20.化简$\frac{a + |a|}{-|3a|}(a≠0)$

20.①当$a＞0$时，$\frac{a + |a|}{-|3a|}=\frac{a+a}{-3a}=-\frac{2}{3}$;②当$a＜0$时，$\frac{a + |a|}{-|3a|}=\frac{a-a}{3a}=0.$

【分析】
要化简含有绝对值的式子，首先需根据绝对值的性质去掉绝对值符号，由于题中明确$a≠0$，因此分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：先判断绝对值内代数式的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值，最后代入原式约分计算即可。
【解析】
因为$a≠0$，所以分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，$|a|=a$，$|3a|=3a$，
则$\frac{a + |a|}{-|3a|}=\frac{a+a}{-3a}=\frac{2a}{-3a}=-\frac{2}{3}$；
②当$a＜0$时，$|a|=-a$，$|3a|=-3a$，
则$\frac{a + |a|}{-|3a|}=\frac{a + (-a)}{-(-3a)}=\frac{0}{3a}=0$。
【答案】
当$a＞0$时，原式的值为$-\frac{2}{3}$；当$a＜0$时，原式的值为$0$。
【知识点】
1.绝对值的性质
2.分式的化简
【点评】
本题重点考查绝对值的化简和分类讨论思想的应用，解题的关键是明确绝对值的化简规则，根据$a$的正负性合理分类，计算时注意分母不为0的前提，避免漏解或计算错误。
【难度系数】
0.7

21.如图，点O是数轴的原点，点A是数轴上表示数a的点.在数轴上点A右侧找一点B，使点B到点A的距离是点A到原点距离的2倍.

(1)此时点B表示的数是，若点C在点B与点O的正中间，则点C表示的数是.
(2)比较数轴上A，B，C，O四点表示的数的大小(用“＜”连接).

21.(1)$-a$ $-\frac{1}{2}a$
(2)如图：

即$a＜0＜-\frac{1}{2}a＜-a.$

【分析】
首先观察数轴可知点A在原点左侧，因此a是负数，点A到原点O的距离为$\vert a\vert=-a$。第(1)问先根据“点B到点A的距离是点A到原点距离的2倍，且B在A右侧”，用点A表示的数加上AB的距离即可得到点B表示的数；再根据点C是OB的中点，用O和B表示的数的平均数即可求出C表示的数。第(2)问根据数轴上“左边的数总比右边的数小”的性质，按照四点在数轴上从左到右的顺序排列对应的数即可。
【解析】
解：(1) 由数轴可知点A在原点左侧，因此$a＜0$，则点A到原点O的距离$AO=\vert a\vert=-a$。
因为点B在A右侧，且$BA=2AO$，所以$BA=2×(-a)=-2a$，因此点B表示的数为$a + (-2a) = -a$。
因为点C在O和B的正中间，即C是OB的中点，所以点C表示的数为$\frac{0 + (-a)}{2}=-\frac{1}{2}a$。
(2) 数轴上的点从左到右依次为A、O、C、B，根据数轴上右边的数总大于左边的数，可得大小关系为$a＜0＜-\frac{1}{2}a＜-a$。
【答案】
(1) $-a$；$-\frac{1}{2}a$
(2)
即$a＜0＜-\frac{1}{2}a＜-a$
【知识点】
数轴的应用，数轴上两点的距离，有理数大小比较
【点评】
本题重点考查数轴的相关性质，解题时先确定a的符号是前提，再结合距离、中点的含义求出各点表示的数，最后利用数轴比较数的大小，整体考查基础，需要熟练掌握数轴的相关概念。
【难度系数】
0.7

22.已知表示有理数$a,b,c$的点在数轴上的位置如图所示.
(1)判断$a,b,c$的正负性.
(2)在数轴上标出$a,b,c$的相反数的位置.
(3)根据数轴化简:
①$|a|=$;②$|b|=$;③$|c|=$;
④$|-a|=$;⑤$|-b|=$;⑥$|-c|=$.
(4)若$|a|=5.5,|b|=2.5,|c|=5$,求$a,b,c$的值.

22.(1)由数轴可得 a 是负数,b 正数,c 是正数.
(2)如图：

(3)①$|a|=-a$;②$|b|=b$;③$|c|=c$;④$|-a|=-a$;⑤$|-b|=b$;⑥$|-c|=c.$
(4)因为$|a|=5.5,|b|=2.5,|c|=5$,
所以$a=-5.5,b=2.5,c=5.$

【分析】
解题时首先结合数轴的基本性质判断数的正负性：数轴上原点左侧的数为负数，右侧的数为正数，据此可解决第(1)问；第(2)问根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数到原点的距离相等，分别在原点两侧，所以只需在原点另一侧找到与原数到原点距离相等的位置标注即可；第(3)问利用绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合第(1)问判断的正负性即可逐一化简；第(4)问结合绝对值的定义和第(1)问得到的数的正负性，即可求出a、b、c的具体值。
【解析】
(1) 观察数轴可知，a对应的点在原点左侧，b、c对应的点在原点右侧，因此a是负数，b是正数，c是正数。
(2) 根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数关于原点对称，因此-a在原点右侧，与a到原点的距离相等；-b在原点左侧，与b到原点的距离相等；-c在原点左侧，与c到原点的距离相等，标注结果如下：

(3) 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身：
①a是负数，因此$|a|=-a$；
②b是正数，因此$|b|=b$；
③c是正数，因此$|c|=c$；
④-a是正数，因此$|-a|=-a$；
⑤-b是负数，因此$|-b|=b$；
⑥-c是负数，因此$|-c|=c$。
(4) 已知$|a|=5.5$，且a是负数，因此$a=-5.5$；
已知$|b|=2.5$，且b是正数，因此$b=2.5$；
已知$|c|=5$，且c是正数，因此$c=5$。
【答案】
(1)a是负数，b是正数，c是正数；
(2)如图：；
(3)①$-a$；②$b$；③$c$；④$-a$；⑤$b$；⑥$c$；
(4)$a=-5.5$，$b=2.5$，$c=5$。
【知识点】
数轴的认识，绝对值的性质，相反数的定义
【点评】
本题是有理数相关概念的基础考查题，结合数轴判断数的正负是解题的切入点，解题过程中运用了数形结合的思想，能帮助学生加深对相反数、绝对值概念的理解，掌握绝对值化简的基本方法。
【难度系数】
0.85