 处理1380000：将小数点向左移动6位得到$a=1.38$，原数整数位数为7位，因此$n=7-1=6$，可得$1380000=1.38×10^6$。
【答案】
(1) $2000 = 2×10^3$
(2) $860\ 000 = 8.6×10^5$
(3) $1\ 380\ 000 = 1.38×10^6$
【知识点】
科学记数法；数的改写
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，核心考查$a$的取值要求和$n$的计算方法，熟练掌握规则后可以快速完成大数的科学记数法改写，是后续大数相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
例2 下列用科学记数法写出的数，它的原数是什么？
(1)$6.25×10^{4}$；
(2)$10^{6}$。
【思路导析】对于$6.25×10^{4}$，$a=6.25$，把$a$的小数点向右移动4位。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$6.25×10^{4}$；
(2)$10^{6}$。
【思路导析】对于$6.25×10^{4}$，$a=6.25$，把$a$的小数点向右移动4位。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 把6.25的小数点向右移动4位，可得
$6.25×10^{4}=62500$。
(2) $10^{6}=1×10^{6}$，把1的小数点向右移动6位，可得
$10^{6}=1000000$。
(1) 把6.25的小数点向右移动4位，可得
$6.25×10^{4}=62500$。
(2) $10^{6}=1×10^{6}$，把1的小数点向右移动6位，可得
$10^{6}=1000000$。
解析
【分析】
本题考查科学记数法还原原数的方法，科学记数法的表现形式为$a×10^n$（$1≤\vert a\vert＜10$，$n$为整数），要还原成原数时，只需将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不够的用0补齐即可。解题时先确定每道小题中$a$的值和$n$的值，再按上述规则移动小数点就能得到原数。
【解析】
(1) 对于$6.25×10^4$，其中$a=6.25$，$n=4$，把6.25的小数点向右移动4位，可得：
$6.25×10^4=62500$
(2) 对于$10^6$，可转化为科学记数法的标准形式$1×10^6$，其中$a=1$，$n=6$，把1的小数点向右移动6位，可得：
$10^6=1000000$
【答案】
(1) $\boxed{62500}$；(2) $\boxed{1000000}$
【知识点】
科学记数法还原、小数点移动规律
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，核心是掌握科学记数法逆推原数的规律，操作简单，熟记规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法还原原数的方法，科学记数法的表现形式为$a×10^n$（$1≤\vert a\vert＜10$，$n$为整数），要还原成原数时，只需将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不够的用0补齐即可。解题时先确定每道小题中$a$的值和$n$的值，再按上述规则移动小数点就能得到原数。
【解析】
(1) 对于$6.25×10^4$，其中$a=6.25$，$n=4$，把6.25的小数点向右移动4位，可得：
$6.25×10^4=62500$
(2) 对于$10^6$，可转化为科学记数法的标准形式$1×10^6$，其中$a=1$，$n=6$，把1的小数点向右移动6位，可得：
$10^6=1000000$
【答案】
(1) $\boxed{62500}$；(2) $\boxed{1000000}$
【知识点】
科学记数法还原、小数点移动规律
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，核心是掌握科学记数法逆推原数的规律，操作简单，熟记规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
例3 (1)光的传播速度为300 000 km/s，太阳光照射到地球上大约需要500 s，求太阳到地球的距离；(用科学记数法表示)(2)在比例尺为1：8 000 000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4 cm，这两地的实际距离是多少千米？
【思路导析】(1)距离=速度×时间；
(2)$\frac{图上距离}{实际距离}=$比例尺.
【规范解答】(1)$300000×500=150000000=1.5×10^8$(km).
所以太阳到地球的距离为$1.5×10^8$ km.
(2)$\frac{6.4}{两地距离}=\frac{1}{8000000}$
两地距离$=6.4×8000000$
$=51200000$(cm)
$=5.12×10^2$(km).
所以两地的实际距离为$5.12×10^2$ km.
