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3. 如图，已知$AD ⊥ BC$，$∠ ABD = ∠ BAD$，$∠ C = 65°$，则$∠ BAC$的度数是
70°
。答案
3. $70°$
解析
【分析】
解题时先根据AD⊥BC的垂直关系，得到Rt△ABD和Rt△ADC两个直角三角形；首先在Rt△ABD中，利用直角三角形两锐角互余以及∠ABD=∠BAD的条件，求出∠BAD的度数；再在Rt△ADC中，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数；最后将∠BAD和∠DAC相加，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，且∠ABD=∠BAD，
∵直角三角形的两个锐角互余，
∴∠BAD + ∠ABD = 90°，
即2∠BAD=90°，解得∠BAD=45°。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=65°，
同理可得∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 65° = 25°。
∴∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = 45° + 25° = 70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余 2. 垂直的定义 3. 角度的和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，核心考查直角三角形的内角性质，解题时只要理清图中角的数量关系，结合垂直带来的直角条件即可快速求解，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先根据AD⊥BC的垂直关系，得到Rt△ABD和Rt△ADC两个直角三角形；首先在Rt△ABD中，利用直角三角形两锐角互余以及∠ABD=∠BAD的条件，求出∠BAD的度数；再在Rt△ADC中，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数；最后将∠BAD和∠DAC相加，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，且∠ABD=∠BAD，
∵直角三角形的两个锐角互余，
∴∠BAD + ∠ABD = 90°，
即2∠BAD=90°，解得∠BAD=45°。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=65°，
同理可得∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 65° = 25°。
∴∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = 45° + 25° = 70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余 2. 垂直的定义 3. 角度的和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，核心考查直角三角形的内角性质，解题时只要理清图中角的数量关系，结合垂直带来的直角条件即可快速求解，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点D在边AB上，将$△ CBD$沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处。若$∠ A=25°$，则$∠ CDE=$
70
°。答案
4. 70
解析
【分析】
首先利用直角三角形的内角和性质求出∠B的度数；再根据折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，即∠CED=∠B，且CD平分∠ACB，进而求出∠ECD的度数；最后在△CDE中利用三角形内角和定理即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-90°-25°=65°$。
∵ 将$△ CBD$沿$CD$折叠，点$B$落在$AC$上的点$E$处，
∴ $△ CBD≌△ CED$，
∴ $∠ CED=∠ B=65°$，$∠ ECD=∠ BCD$。
又
∵ $∠ ACB=∠ ECD+∠ BCD=90°$，
∴ $∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ CDE=180°-∠ ECD-∠ CED=180°-45°-65°=70°$。
【答案】
70
【知识点】
直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查了折叠变换与三角形角度计算的结合，解题的核心是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和定理进行角度推导，是几何部分的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
首先利用直角三角形的内角和性质求出∠B的度数；再根据折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，即∠CED=∠B，且CD平分∠ACB，进而求出∠ECD的度数；最后在△CDE中利用三角形内角和定理即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-90°-25°=65°$。
∵ 将$△ CBD$沿$CD$折叠，点$B$落在$AC$上的点$E$处，
∴ $△ CBD≌△ CED$，
∴ $∠ CED=∠ B=65°$，$∠ ECD=∠ BCD$。
又
∵ $∠ ACB=∠ ECD+∠ BCD=90°$，
∴ $∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ CDE=180°-∠ ECD-∠ CED=180°-45°-65°=70°$。
【答案】
70
【知识点】
直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查了折叠变换与三角形角度计算的结合，解题的核心是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和定理进行角度推导，是几何部分的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
5. 在直角三角形中，∠C 是直角，∠B 比∠A 的 3 倍少 10°，求∠A，∠B 的度数。
答案
5. 解：由题意得，$∠B=3∠A-10°$，$∠A+∠B=90°$，$\therefore ∠A+3∠A-10°=90°$，解得$∠A=25°$. $\therefore ∠B=90°-∠A=65°$.
