1.如图,在△ABC中,∠B=56°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD + ∠CED的度数是()

A.125°
B.148°
C.175°
D.178°

D

【分析】
解题思路分两步走：①先求∠ACD的度数：已知CD⊥AB得△ADC是直角三角形，F是AC中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得CF=½AC，再由CD=CF推出CD=½AC，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的逆用，得∠A=30°，即可算出∠ACD的度数；②再求∠CED的度数：先在Rt△BCD中算出∠BCD的度数，再根据角平分线的性质得到∠EDC和∠ECD的度数，最后利用三角形内角和定理算出∠CED，将两个角相加即可得到结果。
【解析】
1. 求∠ACD的度数：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，△ADC为直角三角形
∵ F为AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：$CF=AF=\frac{1}{2}AC$
又
∵ CD=CF，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC$
在Rt△ADC中，直角边CD等于斜边AC的一半，
∴ ∠A=30°
∴ ∠ACD=90°-∠A=90°-30°=60°
2. 求∠CED的度数：
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=56°
∴ ∠BCD=180°-90°-56°=34°
∵ DE平分∠BDC，CE平分∠BCD
∴ $∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BDC=\frac{1}{2}×90°=45°$，$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}×34°=17°$
在△CED中，根据三角形内角和为180°：
∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-45°-17°=118°
3. 计算两角之和：
∠ACD + ∠CED=60°+118°=178°
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形相关性质、三角形角平分线和内角和的应用，解题关键是将所求角拆分，分别利用对应性质求解后再求和，需要熟练掌握特殊直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.65

2. 如图，△ABC 中，∠DBC = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠DCB = $\frac{1}{3}$∠ACB，∠A = 45°，则∠BDC=。

$\boldsymbol{135°}$

【分析】
解题时先从已知的∠A出发，利用三角形内角和为180°，先算出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；再根据题目给出的∠DBC、∠DCB与∠ABC、∠ACB的比例关系，求出△DBC中两个底角的和；最后再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BDC的度数，解题时可整体代入∠ABC+∠ACB的和计算，不需要单独求每个角的度数，能简化计算步骤。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 45° = 135°$
$\because ∠ DBC=\frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ DCB=\frac{1}{3}∠ ACB$
$\therefore ∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{3}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{3} × 135° = 45°$
在△BDC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ BDC = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的运算
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题核心是灵活运用三角形内角和定理，通过整体代入的方法计算角的和，避免单独计算每个角的度数，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=80°$,$BF$平分外角$∠ CBD$,$CF$平分外角$∠ BCE$,$BG$平分$∠ CBF$,$CG$平分$∠ BCF$,则$∠ F=$,$∠ G=$.

$\boldsymbol{50°}$，$\boldsymbol{115°}$

【分析】
解题思路分为两步：第一步求∠F，先利用三角形外角性质求出△ABC两个外角∠CBD与∠BCE的和，再结合角平分线的定义得到∠FBC+∠FCB的度数，最后用三角形内角和定理计算∠F；第二步求∠G，根据BG、CG是∠CBF、∠BCF的角平分线，先求出∠GBC+∠GCB的度数，再次利用三角形内角和定理计算∠G即可。
【解析】
1. 计算∠F的度数：
在△ABC中，∠A=80°，根据三角形内角和定理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$
由三角形外角的性质可知：$∠ CBD=∠ A+∠ ACB$，$∠ BCE=∠ A+∠ ABC$
两式相加得：
$∠ CBD+∠ BCE=∠ A+(∠ A+∠ ABC+∠ ACB)=80°+180°=260°$
∵BF平分$∠ CBD$，CF平分$∠ BCE$
∴$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ CBD$，$∠ FCB=\frac{1}{2}∠ BCE$
∴$∠ FBC+∠ FCB=\frac{1}{2}(∠ CBD+∠ BCE)=\frac{1}{2}×260°=130°$
在△FBC中，根据三角形内角和定理：
$∠ F=180°-(∠ FBC+∠ FCB)=180°-130°=50°$
2. 计算∠G的度数：
∵BG平分$∠ CBF$，CG平分$∠ BCF$
∴$∠ GBC=\frac{1}{2}∠ FBC$，$∠ GCB=\frac{1}{2}∠ FCB$
∴$∠ GBC+∠ GCB=\frac{1}{2}(∠ FBC+∠ FCB)=\frac{1}{2}×130°=65°$
在△BGC中，根据三角形内角和定理：
$∠ G=180°-(∠ GBC+∠ GCB)=180°-65°=115°$
【答案】
$50°$，$115°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，核心是利用角平分线的定义实现角度的倍分转化，结合三角形内外角的性质进行角度推导，解题时注意理清各角度之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

