1. 如图，直线 $ l_1 // l_2 $，直线 $ l_3 $ 与 $ l_1, l_2 $ 分别交于点 $ A, C $，$ BC ⊥ l_3 $ 交 $ l_1 $ 于点 $ B $。若 $ ∠ 1 = 70° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为（）

A.$ 10° $
B.$ 20° $
C.$ 30° $
D.$ 40° $

B

【分析】
解题思路如下：首先利用平行线的性质，找到与∠1相等的同位角∠CAB；再根据垂直的定义得到∠ACB为90°，可知△ACB是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，因此用90°减去∠CAB的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ $l_1 // l_2$，$∠ 1=70°$
∴ $∠ CAB = ∠ 1 = 70°$（两直线平行，同位角相等）
∵ $BC ⊥ l_3$
∴ $∠ ACB = 90°$（垂直的定义）
在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB + ∠ 2 = 90°$（直角三角形两锐角互余）
∴ $∠ 2 = 90° - 70° = 20°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是结合平行线性质转化已知角的度数，再利用直角三角形的锐角互余关系求解，是几何角度计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

2.已知△ABC的三边长分别为a,b,c，且a＞b＞c。若b=5,c=4，则周长l的取值范围是（）

A.$1＜l＜9$
B.$10＜l＜18$
C.$14＜l＜18$
D.$0＜l＜18$

C

【分析】
要求三角形周长的取值范围，已知两边b、c的长度，核心是先确定第三边a的取值范围，再代入周长公式推导即可。首先结合题目给出的a＞b＞c的边长大小关系，确定a的取值下界；再根据三角形三边关系确定a的取值上界，最后通过不等式运算得到周长的取值范围。
【解析】
三角形周长公式为$l=a+b+c$，已知$b=5$，$c=4$，因此$l=a+9$，只需推导a的取值范围：
1. 由题设条件$a＞b＞c$，可得$a＞5$；
2. 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，因为a是三边中最长边，因此只需满足$a＜b+c$即可保证三边关系成立（$a+b＞c$、$a+c＞b$因a最长必然成立），代入$b=5,c=4$得$a＜5+4=9$；
综上可得a的取值范围是$5＜a＜9$，不等式三边同时加9得：$5+9＜a+9＜9+9$，即$14＜l＜18$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础易错题，解题的关键是不要忽略题目给出的a＞b的边长大小限制，若仅用三边关系推导a的范围容易误选B，掌握“最长边小于另外两边之和”的技巧可简化三边关系的判断步骤。
【难度系数】
0.7

3. 如图，AD，CE分别是△ABC的角平分线和中线，则下列说法正确的是（）

A.$DB=DC,BE=EA$
B.$BD=DC,∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC$
C.$BE=\frac{1}{2}AB,∠BAD=∠CAD$
D.$BE=AE,∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB$

C

【分析】
解题时先回忆三角形角平分线和中线的定义：①三角形的角平分线会把对应内角分成两个相等的角；②三角形的中线会平分它所对的边。先根据题目给出的AD是角平分线、CE是中线推导对应结论，再逐一核对选项排除错误项即可。
【解析】
1. 根据AD是△ABC的角平分线，由角平分线定义可得：$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，AD不是中线，因此无法推出$BD=DC$；
2. 根据CE是△ABC的中线，E在AB边上，由中线定义可得：E是AB的中点，即$BE=AE=\frac{1}{2}AB$，CE不是角平分线，因此无法推出$∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB$。
对选项逐一判断：
A选项：$DB=DC$不成立，错误；
B选项：$BD=DC$不成立，错误；
C选项：$BE=\frac{1}{2}AB$、$∠ BAD=∠ CAD$均符合推导结论，正确；
D选项：$∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB$不成立，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线，三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形角平分线和中线的性质，牢记两种线段对应的结论即可快速解题，避免混淆两种线段的功能是得分关键。
【难度系数】
0.8

4.一个三角形,其中一个外角的补角等于与它不相邻的两个内角的差,则这个三角形一定是()