解析
【分析】
这道题可结合直角三角形的内角性质和题目给出的角的数量关系求解。首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形的两个锐角互余，也就是∠A+∠B=90°；题目给出∠B比∠A的3倍少10°，可以写出∠B关于∠A的表达式，把该表达式代入两个锐角和为90°的等式中，就能得到仅含∠A的一元一次方程，解方程求出∠A的度数后，再进一步计算∠B的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠C为直角
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）
由题意可知∠B = 3∠A - 10°，将其代入∠A + ∠B = 90°得：
∠A + 3∠A - 10° = 90°
整理得4∠A = 100°
解得∠A = 25°
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 25° = 65°
【答案】
∠A=25°，∠B=65°
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 列方程解几何问题
【点评】
本题是基础类几何计算题，重点考查直角三角形的内角性质，解题的关键是找准两个锐角的等量关系，通过代数列方程的方法求解即可，属于几何与代数结合应用的基础训练题。
【难度系数】
0.9
这道题可结合直角三角形的内角性质和题目给出的角的数量关系求解。首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形的两个锐角互余，也就是∠A+∠B=90°；题目给出∠B比∠A的3倍少10°，可以写出∠B关于∠A的表达式，把该表达式代入两个锐角和为90°的等式中，就能得到仅含∠A的一元一次方程，解方程求出∠A的度数后，再进一步计算∠B的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠C为直角
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）
由题意可知∠B = 3∠A - 10°，将其代入∠A + ∠B = 90°得：
∠A + 3∠A - 10° = 90°
整理得4∠A = 100°
解得∠A = 25°
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 25° = 65°
【答案】
∠A=25°，∠B=65°
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 列方程解几何问题
【点评】
本题是基础类几何计算题，重点考查直角三角形的内角性质，解题的关键是找准两个锐角的等量关系，通过代数列方程的方法求解即可，属于几何与代数结合应用的基础训练题。
【难度系数】
0.9
6. 脊柱侧弯的检测示意图如图所示，在体检时为方便测出Cobb角(即$∠ O$)的大小，需将$∠ O$转化为与它相等的角，则图中与$∠ O$相等的角是(
A.$∠ BEA$
B.$∠ DEB$
C.$∠ ECA$
D.$∠ ADO$
B
).A.$∠ BEA$
B.$∠ DEB$
C.$∠ ECA$
D.$∠ ADO$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，可知AB垂直于OB，CD垂直于OC，即△DCO和△DBE都是直角三角形，两个三角形有公共角∠D。结合直角三角形两锐角互余的性质，可知∠O和∠DEB都是∠D的余角，再根据同角的余角相等，就能找到与∠O相等的角。
【解析】
解：由图可得，$AB⊥ OB$，$CD⊥ OC$，因此$∠ DBE=∠ DCO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCO$中，根据直角三角形两个锐角互余，得$∠ D + ∠ O = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，同理可得$∠ D + ∠ DEB = 90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ O=∠ DEB$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题结合脊柱侧弯检测的实际场景考查几何基础性质，将生活中的测量问题转化为几何角度关系问题，解题关键是识别出公共角，利用余角的性质推导等角，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，可知AB垂直于OB，CD垂直于OC，即△DCO和△DBE都是直角三角形，两个三角形有公共角∠D。结合直角三角形两锐角互余的性质，可知∠O和∠DEB都是∠D的余角，再根据同角的余角相等，就能找到与∠O相等的角。
【解析】
解：由图可得，$AB⊥ OB$，$CD⊥ OC$，因此$∠ DBE=∠ DCO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCO$中，根据直角三角形两个锐角互余，得$∠ D + ∠ O = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，同理可得$∠ D + ∠ DEB = 90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ O=∠ DEB$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题结合脊柱侧弯检测的实际场景考查几何基础性质，将生活中的测量问题转化为几何角度关系问题，解题关键是识别出公共角，利用余角的性质推导等角，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
7. 下列条件：①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$；③$∠ A=∠ B=2∠ C$；④$∠ A=2∠ B=3∠ C$。其中能确定$△ ABC$为直角三角形的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7. B
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是看三角形中是否存在90°的内角。我们可以结合三角形内角和为180°的性质，分别对四个条件逐一分析，通过列方程计算各内角的度数，验证是否有内角等于90°即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
①已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故△ABC是直角三角形；
