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6. 已知下列命题：
①若$a + b = 0$，则$a$，$b$互为相反数；
②无理数是无限小数；
③顶角相等的两个等腰三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
其中原命题与逆命题均为真命题的是
①若$a + b = 0$，则$a$，$b$互为相反数；
②无理数是无限小数；
③顶角相等的两个等腰三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
其中原命题与逆命题均为真命题的是
①④
（填序号）。答案
6. ①④
解析
【分析】
解题时首先要明确：将原命题的条件和结论互换即可得到它的逆命题，接下来需要逐个判断4个命题的原命题、逆命题是否均为真命题，最终筛选出符合要求的序号。具体思考步骤为：先回忆每个命题涉及的相关概念、定理，先判断原命题真假，再改写得到逆命题后判断逆命题真假，两者都为真的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
1. 对于命题①：
原命题：若$a + b = 0$，则$a$，$b$互为相反数。根据相反数的定义，原命题为真命题。
逆命题：若$a$，$b$互为相反数，则$a + b = 0$。符合相反数的性质，逆命题为真命题，故①符合要求。
2. 对于命题②：
原命题：无理数是无限小数。无理数是无限不循环小数，属于无限小数，原命题为真命题。
逆命题：无限小数是无理数。无限循环小数是有理数，因此逆命题为假命题，故②不符合要求。
3. 对于命题③：
原命题：顶角相等的两个等腰三角形全等。顶角相等的两个等腰三角形三个角对应相等，但边长不一定相等，只能判定相似，不能判定全等，原命题为假命题，故③不符合要求。
4. 对于命题④：
原命题：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。这是线段垂直平分线的判定定理，原命题为真命题。
逆命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。这是线段垂直平分线的性质定理，逆命题为真命题，故④符合要求。
综上，原命题与逆命题均为真命题的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
逆命题与逆定理；命题真假判断；线段垂直平分线的性质与判定
【点评】
本题考查对原命题、逆命题的理解和真假判断，需要熟练掌握相反数、无理数、等腰三角形全等判定、线段垂直平分线等相关概念与定理，易错点是容易误判无限小数和无理数的关系，或者忽略全等三角形需要边相等的条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：将原命题的条件和结论互换即可得到它的逆命题，接下来需要逐个判断4个命题的原命题、逆命题是否均为真命题，最终筛选出符合要求的序号。具体思考步骤为：先回忆每个命题涉及的相关概念、定理，先判断原命题真假，再改写得到逆命题后判断逆命题真假，两者都为真的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
1. 对于命题①：
原命题：若$a + b = 0$，则$a$，$b$互为相反数。根据相反数的定义，原命题为真命题。
逆命题：若$a$，$b$互为相反数，则$a + b = 0$。符合相反数的性质，逆命题为真命题，故①符合要求。
2. 对于命题②：
原命题：无理数是无限小数。无理数是无限不循环小数，属于无限小数，原命题为真命题。
逆命题：无限小数是无理数。无限循环小数是有理数，因此逆命题为假命题，故②不符合要求。
3. 对于命题③：
原命题：顶角相等的两个等腰三角形全等。顶角相等的两个等腰三角形三个角对应相等，但边长不一定相等，只能判定相似，不能判定全等，原命题为假命题，故③不符合要求。
4. 对于命题④：
原命题：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。这是线段垂直平分线的判定定理，原命题为真命题。
逆命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。这是线段垂直平分线的性质定理，逆命题为真命题，故④符合要求。
综上，原命题与逆命题均为真命题的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
逆命题与逆定理；命题真假判断；线段垂直平分线的性质与判定
【点评】
本题考查对原命题、逆命题的理解和真假判断，需要熟练掌握相反数、无理数、等腰三角形全等判定、线段垂直平分线等相关概念与定理，易错点是容易误判无限小数和无理数的关系，或者忽略全等三角形需要边相等的条件。
【难度系数】
0.7
7. 写出命题“若a，b是有理数，则$a+b$是有理数”的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由。
答案
7. 逆命题:若a+b是有理数,则a,b是有理数。假命题,反例:如$a=\sqrt{2},b=-\sqrt{2}$,符合a+b是有理数,但a,b是无理数。
解析
【分析】
解题时首先回忆逆命题的定义：逆命题是将原命题的条件和结论互换得到的命题。第一步先拆分原命题的结构，原命题的条件是“a，b是有理数”，结论是“a+b是有理数”，交换条件和结论即可得到逆命题。接下来判断逆命题的真假，假命题只需要举出一个满足逆命题条件、但不满足逆命题结论的反例即可，我们可以选取和为有理数的两个无理数作为反例完成证明。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题的条件和结论互换，得到逆命题为：若a+b是有理数，则a，b是有理数。
2. 判断真假：该逆命题是假命题。
