登录
1. 在$△ ABC$中，已知$∠ A = ∠ B + ∠ C$，则$∠ A$的度数为
90°
，$△ ABC$是直角
三角形。答案
1. 90°;直角
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内角和的基础性质：任意三角形的三个内角之和为180°，结合题目给出的∠A与∠B、∠C的等量关系，将该等量关系代入内角和公式即可求出∠A的度数；再根据直角三角形的定义，就能判断三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A = ∠ B + ∠ C$，将其代入上式得：
$∠ A + ∠ A = 180°$
即$2∠ A = 180°$，解得$∠ A = 90°$。
因为三角形有一个内角为90°（直角），所以$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$90°$；直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础练习题，核心考查三角形内角和定理的应用和直角三角形的判定，掌握基础定理即可快速求解，是巩固几何基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形内角和的基础性质：任意三角形的三个内角之和为180°，结合题目给出的∠A与∠B、∠C的等量关系，将该等量关系代入内角和公式即可求出∠A的度数；再根据直角三角形的定义，就能判断三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A = ∠ B + ∠ C$，将其代入上式得：
$∠ A + ∠ A = 180°$
即$2∠ A = 180°$，解得$∠ A = 90°$。
因为三角形有一个内角为90°（直角），所以$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$90°$；直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础练习题，核心考查三角形内角和定理的应用和直角三角形的判定，掌握基础定理即可快速求解，是巩固几何基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，若$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，则$△ ABC$是（
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
B
）。A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
2. B
解析
【分析】
要判断△ABC的类型，需先确定三角形内角的度数或最大角的类别。已知三个内角的数量关系，结合三角形内角和为180°的性质，我们可以先设最小的∠A为未知数，将∠B、∠C都用该未知数表示，再代入内角和公式列方程求解，得到最大角的度数后即可判断三角形类型。
【解析】
设∠A = x，
∵ ∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C，
∴ ∠B = 2∠A = 2x，∠C = 3∠A = 3x，
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
因此∠C = 3x = 90°，所以△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形类型判断的基础题，解题核心是结合三角形内角和定理，根据三个角的数量关系设未知数列方程求角度，进而判断三角形类别，熟练掌握三角形内角和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断△ABC的类型，需先确定三角形内角的度数或最大角的类别。已知三个内角的数量关系，结合三角形内角和为180°的性质，我们可以先设最小的∠A为未知数，将∠B、∠C都用该未知数表示，再代入内角和公式列方程求解，得到最大角的度数后即可判断三角形类型。
【解析】
设∠A = x，
∵ ∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C，
∴ ∠B = 2∠A = 2x，∠C = 3∠A = 3x，
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
因此∠C = 3x = 90°，所以△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形类型判断的基础题，解题核心是结合三角形内角和定理，根据三个角的数量关系设未知数列方程求角度，进而判断三角形类别，熟练掌握三角形内角和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 如果一个三角形的一个顶点是它的三条高线的交点，那么这个三角形是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
B
)。A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先要明确不同类型三角形的三条高线交点（垂心）的位置，再结合题干“一个顶点是三条高线的交点”的条件逐一判断选项即可。首先回忆各类三角形垂心的位置特征：锐角三角形的垂心在三角形内部，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心恰好是直角顶点，据此对应选项筛选即可。
【解析】
我们先梳理不同三角形三条高线交点的位置：
1. 锐角三角形：三条高线的交点在三角形内部，不属于三角形的顶点，排除A选项；
2. 钝角三角形：三条高线的交点在三角形外部，不属于三角形的顶点，排除C选项；
3. 直角三角形：两条直角边分别是对边上的高线，这两条高线的交点就是直角顶点，斜边上的高线也经过该直角顶点，因此直角三角形的直角顶点就是它三条高线的交点，符合题意；
4. 等边三角形属于锐角三角形，三条高线交点在三角形内部，排除D选项。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高线；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对不同类型三角形高线交点位置的识记，掌握各类三角形垂心的位置特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确不同类型三角形的三条高线交点（垂心）的位置，再结合题干“一个顶点是三条高线的交点”的条件逐一判断选项即可。首先回忆各类三角形垂心的位置特征：锐角三角形的垂心在三角形内部，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心恰好是直角顶点，据此对应选项筛选即可。