②已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故△ABC是直角三角形；
③已知$∠ A=∠ B=2∠ C$，代入内角和公式得：$2∠ C + 2∠ C + ∠ C =180°$，解得$∠ C=36°$，$∠ A=∠ B=72°$，三个内角均不为90°，故△ABC不是直角三角形；
④已知$∠ A=2∠ B=3∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入内角和公式得：$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°$，不存在90°的内角，故△ABC不是直角三角形。
综上，能确定△ABC为直角三角形的是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形形状判断类基础题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，通过设未知量建立方程计算各角的度数，从而判断是否为直角三角形，注意不要混淆角之间的倍数关系。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是看三角形中是否存在90°的内角。我们可以结合三角形内角和为180°的性质，分别对四个条件逐一分析，通过列方程计算各内角的度数，验证是否有内角等于90°即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
①已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故△ABC是直角三角形；
②已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故△ABC是直角三角形；
③已知$∠ A=∠ B=2∠ C$，代入内角和公式得：$2∠ C + 2∠ C + ∠ C =180°$，解得$∠ C=36°$，$∠ A=∠ B=72°$，三个内角均不为90°，故△ABC不是直角三角形；
④已知$∠ A=2∠ B=3∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入内角和公式得：$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°$，不存在90°的内角，故△ABC不是直角三角形。
综上，能确定△ABC为直角三角形的是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形形状判断类基础题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，通过设未知量建立方程计算各角的度数，从而判断是否为直角三角形，注意不要混淆角之间的倍数关系。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$AB // ED$，$ED ⊥ BD$，垂足为D，$∠ BAC = ∠ DCE$。求证：$△ ACE$ 是直角三角形。
答案
8. 证明：$\because ED ⊥ BD$，$\therefore ∠CDE=90°$. $\therefore ∠CED+∠DCE=90°$. $\because ∠BAC=∠DCE$，$\therefore ∠CED+∠BAC=90°$. $\because AB // ED$，$\therefore ∠BAC+∠CAE+∠CED+∠AEC=180°$. $\therefore ∠CAE+∠AEC=90°$. $\therefore △ACE$是直角三角形.
解析
【分析】
要证明△ACE是直角三角形，只需证明该三角形存在两个互余的内角即可。首先从已知的垂直条件入手，先得到直角三角形CDE中两锐角互余，结合已知的等角关系完成代换，再利用平行线同旁内角互补的性质，推导△ACE中两个内角的和为90°，就能完成证明。
【解析】
证明：
$\because ED ⊥ BD$，$\therefore ∠CDE=90°$，
$\therefore ∠CED+∠DCE=90°$。
$\because ∠BAC=∠DCE$，
$\therefore ∠CED+∠BAC=90°$。
$\because AB // ED$，
$\therefore ∠BAC+∠CAE+∠CED+∠AEC=180°$，
$\therefore ∠CAE+∠AEC=90°$，
$\therefore △ACE$是直角三角形。
【答案】
证明：$\because ED ⊥ BD$，$\therefore ∠CDE=90°$. $\therefore ∠CED+∠DCE=90°$. $\because ∠BAC=∠DCE$，$\therefore ∠CED+∠BAC=90°$. $\because AB // ED$，$\therefore ∠BAC+∠CAE+∠CED+∠AEC=180°$. $\therefore ∠CAE+∠AEC=90°$. $\therefore △ACE$是直角三角形.
【知识点】
直角三角形内角性质，平行线的性质，直角三角形判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察平行线和直角三角形相关性质的综合运用，解题的关键是通过等角代换梳理角之间的数量关系，能有效巩固相关基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
要证明△ACE是直角三角形，只需证明该三角形存在两个互余的内角即可。首先从已知的垂直条件入手，先得到直角三角形CDE中两锐角互余，结合已知的等角关系完成代换，再利用平行线同旁内角互补的性质，推导△ACE中两个内角的和为90°，就能完成证明。
【解析】
证明：
$\because ED ⊥ BD$，$\therefore ∠CDE=90°$，
$\therefore ∠CED+∠DCE=90°$。
$\because ∠BAC=∠DCE$，
$\therefore ∠CED+∠BAC=90°$。
$\because AB // ED$，
$\therefore ∠BAC+∠CAE+∠CED+∠AEC=180°$，
$\therefore ∠CAE+∠AEC=90°$，
$\therefore △ACE$是直角三角形。
【答案】
证明：$\because ED ⊥ BD$，$\therefore ∠CDE=90°$. $\therefore ∠CED+∠DCE=90°$. $\because ∠BAC=∠DCE$，$\therefore ∠CED+∠BAC=90°$. $\because AB // ED$，$\therefore ∠BAC+∠CAE+∠CED+∠AEC=180°$. $\therefore ∠CAE+∠AEC=90°$. $\therefore △ACE$是直角三角形.
