7.在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴正半轴上,E为直线AC上一点,直线OE,AB交于点F,∠ABO和∠AFO的平分线所在的直线交于点P,∠CEO与∠OCE的平分线交于点I.
(1)如图1,当点E在AC的延长线上时,求∠P与∠I的数量关系;
(2)如图2,当点E在射线CA上时,画出图形,并直接写出∠P与∠I的数量关系.

(1) 解：
设BP平分∠ABO，FP平分∠AFO，
∴ $∠ ABP = ∠ OBP = \frac{1}{2}∠ ABO$，$∠ AFP = ∠ OFP = \frac{1}{2}∠ AFO$。
由三角形外角性质，$∠ AFP = ∠ P + ∠ ABP$，
代入得 $\frac{1}{2}∠ AFO = ∠ P + \frac{1}{2}∠ ABO$，
整理得 $∠ P = \frac{1}{2}(∠ AFO - ∠ ABO)$。
又∵ $∠ AFO$ 是 $△ OBF$ 的外角，
∴ $∠ AFO = ∠ ABO + ∠ BOF$，
代入得 $∠ P = \frac{1}{2}∠ BOF$。
∵ $I$ 是 $∠ CEO$ 与 $∠ OCE$ 的平分线交点，
∴ $∠ IEC = \frac{1}{2}∠ CEO$，$∠ ICE = \frac{1}{2}∠ OCE$。
在 $△ EOC$ 中，$∠ CEO + ∠ OCE + ∠ EOC = 180°$，
∴ $∠ I = 180° - (∠ IEC + ∠ ICE) = 180° - \frac{1}{2}(∠ CEO + ∠ OCE) = 90° + \frac{1}{2}∠ EOC$。
∵ $E,O,F$ 三点共线，$B,O,C$ 三点共线，$∠ EOC$ 与 $∠ BOF$ 是对顶角，
∴ $∠ EOC = ∠ BOF$，
代入得 $∠ I = 90° + \frac{1}{2}∠ BOF = 90° + ∠ P$，
即 $\boldsymbol{∠ I - ∠ P = 90°}$。
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(2) 解：
图形绘制：在射线CA上（点A右上方第一象限区域）取点E，连接OE交AB于点F，分别作$∠ ABO$、$∠ AFO$的角平分线交于点P，分别作$∠ CEO$、$∠ OCE$的角平分线交于点I。
数量关系：$\boldsymbol{∠ P + ∠ I = 180°}$。

【分析】
(1) 要推导∠P与∠I的数量关系，可先分别用中间角表示两个角：首先利用角平分线定义和三角形外角性质，推导出∠P与∠BOF的关系；再利用三角形内角和定理和角平分线性质，推导出∠I与∠EOC的关系；最后结合对顶角相等，∠BOF=∠EOC，即可得到∠P和∠I的数量关系。
(2) 当点E在射线CA上时，沿用同样的思路推导∠P、∠I和公共角的关系，注意点E位置变化带来的角度和差关系变化，即可得到对应的数量关系。
【解析】
(1) 设BP平分∠ABO，FP平分∠AFO，
∴ $∠ABP = ∠OBP = \frac{1}{2}∠ABO$，$∠AFP = ∠OFP = \frac{1}{2}∠AFO$。
由三角形外角性质可得，$∠AFP = ∠P + ∠ABP$，
代入得 $\frac{1}{2}∠AFO = ∠P + \frac{1}{2}∠ABO$，
整理得 $∠P = \frac{1}{2}(∠AFO - ∠ABO)$。
又
∵ $∠AFO$ 是 $△OBF$ 的外角，
∴ $∠AFO = ∠ABO + ∠BOF$，
代入上式得 $∠P = \frac{1}{2}∠BOF$。
∵ $I$ 是 $∠CEO$ 与 $∠OCE$ 的平分线交点，
∴ $∠IEC = \frac{1}{2}∠CEO$，$∠ICE = \frac{1}{2}∠OCE$。
在 $△EOC$ 中，$∠CEO + ∠OCE + ∠EOC = 180°$，
∴ $∠I = 180° - (∠IEC + ∠ICE) = 180° - \frac{1}{2}(∠CEO + ∠OCE) = 90° + \frac{1}{2}∠EOC$。
∵ $E,O,F$ 三点共线，$B,O,C$ 三点共线，$∠EOC$ 与 $∠BOF$ 是对顶角，
∴ $∠EOC = ∠BOF$，
代入得 $∠I = 90° + \frac{1}{2}∠BOF = 90° + ∠P$，
即 $∠I - ∠P = 90°$。
(2) 画图：在射线CA上（点A右上方第一象限区域）取点E，连接OE交AB于点F，分别作$∠ABO$、$∠AFO$的角平分线交于点P，分别作$∠CEO$、$∠OCE$的角平分线交于点I。
同理推导可得数量关系：$∠P + ∠I = 180°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠I - ∠P = 90°}$
(2) $\boldsymbol{∠P + ∠I = 180°}$
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角平分线性质与三角形内外角定理的应用，解题核心是通过对顶角这个公共中间角建立两个待求角的联系，体现了转化的数学思想，解题时需注意点E位置变化对角度和差关系的影响。
【难度系数】
0.6