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1.用简便方法计算.
(1) $2001^2 - 4002 + 1$.
(2) $18.9^2 + 21.3^2 - 18.7^2 - 21.1^2$.
(3) $2024^2 - 2023^2$.
(4) $99^2 + 198 + 1$.
(5) $1.99^2 + 1.99 × 0.01$.
(6) $86^2 + 28 × 86 + 14^2$.
(1) $2001^2 - 4002 + 1$.
(2) $18.9^2 + 21.3^2 - 18.7^2 - 21.1^2$.
(3) $2024^2 - 2023^2$.
(4) $99^2 + 198 + 1$.
(5) $1.99^2 + 1.99 × 0.01$.
(6) $86^2 + 28 × 86 + 14^2$.
答案
(1)4 000 000.
(2)16.
(3)4 047.
(4)10 000.
(5)3.98.
(6)10 000.
(2)16.
(3)4 047.
(4)10 000.
(5)3.98.
(6)10 000.
解析
【分析】
这几道简便计算题核心是运用因式分解的相关公式简化运算，避免直接计算大数乘方的繁琐。解题时先观察式子特征：1. 若式子符合“$a^2\pm2ab+b^2$”的结构，优先用完全平方公式转化为$(a\pm b)^2$计算；2. 若式子是两个数的平方差形式，用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$转化为乘法计算；3. 若式子有公共因式，先提取公因式再计算；4. 对于多个平方项混合的式子，可先合理分组，再套用对应公式计算。
【解析】
(1) 将$4002$变形为$2×2001$，整理为完全平方结构计算：
$\begin{split}2001^2 - 4002 + 1&=2001^2 - 2×2001×1 + 1^2\\&=(2001-1)^2\\&=2000^2\\&=4000000\end{split}$
(2) 先分组配对平方项，分别用平方差公式计算：
$\begin{split}18.9^2 + 21.3^2 - 18.7^2 - 21.1^2&=(18.9^2 - 18.7^2)+(21.3^2 - 21.1^2)\\&=(18.9-18.7)(18.9+18.7)+(21.3-21.1)(21.3+21.1)\\&=0.2×37.6 + 0.2×42.4\\&=0.2×(37.6+42.4)\\&=0.2×80\\&=16\end{split}$
(3) 直接套用平方差公式计算：
$\begin{split}2024^2 - 2023^2&=(2024-2023)(2024+2023)\\&=1×4047\\&=4047\end{split}$
(4) 将$198$变形为$2×99×1$，整理为完全平方结构计算：
$\begin{split}99^2 + 198 + 1&=99^2 + 2×99×1 + 1^2\\&=(99+1)^2\\&=100^2\\&=10000\end{split}$
(5) 提取公因式$1.99$后计算：
$\begin{split}1.99^2 + 1.99×0.01&=1.99×(1.99+0.01)\\&=1.99×2\\&=3.98\end{split}$
(6) 将$28$变形为$2×14$，整理为完全平方结构计算：
$\begin{split}86^2 + 28×86 + 14^2&=86^2 + 2×86×14 + 14^2\\&=(86+14)^2\\&=100^2\\&=10000\end{split}$
【答案】
(1)$4000000$；(2)$16$；(3)$4047$；(4)$10000$；(5)$3.98$；(6)$10000$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，提公因式法因式分解
【点评】
此类题目是因式分解在简便运算中的典型应用，解题关键是准确识别式子的结构特征，灵活选择对应的因式分解方法，可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这几道简便计算题核心是运用因式分解的相关公式简化运算，避免直接计算大数乘方的繁琐。解题时先观察式子特征：1. 若式子符合“$a^2\pm2ab+b^2$”的结构，优先用完全平方公式转化为$(a\pm b)^2$计算；2. 若式子是两个数的平方差形式，用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$转化为乘法计算；3. 若式子有公共因式，先提取公因式再计算；4. 对于多个平方项混合的式子，可先合理分组，再套用对应公式计算。
【解析】
(1) 将$4002$变形为$2×2001$，整理为完全平方结构计算：
$\begin{split}2001^2 - 4002 + 1&=2001^2 - 2×2001×1 + 1^2\\&=(2001-1)^2\\&=2000^2\\&=4000000\end{split}$
(2) 先分组配对平方项，分别用平方差公式计算：