【知识点】
直角三角形内角性质，平行线的性质，直角三角形判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察平行线和直角三角形相关性质的综合运用，解题的关键是通过等角代换梳理角之间的数量关系，能有效巩固相关基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AE$是$∠ BAC$的平分线.
(1)若$∠ B＝50°$，$∠ C＝60°$，求$∠ EAD$的度数；
(2)若$∠ EAD＝α$，求$∠ C－∠ B$的大小.（用含$α$的代数式表示）
(1)若$∠ B＝50°$，$∠ C＝60°$，求$∠ EAD$的度数；
(2)若$∠ EAD＝α$，求$∠ C－∠ B$的大小.（用含$α$的代数式表示）
答案
9. 解：（1）$\because ∠B = 50°$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，$\therefore ∠BAD=90°-∠B=40°$. $\because ∠C=60°$，$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠C=70°$. $\because AE$ 是 $∠BAC$ 的平分线，$\therefore ∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$. $\therefore ∠EAD=∠BAD-∠BAE=40°-35°=5°$. （2）$\because AE$ 是 $∠BAC$ 的平分线，$\therefore ∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC$. $\because AD$ 是 $BC$ 边上的高，$∠EAD=α$，$\therefore ∠B=90°-∠BAE-∠EAD=90°-\frac{1}{2}∠BAC-α$，$∠C=90°-∠CAD=90°-∠CAE+∠EAD=90°-\frac{1}{2}∠BAC+α$. $\therefore ∠C-∠B=2α$.
解析
【分析】
本题考查三角形中角度的计算，解题思路如下：
(1) 先利用AD是BC边上的高，结合直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；再根据三角形内角和为180°算出∠BAC的度数，结合AE是角平分线的性质求出∠BAE的度数，最后通过∠EAD=∠BAD-∠BAE即可算出结果。
(2) 推导∠C和∠B的差时，先根据角平分线的性质表示出∠BAE=∠CAE，再结合高的性质分别用含∠BAC和α的式子表示∠B和∠C，两式作差消去公共项即可得到∠C-∠B与α的关系。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠B=50°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°
在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=40°-35°=5°
(2)
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-(∠BAE+∠EAD)=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC-α
在Rt△ADC中，∠C=90°-∠CAD=90°-(∠CAE-∠EAD)=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+α
∴∠C-∠B=(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+α)-(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC-α)=2α
【答案】
(1) $\boldsymbol{5°}$；(2) $\boldsymbol{2α}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，需要熟练掌握三角形高、角平分线的性质以及内角和定理，解题时要理清各个角之间的数量关系，第二问是从特殊到一般的推导，消去公共项即可得到所求的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形中角度的计算，解题思路如下：
(1) 先利用AD是BC边上的高，结合直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；再根据三角形内角和为180°算出∠BAC的度数，结合AE是角平分线的性质求出∠BAE的度数，最后通过∠EAD=∠BAD-∠BAE即可算出结果。
(2) 推导∠C和∠B的差时，先根据角平分线的性质表示出∠BAE=∠CAE，再结合高的性质分别用含∠BAC和α的式子表示∠B和∠C，两式作差消去公共项即可得到∠C-∠B与α的关系。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠B=50°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°
在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=40°-35°=5°
(2)
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-(∠BAE+∠EAD)=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC-α
在Rt△ADC中，∠C=90°-∠CAD=90°-(∠CAE-∠EAD)=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+α
∴∠C-∠B=(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+α)-(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC-α)=2α
【答案】
(1) $\boldsymbol{5°}$；(2) $\boldsymbol{2α}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，需要熟练掌握三角形高、角平分线的性质以及内角和定理，解题时要理清各个角之间的数量关系，第二问是从特殊到一般的推导，消去公共项即可得到所求的数量关系。
【难度系数】
0.7
