1. 直角三角形的两个锐角.
几何语言：如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=\_\_\_\_\_\_°$.

1. 互余 90

【分析】
解题时先回忆三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。直角三角形中存在一个90°的直角，因此用内角和减去直角的度数，就能得到剩下两个锐角的和，再根据“和为90°的两个角互余”，即可得出两个锐角的关系，填出对应数值。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，代入内角和公式可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$
由此可得直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余；90
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对直角三角形内角性质的理解和记忆，熟练掌握三角形内角和定理就能轻松解答，是后续直角三角形相关计算和证明的基础。
【难度系数】
0.9

2. 有两个角互余的三角形是。
几何语言：如图，在$△ ABC$中，$\because ∠ A+∠ B=90°$，$\therefore △ ABC$是三角形。

2. 直角三角形 直角

【分析】
解题时先回忆三角形内角和的性质：任意三角形的三个内角和为180°。如果三角形中有两个角互余，说明这两个角的和是90°，代入内角和公式就能算出第三个角的度数为90°，而有一个内角为90°的三角形是直角三角形，由此可得出第一空的答案；第二空是该判定定理的几何语言应用，对应结论直接填写即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，△ABC的内角和为180°：
1. 若三角形有两个角互余，即这两个角的和为90°，则第三个角的度数为$180°-90°=90°$，有一个角是直角的三角形为直角三角形，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
2. 几何语言表述中，已知$∠ A+∠ B=90°$，符合上述判定条件，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形；直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；余角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察直角三角形判定定理的理解和应用，需要准确掌握互余的含义、三角形内角和性质，同时要能熟练对应定理的文字表述和几何语言书写。
【难度系数】
0.9

例1 若直角三角形的一个锐角等于$40°$，则另一个锐角等于().
A. $50°$
B. $60°$
C. $70°$
D. $40°$
例2 下列条件中，不能判定$△ ABC$为直角三角形的是().
A. $∠ A=50°$，$∠ C=40°$
B. $∠ A=90°-∠ C$
C. $∠ A+∠ B+∠ C=180°$
D. $∠ A+∠ B=∠ C$

例1 A 例2 C

【分析】
对于例1，解题核心是利用直角三角形的内角特征：直角三角形有一个内角为90°，且三角形内角和为180°，因此两个锐角的和为90°（即两锐角互余），已知其中一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角度数即可得到另一个锐角的度数。
对于例2，解题思路是明确直角三角形的判定条件：只要三角形中有一个内角为90°，即可判定为直角三角形，结合三角形内角和为180°的性质，逐个分析各选项的条件能否推出存在90°的内角即可，注意所有三角形都满足内角和为180°，这个条件无法区分三角形的类型。
【解析】
例1
∵ 直角三角形中有一个内角为90°，三角形内角和为180°
∴ 直角三角形的两个锐角之和为$180°-90°=90°$
已知一个锐角为$40°$，则另一个锐角为$90°-40°=50°$。
例2
逐一分析选项：
A选项：
∵ $∠ A=50°$，$∠ C=40°$，
∴ $∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-40°=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
B选项：
∵ $∠ A=90°-∠ C$，
∴ $∠ A+∠ C=90°$，则$∠ B=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
C选项：任意三角形的内角和都等于$180°$，该条件无法说明$△ ABC$存在$90°$的内角，不能判定为直角三角形，符合题意；
D选项：
∵ $∠ A+∠ B=∠ C$，且$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
例1 A；例2 C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；直角三角形的判定
【点评】
这两道题属于基础类习题，侧重考查对直角三角形内角相关性质的理解与运用，熟练掌握三角形内角和以及直角三角形的内角特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9

1.（教材改编）如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD$是$BC$边上的高，$∠ B=50°$，则$∠ CAD$的度数为（）。