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形

B

【分析】
解题时先结合补角定义和三角形外角性质，明确题中等量关系对应的角的表达式，再结合三角形内角和定理列式推导，判断三角形内角特征即可得出结论。首先，三角形的一个外角与它相邻的内角互补，因此这个外角的补角就是和该外角相邻的三角形内角；其次，三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合题目给出的等量关系，联立三角形内角和为180°的性质，就能求出其中一个内角为90°，从而判断三角形类型。
【解析】
设三角形的三个内角分别为∠1、∠2、∠3，取与∠3相邻的外角为研究对象：
1. 根据补角定义，该外角的补角就是和它相邻的内角∠3；
2. 与这个外角不相邻的两个内角为∠1和∠2，由题意得：$∠ 3=|∠ 1-∠ 2|$；
3. 根据三角形内角和定理：$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$，将$∠ 3=|∠ 1-∠ 2|$代入得：
$∠ 1+∠ 2+|∠ 1-∠ 2|=180°$，分两种情况讨论：
① 若$∠ 1\ge∠ 2$，则$|∠ 1-∠ 2|=∠ 1-∠ 2$，代入得：
$∠ 1+∠ 2+∠ 1-∠ 2=2∠ 1=180°$，解得$∠ 1=90°$；
② 若$∠ 1＜∠ 2$，则$|∠ 1-∠ 2|=∠ 2-∠ 1$，代入得：
$∠ 1+∠ 2+∠ 2-∠ 1=2∠ 2=180°$，解得$∠ 2=90°$。
综上，该三角形总有一个内角为90°，属于直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；补角的定义
【点评】
本题考查三角形基础性质的综合运用，解题关键是准确翻译题目中的角的等量关系，通过设角、代入定理列式推导即可得出结论，需要注意两个内角的差要考虑绝对值，避免漏情况。
【难度系数】
0.7

5.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,∠BAC=75°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点H,则∠CHD=()

A.45°
B.60°
C.75°
D.30°

第5题图 第6题图

A

【分析】
要求∠CHD的度数，可按以下思路推导：①首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数；②结合AD⊥BC的条件，判断△ABD为等腰直角三角形，得到BD=AD；③利用同角的余角相等，推出∠HBD=∠CAD；④证明△BDH和△ADC全等，得到DH=DC；⑤最后根据等腰直角三角形的性质求出∠CHD的度数。
【解析】
1. 计算∠ABC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 75° - 60° = 45°$。
2. 推导$BD=AD$：
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD = 90° - ∠ ABC = 90° - 45° = 45°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABC$，$\therefore BD=AD$。
3. 证明$∠ HBD=∠ CAD$：
$\because BE⊥ AC$，$\therefore ∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ HBD + ∠ ACB = 90°$，
又$\because$在$Rt△ ADC$中，$∠ CAD + ∠ ACB = 90°$，
根据同角的余角相等，得$∠ HBD=∠ CAD$。
4. 证明$△ BDH≌△ ADC$：
在$△ BDH$和$△ ADC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ HBD=∠ CAD \\BD=AD \\∠ BDH=∠ ADC=90°\end{array} $
$\therefore △ BDH≌△ ADC$（ASA）。
5. 求$∠ CHD$的度数：
由全等可得$DH=DC$，又$\because ∠ HDC=90°$，
$\therefore △ HDC$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CHD=45°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，解题的关键是利用角的互余关系找到相等的角，进而证明三角形全等，得到边相等的结论，最终结合等腰直角三角形的性质求解角度，对几何逻辑推导能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6

6.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70°,∠ B=50°,M,N$分别是$BC,AB$上的动点,沿$MN$所在的直线折叠$∠ B$,使点$B$的对应点$B'$落在$AC$上.若$△ MB'C$为直角三角形,则$∠ MNB'$的度数为()