答案
解：
(1) 太阳到地球的距离为：
$300\ 000 × 500 = 150\ 000\ 000 = 1.5 × 10^8 \ (\mathrm{km})$
(2) 根据比例尺公式，可得两地实际距离为：
$6.4 × 8\ 000\ 000 = 51\ 200\ 000 \ (\mathrm{cm})$
因为 $1\ \mathrm{km} = 10^5\ \mathrm{cm}$，所以
$51\ 200\ 000\ \mathrm{cm} = 512\ \mathrm{km} = 5.12 × 10^2\ \mathrm{km}$
答：太阳到地球的距离为$1.5×10^8\ \mathrm{km}$，太原到北京的实际距离是$5.12×10^2\ \mathrm{km}$。
(1) 太阳到地球的距离为：
$300\ 000 × 500 = 150\ 000\ 000 = 1.5 × 10^8 \ (\mathrm{km})$
(2) 根据比例尺公式，可得两地实际距离为：
$6.4 × 8\ 000\ 000 = 51\ 200\ 000 \ (\mathrm{cm})$
因为 $1\ \mathrm{km} = 10^5\ \mathrm{cm}$，所以
$51\ 200\ 000\ \mathrm{cm} = 512\ \mathrm{km} = 5.12 × 10^2\ \mathrm{km}$
答：太阳到地球的距离为$1.5×10^8\ \mathrm{km}$，太原到北京的实际距离是$5.12×10^2\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
(1) 求解太阳到地球的距离，首先使用行程问题基本公式：路程=速度×时间，代入数值算出总路程后，再将结果转换为科学记数法的形式（科学记数法要求写成$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）。
(2) 求解两地实际距离，根据比例尺的定义：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形可得$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}×\mathrm{比例尺分母}$，先算出以厘米为单位的距离，再根据长度单位进率（$1\mathrm{km}=10^5\mathrm{cm}$）换算为千米，最终可按需用科学记数法表示结果。
【解析】
(1) 根据路程计算公式代入数据：
$300000 × 500 = 150000000\ \mathrm{km}$
将$150000000$改写为科学记数法：$150000000=1.5×10^8\ \mathrm{km}$。
(2) 根据比例尺公式计算实际距离：
$6.4 × 8000000 = 51200000\ \mathrm{cm}$
进行单位换算：$51200000\ \mathrm{cm}=51200000÷100000=512\ \mathrm{km}=5.12×10^2\ \mathrm{km}$。
【答案】
太阳到地球的距离为$1.5×10^8\ \mathrm{km}$，太原到北京的实际距离是$5.12×10^2\ \mathrm{km}$。
【知识点】
科学记数法，比例尺应用，单位换算
【点评】
本题结合生活场景出题，侧重考察基础公式的应用能力，只要熟练掌握科学记数法的表示规则、单位换算方法，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
(1) 求解太阳到地球的距离，首先使用行程问题基本公式：路程=速度×时间，代入数值算出总路程后，再将结果转换为科学记数法的形式（科学记数法要求写成$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）。
(2) 求解两地实际距离，根据比例尺的定义：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形可得$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}×\mathrm{比例尺分母}$，先算出以厘米为单位的距离，再根据长度单位进率（$1\mathrm{km}=10^5\mathrm{cm}$）换算为千米，最终可按需用科学记数法表示结果。
【解析】
(1) 根据路程计算公式代入数据：
$300000 × 500 = 150000000\ \mathrm{km}$
将$150000000$改写为科学记数法：$150000000=1.5×10^8\ \mathrm{km}$。
(2) 根据比例尺公式计算实际距离：
$6.4 × 8000000 = 51200000\ \mathrm{cm}$
进行单位换算：$51200000\ \mathrm{cm}=51200000÷100000=512\ \mathrm{km}=5.12×10^2\ \mathrm{km}$。
【答案】
太阳到地球的距离为$1.5×10^8\ \mathrm{km}$，太原到北京的实际距离是$5.12×10^2\ \mathrm{km}$。
【知识点】
科学记数法，比例尺应用，单位换算
【点评】
本题结合生活场景出题，侧重考察基础公式的应用能力，只要熟练掌握科学记数法的表示规则、单位换算方法，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
1.许多人由于粗心，家里经常水龙头“滴水”或“流水”不断.根据测定，一般情况下，一个水龙头“滴水”1 h可以流掉3.5 kg水，若1年按365天计算，则这个水龙头1年可以流掉多少千克水？（用科学记数法表示）
答案
解：
3.5×24×365 = 30660
30660 = 3.066×10⁴
答：这个水龙头1年可以流掉$3.066×10^{4}$千克水。
3.5×24×365 = 30660
30660 = 3.066×10⁴
答：这个水龙头1年可以流掉$3.066×10^{4}$千克水。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确总流水量的计算逻辑：已知1小时流掉的水量，先计算1天24小时的流水量，再乘一年的365天就能得到全年总流水量。得到总水量后，再按照科学记数法的规则（形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）将结果改写为科学记数法即可。
【解析】
1. 计算全年总流水量：
1天有24小时，1年有365天，因此全年流水重量为：
$\begin{aligned}3.5×24×365&=84×365\\&=30660(\mathrm{千克})\end{aligned}$
2. 将结果改写为科学记数法：
30660的整数位共5位，因此$n=5-1=4$，$a=3.066$，即$30660=3.066×10^4$。
【答案】
这个水龙头1年可以流掉$3.066×10^{4}$千克水。
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法
【点评】
本题结合生活节水场景出题，既考查了基本乘法计算能力，又考查了科学记数法的规范书写，解题时要注意计算准确性，同时牢记科学记数法中$a$的取值需满足$1≤a＜10$的要求。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确总流水量的计算逻辑：已知1小时流掉的水量，先计算1天24小时的流水量，再乘一年的365天就能得到全年总流水量。得到总水量后，再按照科学记数法的规则（形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）将结果改写为科学记数法即可。
【解析】
1. 计算全年总流水量：
1天有24小时，1年有365天，因此全年流水重量为：
$\begin{aligned}3.5×24×365&=84×365\\&=30660(\mathrm{千克})\end{aligned}$
2. 将结果改写为科学记数法：
30660的整数位共5位，因此$n=5-1=4$，$a=3.066$，即$30660=3.066×10^4$。
【答案】
这个水龙头1年可以流掉$3.066×10^{4}$千克水。
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法
【点评】
本题结合生活节水场景出题，既考查了基本乘法计算能力，又考查了科学记数法的规范书写，解题时要注意计算准确性，同时牢记科学记数法中$a$的取值需满足$1≤a＜10$的要求。
【难度系数】
0.9
2. 小明学完科学记数法后发现算式$40\ 200\ 000×2\ 000=80\ 400\ 000\ 000$可改写为$(4.02×10^{7})×(2×10^{3})=8.04×10^{10}$，照上面的改写方法，你发现$(a×10^{m})×(b×10^{n})$的算法有什么规律吗？请用你发现的规律直接计算:$1\ 300\ 000×20\ 000\ 000×30\ 000$.