A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

1. C

【分析】
解题时可先梳理图形中的直角三角形：首先△ABC中∠BAC=90°，属于直角三角形，两个锐角∠B和∠C互余；其次AD是BC边上的高，可得△ADC也是直角三角形，∠CAD和∠C互余。既可以先计算∠C的度数，再推导∠CAD的度数，也可以直接利用同角的余角相等的性质，快速得到∠CAD与∠B相等，从而得出结果。
【解析】
解法1：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，
∴ ∠B + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵ ∠B=50°，
∴ ∠C = 90° - 50° = 40°。
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴ ∠CAD = 90° - 40° = 50°。
解法2：
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAD = 90°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠B + ∠BAD = 90°，
∴ ∠CAD = ∠B = 50°（同角的余角相等）。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形内角性质的基础应用题，两种解题思路都很常用，熟练掌握余角的相关性质可以简化计算步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.85

2. 如图，$AB ⊥ CD$，垂足为$B$，$E$是线段$AD$上一点，$CE$交$AB$于点$F$，$∠ A = ∠ C$。
求证：$△ CED$是直角三角形。

2. 证明：$\because AB⊥CD$，$\therefore ∠ABD=90°$.$\therefore ∠A+∠D=90°$.$\because ∠A=∠C$，$\therefore ∠C+∠D=90°$.$\therefore △CED$是直角三角形.

【分析】
要证明△CED是直角三角形，需证明该三角形有一个内角为90°，或两个内角互余。首先由AB⊥CD可得△ABD是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可推出∠A+∠D=90°，再结合已知∠A=∠C，通过等量代换得到∠C+∠D=90°，即可得出△CED满足直角三角形的判定条件。
【解析】
证明：$\because AB⊥CD$，$\therefore ∠ABD=90°$。
$\therefore ∠A+∠D=90°$。
$\because ∠A=∠C$，$\therefore ∠C+∠D=90°$。
$\therefore △CED$是直角三角形。
【答案】
证明：$\because AB⊥CD$，$\therefore ∠ABD=90°$。
$\therefore ∠A+∠D=90°$。
$\because ∠A=∠C$，$\therefore ∠C+∠D=90°$。
$\therefore △CED$是直角三角形。
【知识点】
垂直的定义；直角三角形的性质；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，解题关键是利用垂直条件得到角的互余关系，再结合等角条件进行等量代换，即可完成直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质和判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85

1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 50°$，$CD$平分$∠ ACB$，则$∠ 1 = (\quad)$。


A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$

1. B

【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠A为直角，结合直角三角形两个锐角互余的性质，可先求出∠ACB的度数；再根据CD是∠ACB的角平分线，角平分线会把一个角分成两个相等的小角，因此∠1等于∠ACB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ ACB + ∠ B = 90°$
已知$∠ B=50°$，代入得：
$∠ ACB=90° - 50°=40°$
$\because CD$平分$∠ ACB$，根据角平分线的定义：
$∠ 1=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是先利用直角三角形的内角特征求出未知锐角的度数，再结合角平分线的性质完成计算，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

2. 如图，直线$m// n$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点$A$在直线$n$上，$∠ C=90°$. 若$∠ 1=20°$，$∠ 2=75°$，则$∠ B=(\quad)$.

A.$20°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$50°$

2. B

【分析】
解题时首先观察已知条件：直线m//n，Rt△ABC中∠C=90°。第一步，利用平行线的内错角相等的性质，可知∠2等于∠1与∠BAC的和，据此可先计算出∠BAC的度数；第二步，根据直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠BAC的度数，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ 直线$m// n$，根据两直线平行，内错角相等
∴ $∠ 2 = ∠ BAC + ∠ 1$
已知$∠ 1=20°$，$∠ 2=75°$，代入得：
$∠ BAC = ∠ 2 - ∠ 1 = 75° - 20° = 55°$
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角三角形两锐角互余
∴ $∠ B + ∠ BAC = 90°$
∴ $∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 55° = 35°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；直角三角形内角性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和直角三角形的内角特点，准确找到角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7