4.如图，$△ ABC$ 的内角平分线 $BA_1$ 与外角平分线 $CA_1$ 交于点 $A_1$，$△ A_1BC$ 的内角平分线 $BA_2$ 与外角平分线 $CA_2$ 交于点 $A_2$，……，依此类推，若 $∠ A = 64°$，则 $∠ A_4$ 的度数是。

$\boldsymbol{4°}$

【分析】
解题时先利用三角形外角性质和角平分线的定义，推导∠A₁与∠A的数量关系，再根据递推规律得到∠Aₙ与∠A的通用公式，最后代入数值计算∠A₄即可。首先明确三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，结合角平分线平分对应角的性质，消去无关角即可得到前后两个角的倍半关系，依此类推就能得到第n个角的表达式。
【解析】
1. 根据三角形外角的性质，∠ACD是△ABC的外角，因此：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$
2. 因为$BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$，所以：
$∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$
3. 又$∠ A_1CD$是$△ A_1BC$的外角，因此：
$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$
将角平分线的结论代入上式，得：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
整理得：
$∠ A_1 = \frac{1}{2}(∠ ACD - ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A$
4. 同理可推得递推规律：$∠ A_n = \frac{1}{2^n}∠ A$
5. 代入$∠ A=64°$，$n=4$计算：
$∠ A_4 = \frac{64°}{2^4} = \frac{64°}{16}=4°$
【答案】
$4°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于几何规律探究类题目，核心是熟练运用三角形外角性质和角平分线定义，找到相邻两个角的倍半关系，再通过递推规律求解最终角度，掌握递推逻辑是解题的关键。
【难度系数】
0.65

5. 如图，在$△ ABC$ 中，$∠ A = 20°$，$∠ EBC$，$∠ DCB$ 为$△ ABC$ 的外角，$∠ EBC$ 与$∠ DCB$ 的平分线交于点 $A_1$，$∠ EBA_1$ 与$∠ DCA_1$ 的平分线交于点 $A_2$，……，$∠ EBA_{n-1}$ 与$∠ DCA_{n-1}$ 的平分线相交于点 $A_n$.
(1)$∠ A_1$ 的度数是；
(2)若得到点 $A_n$ 后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则 $n$ 的值是.

(1) $\boldsymbol{80°}$；(2) $\boldsymbol{3}$

【分析】
(1) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中两个内角的和，再结合外角的性质计算出两个外角∠EBC与∠DCB的和，接着根据角平分线的性质得到△A₁BC中两个底角的和，最后再次用三角形内角和即可求出∠A₁的度数。
(2) 推导角度变化规律可知，每次作角平分线得到的新角的度数是前一个角的$\frac{1}{2}$，当后续作的两条角平分线平行时无交点，结合规律找到对应的n值即可。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ A=20°$，根据三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° -20°=160°$。
因为$∠ EBC$、$∠ DCB$是$△ ABC$的外角，所以$∠ EBC=180°-∠ ABC$，$∠ DCB=180°-∠ ACB$，因此：
$∠ EBC + ∠ DCB = 360° - (∠ ABC+∠ ACB)=360°-160°=200°$。
因为$A_1$是$∠ EBC$和$∠ DCB$的角平分线交点，所以$∠ A_1BC=\frac{1}{2}∠ EBC$，$∠ A_1CB=\frac{1}{2}∠ DCB$，因此：
$∠ A_1BC + ∠ A_1CB=\frac{1}{2}(∠ EBC+∠ DCB)=\frac{1}{2}×200°=100°$。
在$△ A_1BC$中，$∠ A_1=180° - (∠ A_1BC+∠ A_1CB)=180°-100°=80°$。
(2) 同理可推得角度变化规律：$∠ A_{k}=\frac{1}{2}∠ A_{k-1}$，因此：
$∠ A_2=\frac{1}{2}∠ A_1=40°$，$∠ A_3=\frac{1}{2}∠ A_2=20°$，此时$∠ A_3=∠ A=20°$，再作$∠ EBA_3$和$∠ DCA_3$的角平分线时，两条平分线的同位角相等，两直线平行，无交点，故$n=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是角度规律探究题，核心是结合三角形内角和与角平分线性质推导角度的变化规律，解题时要注意“两条角平分线无交点”的本质是两直线平行，需要结合平行线的判定条件分析。
【难度系数】
0.6

6.如图,在平面直角坐标系中,点A,B在x轴上,点C在y轴上.
(1)已知点$A(4,0),B(-2,0),C(0,4)$,试在y轴上确定点M,使$S_{△ MBC}=2S_{△ ABC}$;
(2)AD平分$∠ BAC$,CE平分$∠ ACO$的外角,EC的延长线交AD于点D,$CF⊥ CO$,求$∠ FCD+∠ CAD$的度数.