$\begin{split}18.9^2 + 21.3^2 - 18.7^2 - 21.1^2&=(18.9^2 - 18.7^2)+(21.3^2 - 21.1^2)\\&=(18.9-18.7)(18.9+18.7)+(21.3-21.1)(21.3+21.1)\\&=0.2×37.6 + 0.2×42.4\\&=0.2×(37.6+42.4)\\&=0.2×80\\&=16\end{split}$
(3) 直接套用平方差公式计算：
$\begin{split}2024^2 - 2023^2&=(2024-2023)(2024+2023)\\&=1×4047\\&=4047\end{split}$
(4) 将$198$变形为$2×99×1$，整理为完全平方结构计算：
$\begin{split}99^2 + 198 + 1&=99^2 + 2×99×1 + 1^2\\&=(99+1)^2\\&=100^2\\&=10000\end{split}$
(5) 提取公因式$1.99$后计算：
$\begin{split}1.99^2 + 1.99×0.01&=1.99×(1.99+0.01)\\&=1.99×2\\&=3.98\end{split}$
(6) 将$28$变形为$2×14$，整理为完全平方结构计算：
$\begin{split}86^2 + 28×86 + 14^2&=86^2 + 2×86×14 + 14^2\\&=(86+14)^2\\&=100^2\\&=10000\end{split}$
【答案】
(1)$4000000$；(2)$16$；(3)$4047$；(4)$10000$；(5)$3.98$；(6)$10000$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，提公因式法因式分解
【点评】
此类题目是因式分解在简便运算中的典型应用，解题关键是准确识别式子的结构特征，灵活选择对应的因式分解方法，可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
2.利用因式分解说明：$25^7 - 5^{12}$能被12整除.
答案
$25^7 - 5^{12} = (5^2)^7 - 5^{12} = 5^{14} - 5^{12} = 5^{12}×(5^2 - 1) = 5^{12}×24 = 5^{12}×12×2$，
$\therefore 25^7 - 5^{12}$能被12整除.
$\therefore 25^7 - 5^{12}$能被12整除.
解析
【分析】
要说明$25^7 - 5^{12}$能被12整除，核心是将原式变形为12与某个整数的乘积形式。首先观察到式子中两项的底数25和5存在关联，25是5的平方，因此先利用幂的乘方法则统一两项的底数为5，再提取公因式，计算剩余部分的数值后判断是否含有因数12即可完成证明。
【解析】
解：先将$25^7$转化为以5为底的幂：
$25^7 - 5^{12} = (5^2)^7 - 5^{12} = 5^{14} - 5^{12}$
提取公因式$5^{12}$：
$= 5^{12}×(5^2 - 1)$
计算括号内的结果：
$= 5^{12}×24$
拆分24为12和2的乘积：
$= 5^{12}×12×2$
因为$5^{12}×2$是整数，说明原式含有因数12，因此$25^7 - 5^{12}$能被12整除。
【答案】
$25^7 - 5^{12}=5^{12}×12×2$，故能被12整除。
【知识点】
幂的乘方运算，提公因式法因式分解，整除判定
【点评】
本题考查因式分解在整除判定中的应用，解题关键是先统一幂的底数，再通过提取公因式对原式变形，得到包含除数的乘积形式，属于基础应用类题型，能有效训练幂运算和因式分解的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
要说明$25^7 - 5^{12}$能被12整除，核心是将原式变形为12与某个整数的乘积形式。首先观察到式子中两项的底数25和5存在关联，25是5的平方，因此先利用幂的乘方法则统一两项的底数为5，再提取公因式，计算剩余部分的数值后判断是否含有因数12即可完成证明。
【解析】
解：先将$25^7$转化为以5为底的幂：
$25^7 - 5^{12} = (5^2)^7 - 5^{12} = 5^{14} - 5^{12}$
提取公因式$5^{12}$：
$= 5^{12}×(5^2 - 1)$
计算括号内的结果：
$= 5^{12}×24$
拆分24为12和2的乘积：
$= 5^{12}×12×2$
因为$5^{12}×2$是整数，说明原式含有因数12，因此$25^7 - 5^{12}$能被12整除。
【答案】
$25^7 - 5^{12}=5^{12}×12×2$，故能被12整除。
【知识点】
幂的乘方运算，提公因式法因式分解，整除判定
【点评】
本题考查因式分解在整除判定中的应用，解题关键是先统一幂的底数，再通过提取公因式对原式变形，得到包含除数的乘积形式，属于基础应用类题型，能有效训练幂运算和因式分解的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
3.对于任意自然数$n$，多项式$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值能否被6整除？
答案
能被 6 整除.$\because$原式$=n^2+5n-(n^2-n-6)=n^2+5n-n^2+n+6=6n+6=6(n+1)$，
$\therefore$对于任意自然数 $n$，多项式 $n(n+5)-(n-3)(n+2)$ 的值能被 6 整除.