【解析】
我们先梳理不同三角形三条高线交点的位置：
1. 锐角三角形：三条高线的交点在三角形内部，不属于三角形的顶点，排除A选项；
2. 钝角三角形：三条高线的交点在三角形外部，不属于三角形的顶点，排除C选项；
3. 直角三角形：两条直角边分别是对边上的高线，这两条高线的交点就是直角顶点，斜边上的高线也经过该直角顶点，因此直角三角形的直角顶点就是它三条高线的交点，符合题意；
4. 等边三角形属于锐角三角形，三条高线交点在三角形内部，排除D选项。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高线；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对不同类型三角形高线交点位置的识记，掌握各类三角形垂心的位置特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠1=∠B。求证:△ABC为直角三角形。
答案
4. 因为 AD⊥BC,所以∠1+∠C=90°。又因为∠1=∠B,所以∠B+∠C=90°,所以△ABC 为直角三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°，或是两个锐角的和为90°。首先根据已知AD⊥BC，可得到△ADC是直角三角形，结合直角三角形两锐角互余的性质，能推出∠1与∠C的和为90°，再结合已知∠1=∠B，通过等量代换就可得到∠B与∠C的和为90°，即可判定△ABC为直角三角形。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
∴ 在Rt△ADC中，∠1+∠C=90°。
又
∵ ∠1=∠B，将∠1替换为∠B，可得：
∠B+∠C=90°，
∴ △ABC中∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°，
∴ △ABC为直角三角形。
【答案】
因为 AD⊥BC,所以∠1+∠C=90°。又因为∠1=∠B,所以∠B+∠C=90°,所以△ABC 为直角三角形。
【知识点】
垂直的性质、直角三角形的性质、直角三角形的判定
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，解题核心是从垂直条件出发得到互余的角，再通过等量代换推导原三角形的两个锐角互余，进而完成证明，掌握直角三角形的性质和判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
要证明△ABC是直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°，或是两个锐角的和为90°。首先根据已知AD⊥BC，可得到△ADC是直角三角形，结合直角三角形两锐角互余的性质，能推出∠1与∠C的和为90°，再结合已知∠1=∠B，通过等量代换就可得到∠B与∠C的和为90°，即可判定△ABC为直角三角形。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
∴ 在Rt△ADC中，∠1+∠C=90°。
又
∵ ∠1=∠B，将∠1替换为∠B，可得：
∠B+∠C=90°，
∴ △ABC中∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°，
∴ △ABC为直角三角形。
【答案】
因为 AD⊥BC,所以∠1+∠C=90°。又因为∠1=∠B,所以∠B+∠C=90°,所以△ABC 为直角三角形。
【知识点】
垂直的性质、直角三角形的性质、直角三角形的判定
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，解题核心是从垂直条件出发得到互余的角，再通过等量代换推导原三角形的两个锐角互余，进而完成证明，掌握直角三角形的性质和判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
5. 已知命题：“若一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，则这个三角形是直角三角形。”判断这个命题的真假，并说明理由。
答案
5. 假命题。理由如下:设△ABC 的三个内角为∠A,∠B,∠C,且∠A:∠B:∠C=3:4:5,得∠C=75°,所以△ABC 为锐角三角形。
解析
【分析】
要判断命题的真假，只需验证命题的题设成立时，结论是否成立。本题已知三角形三个内角的度数比，我们可以结合三角形内角和为180°的性质，通过设未知数计算出三个内角的具体度数，重点判断最大内角是否为90°，若最大内角不是90°，即可说明原命题是假命题。
【解析】
解：这个命题是假命题，理由如下：
设△ABC的三个内角为∠A，∠B，∠C，且∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x。
根据三角形内角和定理可得：3x+4x+5x=180°
解得x=15°
因此最大角∠C=5×15°=75°＜90°，△ABC的三个内角都为锐角，所以△ABC是锐角三角形，不是直角三角形，故原命题不成立。
【答案】
假命题。理由如下:设△ABC 的三个内角为∠A,∠B,∠C,且∠A:∠B:∠C=3:4:5,得∠C=75°,所以△ABC 为锐角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理，命题真假判断，三角形按角分类
【点评】
本题核心是利用三角形内角和定理判断三角形形状，解题时只需根据角度比例求出最大内角的度数，就能快速判断三角形的类别，属于基础题型，需熟练掌握按比例分配求角度的方法。
【难度系数】
0.8
要判断命题的真假，只需验证命题的题设成立时，结论是否成立。本题已知三角形三个内角的度数比，我们可以结合三角形内角和为180°的性质，通过设未知数计算出三个内角的具体度数，重点判断最大内角是否为90°，若最大内角不是90°，即可说明原命题是假命题。
【解析】
解：这个命题是假命题，理由如下：
设△ABC的三个内角为∠A，∠B，∠C，且∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x。
根据三角形内角和定理可得：3x+4x+5x=180°
解得x=15°
因此最大角∠C=5×15°=75°＜90°，△ABC的三个内角都为锐角，所以△ABC是锐角三角形，不是直角三角形，故原命题不成立。
【答案】
假命题。理由如下:设△ABC 的三个内角为∠A,∠B,∠C,且∠A:∠B:∠C=3:4:5,得∠C=75°,所以△ABC 为锐角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理，命题真假判断，三角形按角分类
【点评】
本题核心是利用三角形内角和定理判断三角形形状，解题时只需根据角度比例求出最大内角的度数，就能快速判断三角形的类别，属于基础题型，需熟练掌握按比例分配求角度的方法。
【难度系数】
0.8