3. 理由说明：举反例，取$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$，此时$a+b=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，满足“a+b是有理数”的条件，但$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$均为无理数，不满足“a，b是有理数”的结论，因此该逆命题为假命题。
【答案】
逆命题:若a+b是有理数,则a,b是有理数。假命题,反例:如$a=\sqrt{2},b=-\sqrt{2}$,符合a+b是有理数,但a,b是无理数。
【知识点】
逆命题改写，命题真假判断，有理数与无理数运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考查逆命题的改写规则和假命题的判断方法，要注意判断假命题无需严格证明，只需举出一个符合题设但不符合结论的反例即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆逆命题的定义：逆命题是将原命题的条件和结论互换得到的命题。第一步先拆分原命题的结构，原命题的条件是“a，b是有理数”，结论是“a+b是有理数”，交换条件和结论即可得到逆命题。接下来判断逆命题的真假，假命题只需要举出一个满足逆命题条件、但不满足逆命题结论的反例即可，我们可以选取和为有理数的两个无理数作为反例完成证明。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题的条件和结论互换，得到逆命题为：若a+b是有理数，则a，b是有理数。
2. 判断真假：该逆命题是假命题。
3. 理由说明：举反例，取$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$，此时$a+b=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，满足“a+b是有理数”的条件，但$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$均为无理数，不满足“a，b是有理数”的结论，因此该逆命题为假命题。
【答案】
逆命题:若a+b是有理数,则a,b是有理数。假命题,反例:如$a=\sqrt{2},b=-\sqrt{2}$,符合a+b是有理数,但a,b是无理数。
【知识点】
逆命题改写，命题真假判断，有理数与无理数运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考查逆命题的改写规则和假命题的判断方法，要注意判断假命题无需严格证明，只需举出一个符合题设但不符合结论的反例即可。
【难度系数】
0.8
8. 已知:如图，$AB=AC$，$BD=CD$，点$P$是线段$AD$上任意一点，连结$PB$，$PC$。求证:$PB=PC$。
（第8题）
（第8题）答案
8. 由AB=AC,可得点A在BC的垂直平分线上。同理可得,点D在BC的垂直平分线上,故AD是BC的垂直平分线,所以PB=PC。
解析
【分析】
要证明PB=PC，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点P在BC的垂直平分线上即可。首先根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，结合已知AB=AC、BD=CD，可分别推出点A、点D都在BC的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，可得AD是BC的垂直平分线，已知点P在AD上，即可推出PB=PC。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ $BD=CD$，
∴ 点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ 两点确定一条直线，
∴ AD是线段BC的垂直平分线。
又
∵ 点P是线段AD上任意一点，
∴ $PB=PC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
【答案】
$PB=PC$
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定与性质的综合应用，解题时先通过已知条件判定AD为BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到结论，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明PB=PC，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点P在BC的垂直平分线上即可。首先根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，结合已知AB=AC、BD=CD，可分别推出点A、点D都在BC的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，可得AD是BC的垂直平分线，已知点P在AD上，即可推出PB=PC。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ $BD=CD$，
∴ 点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ 两点确定一条直线，
∴ AD是线段BC的垂直平分线。
又
∵ 点P是线段AD上任意一点，
∴ $PB=PC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
【答案】
$PB=PC$
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定与性质的综合应用，解题时先通过已知条件判定AD为BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到结论，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