A.$60°$
B.$55°$
C.$85°$
D.$55°$或$85°$

D

【分析】
首先根据三角形内角和先求出△ABC中∠C的度数，这是后续计算的基础。再结合折叠的性质，可得到折叠前后对应角相等的关系，这是解题的核心依据。由于题目仅说明△MB'C为直角三角形，未明确哪个角是直角，因此需要分两种情况讨论：①∠MB'C为直角；②∠B'MC为直角，分别计算两种情形下∠MNB'的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-50°=60°$
由折叠的性质可得：$∠ MB'N=∠ B=50°$，$∠ BMN=∠ B'MN$，$∠ MNB=∠ MNB'$。
分两种情况讨论：
情况1：当$∠ MB'C=90°$时，
在△MB'C中，$∠ B'MC=180°-∠ C-∠ MB'C=180°-60°-90°=30°$
$\therefore∠ BMB'=180°-∠ B'MC=150°$
$\therefore∠ B'MN=\frac{1}{2}∠ BMB'=\frac{1}{2}×150°=75°$
在△MNB'中，$∠ MNB'=180°-∠ MB'N-∠ B'MN=180°-50°-75°=55°$
情况2：当$∠ B'MC=90°$时，
$\therefore∠ BMB'=180°-∠ B'MC=90°$
$\therefore∠ B'MN=\frac{1}{2}∠ BMB'=\frac{1}{2}×90°=45°$
在△MNB'中，$∠ MNB'=180°-∠ MB'N-∠ B'MN=180°-50°-45°=85°$
综上，$∠ MNB'$的度数为$55°$或$85°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；折叠的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查折叠的性质与三角形内角和的综合应用，解题时需注意直角三角形未明确直角顶点时，要分情况讨论所有可能的直角情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB＞∠ B$,$AD$平分$∠ BAC$,点$E$在射线$BC$上,$EF ⊥ AD$于点$G$,分别交$AB$,$AC$于点$F$,$H$,$GM ⊥ BC$于点$M$. 有下列结论: ① $∠ DGM = ∠ E$; ② $2∠ ADE = ∠ ACE + ∠ B$; ③ $∠ DAC = ∠ EGM - ∠ B$; ④ $∠ E = ∠ ACB - ∠ B$. 其中正确结论的个数为()


A.4
B.3
C.2
D.1

B

【分析】
本题是三角形角度关系的综合判断题，解题时需结合角平分线定义、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质及内角和定理，对4个结论逐一推导验证，通过角度的等量代换判断结论是否成立。
【解析】
已知AD平分∠BAC，故$∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$；$EF⊥ AD$，故$∠ AGF=∠ AGH=∠ DGE=90°$；$GM⊥ BC$，故$∠ GMD=∠ GME=90°$。
1. 判断结论①：
在$Rt△ DGM$中，$∠ DGM+∠ GDM=90°$；在$Rt△ DGE$中，$∠ E+∠ GDM=90°$。根据同角的余角相等，可得$∠ DGM=∠ E$，故①正确。
2. 判断结论②：
$∠ ADE$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质，$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，两边同乘2得：$2∠ ADE=2∠ B+2∠ BAD$。
因$2∠ BAD=∠ BAC$，故$2∠ ADE=2∠ B+∠ BAC$；
又$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，$∠ ACE=∠ B+∠ BAC$，因此$∠ ACE+∠ B=∠ B+∠ BAC+∠ B=2∠ B+∠ BAC$，故$2∠ ADE=∠ ACE+∠ B$，②正确。
3. 判断结论③：
在$Rt△ EMG$中，$∠ EGM+∠ E=90°$；在$Rt△ DGE$中，$∠ ADE+∠ E=90°$，故$∠ EGM=∠ ADE$。
结合三角形外角性质$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，且$∠ BAD=∠ DAC$，可得$∠ EGM=∠ B+∠ DAC$，移项得$∠ DAC=∠ EGM-∠ B$，故③正确。
4. 判断结论④：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB$，故$∠ BAD=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ ACB)$。
在$Rt△ DGE$中，$∠ E=90°-∠ ADE$，而$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，代入得：
$∠ E=90°-(∠ B+\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ ACB))=\frac{1}{2}(∠ ACB-∠ B)$，即$∠ E=\frac{1}{2}(∠ ACB-∠ B)$，并非等于$∠ ACB-∠ B$，故④错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题考查三角形角度关系的综合推导，需要熟练掌握角平分线、直角三角形及三角形外角的相关性质，通过等量代换逐一验证结论，解题时注意不要混淆角度的倍分关系。
【难度系数】
0.6

二、填空题
8.若a,b,c分别为△ABC的三边长，则|a+b -c|+|a -c -b|=.

$\boldsymbol{2b}$

【分析】
要化简含绝对值的式子，需先判断每个绝对值内表达式的正负性。首先利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，分别判断两个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得：
$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$，
∴$a + b - c ＞ 0$，$a - c - b = a - (b + c) ＜ 0$，
根据绝对值的性质化简得：
$|a + b - c| = a + b - c$，
$|a - c - b| = -(a - c - b) = -a + b + c$，
∴原式$=(a + b - c) + (-a + b + c) = a + b - c - a + b + c = 2b$。
【答案】
$\boldsymbol{2b}$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是基础常考题，核心考查三角形三边关系与绝对值化简的结合应用，解题的关键是准确利用三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值计算。
【难度系数】
0.8