解：
(1) 已知$A(4,0)$，$B(-2,0)$，则$AB=4-(-2)=6$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· OC=\frac{1}{2}×6×4=12$，
因此$2S_{△ ABC}=24$。
设点$M$坐标为$(0,m)$，点$B$到$y$轴的距离为$2$，则
$S_{△ MBC}=\frac{1}{2}· |CM|· 2=|m-4|$，
令$|m-4|=24$，解得$m=28$或$m=-20$。
所以点$M$的坐标为$(0,28)$或$(0,-20)$。
(2) $\because CF⊥ CO$，$x$轴$⊥ CO$，
$\therefore CF// x$轴，$∠ FCO=90°$，即$∠ FCD + ∠ DCO=90°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
$\because CE$平分$∠ ACO$的外角，设$y$轴正半轴上点为$G$，$∠ ACG$是$∠ ACO$的外角，
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACG=\frac{1}{2}(180°-∠ ACO)=90°-\frac{1}{2}∠ ACO$，
$\therefore ∠ ECO=∠ ACE+∠ ACO=90°+\frac{1}{2}∠ ACO$。
$\because E,C,D$共线，$\therefore ∠ DCO=180°-∠ ECO=90°-\frac{1}{2}∠ ACO$，
代入$∠ FCD + ∠ DCO=90°$，得$∠ FCD=\frac{1}{2}∠ ACO$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO$中，$∠ BAC+∠ ACO=90°$，
$\therefore ∠ FCD+∠ CAD=\frac{1}{2}∠ ACO+\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(∠ ACO+∠ BAC)=\frac{1}{2}×90°=45°$。
综上，(1) 点$M$为$(0,28)$或$(0,-20)$；(2) $∠ FCD+∠ CAD=45°$。

【分析】
(1) 要确定y轴上点M的坐标，先根据A、B、C的坐标计算△ABC的面积，再结合面积关系得到△MBC的面积。△MBC的顶点M在y轴上，可将CM作为底，点B到y轴的距离作为高，列出含M纵坐标的方程求解，注意M可在C点上方或下方，需考虑绝对值的两种情况。
(2) 求∠FCD+∠CAD的度数时，先根据CF和x轴均垂直于y轴，得到CF//x轴，推出∠FCD与∠DCO互余；再利用角平分线的性质，将∠CAD转化为∠BAC的一半，将∠FCD转化为∠ACO的一半；最后结合Rt△ACO中∠BAC与∠ACO互余，即可计算出两角之和。
【解析】
(1) 已知$A(4,0)$，$B(-2,0)$，则$AB=4-(-2)=6$，$C(0,4)$即$OC=4$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· OC=\frac{1}{2}×6×4=12$，因此$2S_{△ ABC}=24$。
设点$M$坐标为$(0,m)$，则$CM=|m-4|$，点B到y轴的距离为2，因此：
$S_{△ MBC}=\frac{1}{2}· |CM|· 2=|m-4|$
令$|m-4|=24$，解得$m=28$或$m=-20$。
(2) $\because CF⊥ CO$，$x$轴$⊥ CO$，
$\therefore CF// x$轴，$∠ FCO=90°$，即$∠ FCD + ∠ DCO=90°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
设y轴正半轴上C上方的点为G，$∠ ACG$是$∠ ACO$的外角，CE平分$∠ ACG$，
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACG=\frac{1}{2}(180°-∠ ACO)=90°-\frac{1}{2}∠ ACO$，
$\therefore ∠ ECO=∠ ACE+∠ ACO=90°+\frac{1}{2}∠ ACO$。
$\because E,C,D$共线，$\therefore ∠ DCO=180°-∠ ECO=90°-\frac{1}{2}∠ ACO$，
代入$∠ FCD + ∠ DCO=90°$，得$∠ FCD=\frac{1}{2}∠ ACO$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO$中，$∠ BAC+∠ ACO=90°$，
$\therefore ∠ FCD+∠ CAD=\frac{1}{2}∠ ACO+\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(∠ ACO+∠ BAC)=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
(1) 点M的坐标为$(0,28)$或$(0,-20)$；(2) $∠ FCD + ∠ CAD = 45°$
【知识点】
1. 坐标系中三角形面积计算
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的面积求解和角度推导，第一问解题时要注意点M位置的两种可能，避免漏解；第二问需要熟练运用角平分线性质和角度和差关系转化，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65