$\therefore$对于任意自然数 $n$，多项式 $n(n+5)-(n-3)(n+2)$ 的值能被 6 整除.
解析
【分析】
要判断多项式的值能否被6整除，核心思路是先对多项式化简，再观察化简结果是否含有因数6。解题步骤如下：第一步，根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项；第二步，去括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第三步，合并同类项得到最简结果；第四步，对最简结果因式分解，结合n是自然数的条件，判断结果是否为6的整数倍即可。
【解析】
先对多项式展开化简：
$\begin{aligned}原式&=n^2+5n-(n^2-n-6)\\&=n^2+5n-n^2+n+6\\&=6n+6\\&=6(n+1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$n+1$是正整数，因此$6(n+1)$是6的正整数倍，即该多项式的值能被6整除。
【答案】
能被6整除
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，提公因式因式分解
【点评】
本题考查整式化简与整除性质的结合应用，解题的关键是准确完成整式的去括号、合并同类项运算，将多项式变形为含因数6的形式，运算时需格外注意去括号的符号规则，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要判断多项式的值能否被6整除，核心思路是先对多项式化简，再观察化简结果是否含有因数6。解题步骤如下：第一步，根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项；第二步，去括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第三步，合并同类项得到最简结果；第四步，对最简结果因式分解，结合n是自然数的条件，判断结果是否为6的整数倍即可。
【解析】
先对多项式展开化简：
$\begin{aligned}原式&=n^2+5n-(n^2-n-6)\\&=n^2+5n-n^2+n+6\\&=6n+6\\&=6(n+1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$n+1$是正整数，因此$6(n+1)$是6的正整数倍，即该多项式的值能被6整除。
【答案】
能被6整除
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，提公因式因式分解
【点评】
本题考查整式化简与整除性质的结合应用，解题的关键是准确完成整式的去括号、合并同类项运算，将多项式变形为含因数6的形式，运算时需格外注意去括号的符号规则，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
4.【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】(1)$17^2 - 15^2$的结果是8的几倍?
【证明】(2)试证明两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$($n$为整数)的平方差是8的整数倍.
【延伸】(3)两个连续偶数$2m+2$与$2m$($m$为整数)的平方差还是8的整数倍吗?如果是,请说明理由;如果不是,将上述平方差的结果加上正整数$k$,使得最后的结果是8的整数倍,直接写出$k$的最小值.
【验证】(1)$17^2 - 15^2$的结果是8的几倍?
【证明】(2)试证明两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$($n$为整数)的平方差是8的整数倍.
【延伸】(3)两个连续偶数$2m+2$与$2m$($m$为整数)的平方差还是8的整数倍吗?如果是,请说明理由;如果不是,将上述平方差的结果加上正整数$k$,使得最后的结果是8的整数倍,直接写出$k$的最小值.
答案
(1)$\because 17^2-15^2=(17+15)×(17-15)=32×2=64$，$\therefore 17^2-15^2$ 是 8 的 8 倍.
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$，
$\therefore$ 两个连续奇数 $2n+1,2n-1$ 的平方差是 8 的倍数.
(3)两个连续偶数的平方差不是 8 的倍数.理由如下：
设两个连续的偶数分别为 $2m+2,2m$，
$\because (2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+1)$，
$\therefore$ 两个连续偶数的平方差是 4 的倍数，不是 8 的倍数.
