9. 如图，$AB ⊥ BC$，射线$CM ⊥ BC$，点$P$是线段$BC$（不与点$B$，$C$重合）上的动点，过点$P$作$DP ⊥ AP$，交射线$CM$于点$D$，连结$AD$。
（1）如图①，若$BP＝5$，当$CD$为何值时，点$P$在线段$AD$的垂直平分线上？
（2）如图②，若$DP$平分$∠ ADC$，探究$PB$和$PC$的数量关系，并说明理由。

9.（1）当CD=5时,点P在线段AD的垂直平分线上。事实上,由AB⊥BC,CM⊥BC,DP⊥AP,可推出∠APB=∠PDC。当CD=5时,可证得△ABP≌△PCD,得AP=DP。由此可得点P在线段AD的垂直平分线上。
（2）PB=PC。理由如下:延长AP,DC,交于点E。证明△DPA≌△DPE,得PA=PE。再证明△APB≌△EPC,得PB=PC。

【分析】
（1）根据线段垂直平分线的判定定理，点P在线段AD的垂直平分线上等价于PA=PD。结合已知的多个垂直关系，可推导出△ABP和△PCD的对应角相等，只需CD=BP=5即可证明两个三角形全等，得到PA=PD，满足条件。
（2）已知DP平分∠ADC且DP⊥AP，可通过延长AP、DC交于点E构造全等三角形：先利用角平分线的定义和垂直条件证明△DPA≌△DPE，得到PA=PE，再证明△APB≌△EPC，即可推导出PB和PC的数量关系。
【解析】
（1）解：若点P在线段AD的垂直平分线上，则$PA=PD$。
$\because AB⊥ BC$，$CM⊥ BC$，$DP⊥ AP$，
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ APD=90°$，
$\therefore ∠ APB+∠ DPC=90°$，$∠ PDC+∠ DPC=90°$，
$\therefore ∠ APB=∠ PDC$。
在$△ ABP$和$△ PCD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ APB=∠ PDC \\PA=PD\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ PCD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CD=BP=5$。
（2）解：$PB=PC$，理由如下：
延长AP，交DC的延长线于点E。
$\because DP$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADP=∠ EDP$。
$\because DP⊥ AP$，$\therefore ∠ APD=∠ EPD=90°$。
在$△ DPA$和$△ DPE$中：
$\begin{cases}∠ ADP=∠ EDP \\DP=DP \\∠ APD=∠ EPD\end{cases}$
$\therefore △ DPA≌△ DPE(\mathrm{ASA})$，$\therefore PA=PE$。
$\because AB⊥ BC$，$CM⊥ BC$，$\therefore ∠ B=∠ PCE=90°$。
在$△ APB$和$△ EPC$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ PCE \\∠ APB=∠ EPC \\PA=PE\end{cases}$
$\therefore △ APB≌△ EPC(\mathrm{AAS})$，$\therefore PB=PC$。
【答案】
（1）当$CD=5$时，点$P$在线段$AD$的垂直平分线上；
（2）$PB=PC$。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题为几何综合题，结合垂直、角平分线等条件考查全等三角形的应用，解题时需根据已知条件推导角的等量关系，必要时构造辅助线得到全等三角形，进而推导线段的数量关系。
【难度系数】
0.6