登录
23.小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街同一侧.星期天,李老师到这三家进行家访,他从学校出发,先向东走 250 m 到小明家,又向东走 350 m 到小兵家,再向西走 800 m 到小颖家,最后回到学校.
(1)以学校为原点,向东为正方向,用1个单位长度表示 100 m,在数轴上表示出小明、小兵、小颖三人的家的位置.
(2)小明家距离小颖家多远?
(3)这次家访,李老师共行走了多少千米的路程?
(1)以学校为原点,向东为正方向,用1个单位长度表示 100 m,在数轴上表示出小明、小兵、小颖三人的家的位置.
(2)小明家距离小颖家多远?
(3)这次家访,李老师共行走了多少千米的路程?
答案
23.(1)如图：
(2)由(1)可知小明家距离小颖家 450 m.
(3)此次李老师共行走的路程:$250+350+800+200=1\ 600(\mathrm{m}).\quad 1\ 600\ \mathrm{m}=1.6\ \mathrm{km}.$
解析
【分析】
(1) 绘制数轴首先要明确三要素：原点设定为学校，正方向向东，单位长度100m。再分别计算三家对应数轴上的坐标：小明家在学校东侧250m，对应+2.5单位；小兵家在小明家东侧350m，即距学校600m，对应+6单位；小颖家从小兵家向西走800m，距学校600-800=-200m，对应-2单位，在对应位置标注即可。
(2) 求小明家与小颖家的距离，可利用数轴上两点距离等于两点坐标差的绝对值计算，也可根据位置直接求和：小明家在学校东250m，小颖家在学校西200m，两家距离为250+200=450m。
(3) 路程是行走的总长度，和方向无关，需把每一段行走的长度相加，注意最后要加上从小颖家返回学校的200m，最后换算单位为千米即可。
【解析】
(1) 第一步绘制数轴：以学校为原点，向东为正方向，取1个单位长度代表100m。计算各点坐标：
小明家：$250\mathrm{m} ÷ 100\mathrm{m}/\mathrm{单位}=+2.5$，即数轴上+2.5位置；
小兵家：$(250+350)\mathrm{m} ÷ 100\mathrm{m}/\mathrm{单位}=+6$，即数轴上+6位置；
小颖家：$(250+350-800)\mathrm{m} ÷ 100\mathrm{m}/\mathrm{单位}=-2$，即数轴上-2位置。
在数轴对应位置标注三个地点即可。
(2) 小明家的位置对应数值为$+250\mathrm{m}$，小颖家的位置对应数值为$-200\mathrm{m}$，两家距离为$|250 - (-200)| = 450\mathrm{m}$。
(3) 李老师行走的各段路程分别为：学校到小明家250m，小明家到小兵家350m，小兵家到小颖家800m，小颖家返回学校200m，总路程为各段长度之和，再换算单位即可。
【答案】
(1) 如图：
(2) 小明家距离小颖家450 m。
(3) 此次李老师共行走的路程:$250+350+800+200=1\ 600(\mathrm{m}).\quad 1\ 600\ \mathrm{m}=1.6\ \mathrm{km}.$
【知识点】
数轴的应用，两点距离计算，路程求和
【点评】
本题结合生活场景考查有理数的实际应用，解题时要注意区分位移和路程的区别，路程不需要考虑方向，直接累加各段长度即可，计算时不要遗漏返回学校的路程，同时要注意单位的统一换算。
【难度系数】
0.7
(1) 绘制数轴首先要明确三要素：原点设定为学校，正方向向东，单位长度100m。再分别计算三家对应数轴上的坐标：小明家在学校东侧250m，对应+2.5单位；小兵家在小明家东侧350m，即距学校600m，对应+6单位；小颖家从小兵家向西走800m，距学校600-800=-200m，对应-2单位，在对应位置标注即可。
(2) 求小明家与小颖家的距离，可利用数轴上两点距离等于两点坐标差的绝对值计算，也可根据位置直接求和：小明家在学校东250m，小颖家在学校西200m，两家距离为250+200=450m。
(3) 路程是行走的总长度，和方向无关，需把每一段行走的长度相加，注意最后要加上从小颖家返回学校的200m，最后换算单位为千米即可。
【解析】
(1) 第一步绘制数轴：以学校为原点，向东为正方向，取1个单位长度代表100m。计算各点坐标：
小明家：$250\mathrm{m} ÷ 100\mathrm{m}/\mathrm{单位}=+2.5$，即数轴上+2.5位置；
小兵家：$(250+350)\mathrm{m} ÷ 100\mathrm{m}/\mathrm{单位}=+6$，即数轴上+6位置；
小颖家：$(250+350-800)\mathrm{m} ÷ 100\mathrm{m}/\mathrm{单位}=-2$，即数轴上-2位置。
在数轴对应位置标注三个地点即可。
(2) 小明家的位置对应数值为$+250\mathrm{m}$，小颖家的位置对应数值为$-200\mathrm{m}$，两家距离为$|250 - (-200)| = 450\mathrm{m}$。
(3) 李老师行走的各段路程分别为：学校到小明家250m，小明家到小兵家350m，小兵家到小颖家800m，小颖家返回学校200m，总路程为各段长度之和，再换算单位即可。
【答案】
(1) 如图：
(2) 小明家距离小颖家450 m。
(3) 此次李老师共行走的路程:$250+350+800+200=1\ 600(\mathrm{m}).\quad 1\ 600\ \mathrm{m}=1.6\ \mathrm{km}.$
【知识点】
数轴的应用，两点距离计算，路程求和
【点评】
本题结合生活场景考查有理数的实际应用，解题时要注意区分位移和路程的区别，路程不需要考虑方向，直接累加各段长度即可，计算时不要遗漏返回学校的路程，同时要注意单位的统一换算。
【难度系数】
0.7
24.如图,数轴上点A,B,C分别表示数a,b,c.若C是AB的中点,且$|a+b|-|a-2c|+|b-2c|-|a+b-2c|=0(abc≠0)$,请在数轴上确定原点O的大致位置.