$\because 4(2m+1)=8m+4$，
$\therefore$ 若使得最后的结果是 8 的整数倍，加上正整数 $k$ 的最小值为 4.
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$，
$\therefore$ 两个连续奇数 $2n+1,2n-1$ 的平方差是 8 的倍数.
(3)两个连续偶数的平方差不是 8 的倍数.理由如下：
设两个连续的偶数分别为 $2m+2,2m$，
$\because (2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+1)$，
$\therefore$ 两个连续偶数的平方差是 4 的倍数，不是 8 的倍数.
$\because 4(2m+1)=8m+4$，
$\therefore$ 若使得最后的结果是 8 的整数倍，加上正整数 $k$ 的最小值为 4.
解析
【分析】
(1) 计算$17^2-15^2$时，观察到式子符合平方差的结构，优先使用平方差公式因式分解简化运算，得到结果后除以8即可求解倍数。(2) 要证明两个连续奇数的平方差是8的整数倍，直接对给定的两个奇数的平方差用平方差公式展开化简，判断化简结果是否为8与整数的乘积即可。(3) 判断连续偶数的平方差是否为8的倍数，同样先用平方差公式对两个偶数的平方差因式分解、化简，根据化简结果的特征判断；若不是8的倍数，根据化简后式子除以8的余数确定最小的正整数k。
【解析】
(1) 由平方差公式可得：
$17^2-15^2=(17+15)×(17-15)=32×2=64$，
$64÷8=8$，因此$17^2-15^2$是8的8倍。
(2) 对两个连续奇数的平方差因式分解：
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-(2n-1))=4n×2=8n$，
∵n为整数，
∴8n是8的整数倍，即两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$的平方差是8的整数倍。
(3) 两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，理由如下：
对两个连续偶数的平方差因式分解：
$(2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=(4m+2)×2=4(2m+1)$，
∵$2m+1$是奇数，
∴$4(2m+1)$是4的倍数，不是8的倍数。
又
∵$4(2m+1)=8m+4$，8m是8的整数倍，因此加上最小的正整数4即可让结果为8的整数倍，故k的最小值为4。
【答案】
(1) $17^2-15^2$是8的8倍；(2) 两个连续奇数的平方差是8的整数倍，证明成立；(3) 两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，k的最小值为4。
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；整数倍数判定
【点评】
本题从具体数值计算到一般规律证明再到延伸探究，逐层深入，既考查了平方差公式的灵活运用能力，也锻炼了代数式化简、逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 计算$17^2-15^2$时，观察到式子符合平方差的结构，优先使用平方差公式因式分解简化运算，得到结果后除以8即可求解倍数。(2) 要证明两个连续奇数的平方差是8的整数倍，直接对给定的两个奇数的平方差用平方差公式展开化简，判断化简结果是否为8与整数的乘积即可。(3) 判断连续偶数的平方差是否为8的倍数，同样先用平方差公式对两个偶数的平方差因式分解、化简，根据化简结果的特征判断；若不是8的倍数，根据化简后式子除以8的余数确定最小的正整数k。
【解析】
(1) 由平方差公式可得：
$17^2-15^2=(17+15)×(17-15)=32×2=64$，
$64÷8=8$，因此$17^2-15^2$是8的8倍。
(2) 对两个连续奇数的平方差因式分解：
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-(2n-1))=4n×2=8n$，
∵n为整数，
∴8n是8的整数倍，即两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$的平方差是8的整数倍。
(3) 两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，理由如下：
对两个连续偶数的平方差因式分解：
$(2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=(4m+2)×2=4(2m+1)$，
∵$2m+1$是奇数，
∴$4(2m+1)$是4的倍数，不是8的倍数。
又
∵$4(2m+1)=8m+4$，8m是8的整数倍，因此加上最小的正整数4即可让结果为8的整数倍，故k的最小值为4。
【答案】
(1) $17^2-15^2$是8的8倍；(2) 两个连续奇数的平方差是8的整数倍，证明成立；(3) 两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，k的最小值为4。
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；整数倍数判定
【点评】
本题从具体数值计算到一般规律证明再到延伸探究，逐层深入，既考查了平方差公式的灵活运用能力，也锻炼了代数式化简、逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.7