答案
解：
规律：$(a×10^m)×(b×10^n)=(a×b)×10^{m+n}$（其中$1≤ a＜10$，$1≤ b＜10$，$m,n$为正整数）
将各数改写为科学记数法：
$1\ 300\ 000=1.3×10^6$
$20\ 000\ 000=2×10^7$
$30\ 000=3×10^4$
原式$=(1.3×10^6)×(2×10^7)×(3×10^4)$
$=(1.3×2×3)×10^{6+7+4}$
$=7.8×10^{17}$
规律：$(a×10^m)×(b×10^n)=(a×b)×10^{m+n}$（其中$1≤ a＜10$，$1≤ b＜10$，$m,n$为正整数）
将各数改写为科学记数法：
$1\ 300\ 000=1.3×10^6$
$20\ 000\ 000=2×10^7$
$30\ 000=3×10^4$
原式$=(1.3×10^6)×(2×10^7)×(3×10^4)$
$=(1.3×2×3)×10^{6+7+4}$
$=7.8×10^{17}$
解析
【分析】
首先观察题目给出的示例，可发现科学记数法表示的数相乘时，可分开计算系数部分的乘积和10的幂次部分的乘积：系数部分按照有理数乘法计算，10的幂次部分按照同底数幂相乘、指数相加的规则计算，最终将两部分结果结合整理为标准科学记数法即可。解题时先归纳出通用运算规律，再把待计算的三个数全部改写为科学记数法形式，套用规律计算即可。
【解析】
首先总结规律：$(a×10^m)×(b×10^n)=(a×b)×10^{m+n}$（其中$1≤ a＜10$，$1≤ b＜10$，$m,n$为正整数，多个科学记数法相乘时规律同理，系数相乘、所有指数相加）
将待计算的各数改写为科学记数法：
$1\ 300\ 000=1.3×10^6$
$20\ 000\ 000=2×10^7$
$30\ 000=3×10^4$
代入原式计算：
原式$=(1.3×10^6)×(2×10^7)×(3×10^4)$
$=(1.3×2×3)×10^{6+7+4}$
$=7.8×10^{17}$
【答案】
$7.8×10^{17}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题侧重考察规律归纳与应用能力，需要先从给定示例提炼出科学记数法的乘法运算规则，再拓展到多个因数相乘的场景，解题时需注意准确改写各数为科学记数法，指数求和时不要漏加或错算，最终结果要符合科学记数法的格式要求。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的示例，可发现科学记数法表示的数相乘时，可分开计算系数部分的乘积和10的幂次部分的乘积：系数部分按照有理数乘法计算，10的幂次部分按照同底数幂相乘、指数相加的规则计算，最终将两部分结果结合整理为标准科学记数法即可。解题时先归纳出通用运算规律，再把待计算的三个数全部改写为科学记数法形式，套用规律计算即可。
【解析】
首先总结规律：$(a×10^m)×(b×10^n)=(a×b)×10^{m+n}$（其中$1≤ a＜10$，$1≤ b＜10$，$m,n$为正整数，多个科学记数法相乘时规律同理，系数相乘、所有指数相加）
将待计算的各数改写为科学记数法：
$1\ 300\ 000=1.3×10^6$
$20\ 000\ 000=2×10^7$
$30\ 000=3×10^4$
代入原式计算：
原式$=(1.3×10^6)×(2×10^7)×(3×10^4)$
$=(1.3×2×3)×10^{6+7+4}$
$=7.8×10^{17}$
【答案】
$7.8×10^{17}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题侧重考察规律归纳与应用能力，需要先从给定示例提炼出科学记数法的乘法运算规则，再拓展到多个因数相乘的场景，解题时需注意准确改写各数为科学记数法，指数求和时不要漏加或错算，最终结果要符合科学记数法的格式要求。
【难度系数】
0.7