答案
24.因为 C 是 AB 的中点,所以$b-c=c-a$,即$a+b-2c=0.$
所以$|a+b-2c|=0,|a-2c|=|-b|=|b|,|b-2c|=|-a|=|a|.$
所以原等式化简为$|a+b|-|b|+|a|-0=0.$
所以$|a+b|=|b|-|a|.$
所以 a,b 异号,且$|b|＞|a|.$
所以$OB＞OA$,点 O 在线段 AC 上.
所以$|a+b-2c|=0,|a-2c|=|-b|=|b|,|b-2c|=|-a|=|a|.$
所以原等式化简为$|a+b|-|b|+|a|-0=0.$
所以$|a+b|=|b|-|a|.$
所以 a,b 异号,且$|b|＞|a|.$
所以$OB＞OA$,点 O 在线段 AC 上.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“C是AB的中点”入手，利用数轴上线段中点的性质推导得出a、b、c三者的数量关系，再将这个关系代入给出的绝对值等式中，把含有c的绝对值全部替换为仅含a、b的形式，化简等式后结合绝对值的运算性质判断a、b的符号和绝对值大小关系，最终根据数的正负和到原点的距离确定原点的位置。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，
∴点C到A、B的距离相等，即$ b - c = c - a $，整理得$ a + b = 2c $。
将$ a + b = 2c $代入各绝对值项：
$ |a + b - 2c| = |2c - 2c| = 0 $，
$ |a - 2c| = |a - (a + b)| = |-b| = |b| $，
$ |b - 2c| = |b - (a + b)| = |-a| = |a| $。
把上述结果代入原等式，得：
$ |a + b| - |b| + |a| - 0 = 0 $，
整理得$ |a + b| = |b| - |a| $。
由绝对值的非负性可知$ |b| - |a| ≥ 0 $，即$ |b| ＞ |a| $；
又只有当a、b异号时，两数和的绝对值才等于两数绝对值的差，因此a、b异号，且b为正数、a为负数，点B到原点的距离大于点A到原点的距离，因此原点O在线段AC上。
【答案】
原点O在线段AC上。
【知识点】
数轴的应用；线段中点的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的典型题目，解题的核心是先利用中点条件得到三个数的数量关系，再代入化简绝对值等式，结合绝对值的运算性质判断数的符号和大小，能较好地考察学生的代数推导能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件“C是AB的中点”入手，利用数轴上线段中点的性质推导得出a、b、c三者的数量关系，再将这个关系代入给出的绝对值等式中，把含有c的绝对值全部替换为仅含a、b的形式，化简等式后结合绝对值的运算性质判断a、b的符号和绝对值大小关系，最终根据数的正负和到原点的距离确定原点的位置。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，
∴点C到A、B的距离相等，即$ b - c = c - a $，整理得$ a + b = 2c $。
将$ a + b = 2c $代入各绝对值项：
$ |a + b - 2c| = |2c - 2c| = 0 $，
$ |a - 2c| = |a - (a + b)| = |-b| = |b| $，
$ |b - 2c| = |b - (a + b)| = |-a| = |a| $。
把上述结果代入原等式，得：
$ |a + b| - |b| + |a| - 0 = 0 $，
整理得$ |a + b| = |b| - |a| $。
由绝对值的非负性可知$ |b| - |a| ≥ 0 $，即$ |b| ＞ |a| $；
又只有当a、b异号时，两数和的绝对值才等于两数绝对值的差，因此a、b异号，且b为正数、a为负数，点B到原点的距离大于点A到原点的距离，因此原点O在线段AC上。
【答案】
原点O在线段AC上。
【知识点】
数轴的应用；线段中点的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的典型题目，解题的核心是先利用中点条件得到三个数的数量关系，再代入化简绝对值等式，结合绝对值的运算性质判断数的符号和大小，能较好地考察学生的代数推导能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
